Wszystkie zagadnienia: Liczby i algebra

zaawansowany matura podstawowa z matematykimatura rozszerzona z matematykitwierdzeniadowodypodstawa programowa

Twierdzenia i dowody z wykazu CKE

Opis

Podstawa programowa matematyki (Dz.U. 2024 poz. 1019, część „Warunki i sposób realizacji”, pkt 16 „Dowody”) kończy się zdaniem: „Uczeń powinien poznać dowody następujących twierdzeń”. Po nim idą dwa wykazy: dla zakresu podstawowego 10 twierdzeń (w tym serwisie P1 do P10) i dla rozszerzonego 11 (R1 do R11), razem 21. To nie jest lista wzorów do wyuczenia. Dla każdej pozycji warto wiedzieć, co dokładnie twierdzi twierdzenie, i umieć uzasadnić, dlaczego jest prawdziwe. Akt mówi o poznaniu dowodów; nie wynika z niego wprost, w jakiej formie sprawdza je egzamin.

To hasło jest mapą: pokazuje, które twierdzenia wchodzą do wykazu i w którym haśle znajdziesz każde z nich z pełnym omówieniem. Samych dowodów tu nie powtarzamy. Mieszkają w hasłach tematycznych, a ogólne zasady zapisu dowodu – założenie, teza, wniosek – opisuje hasło jak pisać dowód na maturze. Dowody w geometrii zbiera hasło dowody geometryczne.

Trzy zasady przy pracy z wykazem:

Twierdzenie ma założenia i tezę. Zapisz je osobno, zanim zaczniesz uzasadniać.
Wzór z karty „Wybrane wzory matematyczne" to tylko teza. Karta nie zawiera dowodu, więc jego tok trzeba mieć w głowie.
Dowód to ciąg wniosków z założeń i z twierdzeń już znanych. Sprawdzenie jednego przykładu liczbowego niczego nie dowodzi.

Na poziomie rozszerzonym obowiązuje zakres rozszerzony wykazu (punkty R); pozycje P dotyczą zakresu podstawowego.

Wzory

Dwusieczna kąta karta CKE

\frac{\lvert AD \rvert}{\lvert DB \rvert} = \frac{\lvert AC \rvert}{\lvert BC \rvert}

Dwusieczna kąta

C

trójkąta

ABC

przecina bok

AB

w punkcie

D

. Karta zapisuje tę samą proporcję w postaci równoważnej.

Pole trójkąta z sinusem karta CKE

P = \frac{1}{2}ab \cdot \sin\gamma

Kąt

\gamma

leży między bokami

a

b

Kąt wpisany i środkowy karta CKE

\alpha = \frac{1}{2}\beta

Kąt wpisany

\alpha

ma połowę miary kąta środkowego

\beta

opartego na tym samym łuku.

Twierdzenie sinusów karta CKE

\frac{a}{\sin\alpha} = 2R

Taki sam iloraz dla

b

\beta

oraz

c

\gamma

;

R

to promień okręgu opisanego.

Sinus sumy kątów karta CKE

\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta

Z niego wynika wzór na sinus kąta podwojonego.

Wzory Viète'a karta CKE

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Dla

\Delta \geq 0

Wzór dwumianowy karta CKE

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}

Symbol

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

też jest na karcie.

Reszta z dzielenia przez

x - a

W(x) = (x - a)Q(x) + W(a)

Reszta jest równa

W(a)

. Tego zapisu na karcie nie ma.

Tabela

Wykaz twierdzeń z dowodami z podstawy programowej (kolejność jak w akcie) i hasła, w których je omówiono

Kod	Twierdzenie (skrót)	Hasło
P1	istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych	dowód niewymierności
P2	niewymierność $\sqrt{2}$ , $\log_2 5$ itp.	dowód niewymierności
P3	wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego	równanie kwadratowe
P4	podstawowe własności potęg i logarytmów	prawa działań na potęgach, własności logarytmów
P5	wzory na $n$ -ty wyraz i sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego	ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny, suma ciągu arytmetycznego, suma ciągu geometrycznego
P6	kąt wpisany jest połową kąta środkowego; kąty wpisane są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są oparte na równych łukach	kąt wpisany i środkowy
P7	odcinki w trójkącie prostokątnym z wysokością poprowadzoną z kąta prostego	brak osobnego hasła; dowód opiera się na podobieństwie trójkątów
P8	twierdzenie o dwusiecznej	twierdzenie o dwusiecznej
P9	wzór na pole trójkąta z sinusem	pole trójkąta
P10	twierdzenie cosinusów i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa	twierdzenie cosinusów, twierdzenie Pitagorasa
R1	dowód kombinatoryczny tożsamości $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$	symbol Newtona
R2	wzór dwumianowy; wzory skróconego mnożenia na $a^n \pm b^n$ i podzielność $(a-b) \mid (a^n - b^n)$	wzór dwumianowy, wzory skróconego mnożenia
R3	dzielenie wielomianu przez $x - a$ ze wzorami na iloraz i resztę (Horner)	dzielenie wielomianów
R4	wzory Viète'a	wzory Viète'a
R5	sinus i cosinus sumy i różnicy kątów	wzory na sumę kątów
R6	twierdzenie sinusów	twierdzenie sinusów
R7	istnienie punktów szczególnych trójkąta: symetralne, wysokości, środkowe	punkty szczególne trójkąta
R8	czworokąt wpisany w okrąg	czworokąt wpisany i opisany
R9	czworokąt opisany na okręgu	czworokąt wpisany i opisany
R10	twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny	twierdzenie o trzech prostopadłych
R11	twierdzenie o trzech prostopadłych	twierdzenie o trzech prostopadłych

Przykład

Przykład 1 – twierdzenie o dwusiecznej (P8). W trójkącie $ABC$ mamy $\lvert AB \rvert = 5$ , $\lvert AC \rvert = 4$ , $\lvert BC \rvert = 6$ . Dwusieczna kąta $C$ przecina bok $AB$ w punkcie $D$ . Oblicz $\lvert AD \rvert$ .

Założenie: $CD$ jest dwusieczną kąta $C$ . Teza: dwusieczna dzieli bok $AB$ w stosunku długości boków przyległych, więc

\frac{\lvert AD \rvert}{\lvert DB \rvert} = \frac{\lvert AC \rvert}{\lvert BC \rvert} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Odcinki $AD$ i $DB$ razem dają bok $AB$ , czyli $\lvert AD \rvert + \lvert DB \rvert = 5$ . Proporcja $2 : 3$ rozdziela $5$ na części $2$ i $3$ , stąd $\lvert AD \rvert = 2$ i $\lvert DB \rvert = 3$ . Krótszy odcinek leży przy krótszym boku $AC$ , co zgadza się z intuicją.

Przykład 2 – reszta z dzielenia przez $x - a$ (R3). Znajdź resztę z dzielenia $W(x) = x^3 - 2x + 5$ przez $x - 3$ , a potem uzasadnij, że ta metoda działa dla każdego wielomianu.

Wartość wielomianu w punkcie $3$ :

W(3) = 27 - 6 + 5 = 26

Uzasadnienie. Dzielenie wielomianu $W$ przez dwumian $x - a$ daje iloraz $Q$ i resztę $R$ , przy czym reszta ma stopień mniejszy niż $1$ , czyli jest liczbą:

W(x) = (x - a)\,Q(x) + R

Podstawiamy $x = a$ . Składnik $(x - a)Q(x)$ zeruje się, więc $W(a) = R$ . Reszta z dzielenia przez $x - 3$ wynosi zatem $26$ – bez wykonywania samego dzielenia.

Typowe błędy

Wzór zamiast dowodu. Przy zadaniu „uzasadnij" uczeń przepisuje wzór z karty i kończy. Wzór jest tezą, a dowód to droga do niej. Wypisz założenia, wskaż twierdzenie, z którego korzystasz, i pokaż każdy krok.

Dowodzenie na jednym przykładzie. Sprawdzenie, że reszta z dzielenia $x^3 - 2x + 5$ przez $x - 3$ wynosi $26$ , nie dowodzi twierdzenia o reszcie. Dowód musi działać dla dowolnego wielomianu $W$ i dowolnej liczby $a$ . Ogólną regułę zapisu omawia hasło jak pisać dowód na maturze.

Odwrócona proporcja w dwusiecznej. Zapis $\frac{\lvert AD \rvert}{\lvert DB \rvert} = \frac{\lvert BC \rvert}{\lvert AC \rvert}$ daje w przykładzie wyżej $\lvert AD \rvert = 3$ zamiast $2$ . Kontrola: krótszy odcinek leży po stronie krótszego boku, a w liczniku i mianowniku obu ułamków stoją odcinki od tych samych wierzchołków w tej samej kolejności.

Zły znak przy podstawieniu do reszty. Reszta z dzielenia przez $x + 3$ to $W(-3)$ , nie $W(3)$ . Dla $W(x) = x^3 - 2x + 5$ wychodzi $W(-3) = -27 + 6 + 5 = -16$ . Zapisz dwumian w postaci $x - a$ : $x + 3 = x - (-3)$ , więc $a = -3$ .

Sprawdź się

Wykaz zawiera w zakresie podstawowym punktów, w rozszerzonym , a razem twierdzeń.

Twierdzenie sinusów ma numer R, a wzory Viète'a – numer R.

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x) = x^3 - 2x + 5$ przez $x - 3$ wynosi , a przez $x + 3$ wynosi .

W trójkącie o bokach $\lvert AB \rvert = 5$ , $\lvert AC \rvert = 4$ , $\lvert BC \rvert = 6$ dwusieczna kąta $C$ odcina na boku $AB$ odcinek $\lvert AD \rvert =$ .

Kąt środkowy ma miarę $80°$ , więc kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma stopni.

Trójkąt o bokach $a = 6$ , $b = 8$ i kącie między nimi $\gamma = 30°$ ma pole .

Wartość współczynnika dwumianowego $\binom{6}{2}$ wynosi .

Najczęściej zadawane pytania

Co oznaczają oznaczenia P1 do P10 i R1 do R11?

To numery kolejnych pozycji wykazu „Twierdzenia, dowody” w podstawie programowej (Dz.U. 2024 poz. 1019, pkt 16 „Dowody”): P – zakres podstawowy (10 pozycji), R – rozszerzony (11 pozycji). Są to numery z aktu prawnego, a nie kody z kluczy odpowiedzi CKE, które numerują wymagania działami, na przykład II.R5.

Czy na maturze trzeba odtworzyć dowód każdego twierdzenia z wykazu?

Podstawa programowa stwierdza, że uczeń „powinien poznać dowody” wymienionych twierdzeń. Nie znalazłem w niej zapisu, że egzamin wymaga odtworzenia tych dowodów, a w kluczach arkuszy zebranych na portalu nie ma zadania z kodem „dow-”. Bezpieczna strategia: dla każdego twierdzenia znać treść, założenia i szkic dowodu, a zapis krótkiego dowodu ćwiczyć na zadaniach „wykaż, że”.

Które twierdzenia z wykazu mają zapis na karcie wzorów?

Na karcie są: twierdzenie sinusów, wzory na pole trójkąta z sinusem, twierdzenie o dwusiecznej, kąt wpisany, wzory Viète'a, wzór dwumianowy i symbol Newtona, sinus sumy kątów, warunki dla czworokąta wpisanego i opisanego na okręgu oraz twierdzenie o trzech prostych prostopadłych. Karta podaje tezę, nie dowód. Reszty z dzielenia przez $x - a$ na karcie nie znalazłem.

Od którego twierdzenia najlepiej zacząć naukę dowodów?

Od takiego, którego dowód jest krótki i wymaga jednego pomysłu. Dobre przykłady to reszta z dzielenia przez $x - a$ (podstawienie $x = a$ ) i kąt wpisany (trójkąt równoramienny z dwoma promieniami). Potem przejdź do twierdzeń, w których trzeba rozważyć kilka przypadków.

Gdzie ćwiczyć zapis dowodu w zadaniach „wykaż, że"?

Zasady zapisu, czyli założenie, teza, wniosek i zwroty, są w haśle jak pisać dowód na maturze. Dowody podzielności ćwiczysz w haśle dowody podzielności i reszt, a dowody nierówności i tożsamości w haśle dowody nierówności i tożsamości.

Komentarz Autora

W kluczach arkuszy zebranych na portalu nie znalazłem zadania z kodem wymagania „dow-”. Wykaz twierdzeń nie ma więc w arkuszach osobnych pytań „udowodnij twierdzenie z wykazu". To nie dowodzi, że takie zadanie nigdy się nie pojawi.

Najbliższe doświadczenie to dowód w maju 2025 (poziom podstawowy, zadanie 5): wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielna przez $4$ . Z klucza: po podstawieniu $n = 2l + 1$ wyrażenie przyjmuje postać $4(3l^2 + 4l + 3)$ . Według sprawozdania CKE zadanie rozwiązało 32% zdających – to najtrudniejsze zadanie z dowodami podzielności. Zadanie omawia hasło dowody podzielności i reszt.

Na karcie „Wybrane wzory matematyczne" są m.in. twierdzenie sinusów, wzór na pole z sinusem, twierdzenie o dwusiecznej, wzory Viète'a, wzór dwumianowy, sinus sumy kątów, warunki dla czworokąta wpisanego i opisanego oraz twierdzenie o trzech prostych prostopadłych. Reszty z dzielenia przez $x - a$ na karcie nie znalazłem.

Rada: dla każdego twierdzenia z tabeli przygotuj trzy linijki – założenie, teza, jeden pomysł, na którym opiera się dowód. Zacznij od tych, których dowód mieści się w kilku wierszach, jak reszta z dzielenia czy kąt wpisany.

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Dowody nierówności i tożsamości algebraicznychDowody i rozumowanie Dowody podzielności i reszt z dzieleniaDowody i rozumowanie Dowód niewymierności i nieskończoności zbioru liczb pierwszychDowody i rozumowanie Jak pisać dowód na maturzeDowody i rozumowanie