Wzory Viète’a

Wzory Viète’a łączą pierwiastki trójmianu kwadratowego $ax^2 + bx + c$ z jego współczynnikami. Mówią, ile wynosi suma i ile iloczyn pierwiastków $x_1, x_2$ – i to bez liczenia samych pierwiastków, a więc bez pierwiastkowania z $\Delta$. Dlatego są narzędziem do zadań, w których pytają nie o same pierwiastki, lecz o coś, co z nich wynika: ich kwadraty, odwrotności, odległość, znaki.

Podstawowe zasady:

• Wzory zapisuje się tak: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ oraz $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. Zakładamy, że $a \neq 0$.
• Wolno ich używać tylko wtedy, gdy pierwiastki rzeczywiste istnieją, czyli dla $\Delta \geq 0$. Dla $\Delta < 0$ prawe strony da się policzyć, ale nie odpowiadają one żadnym liczbom rzeczywistym. Przy $\Delta = 0$ pierwiastek podwójny liczymy dwa razy: $x_1 = x_2$.
• Każde wyrażenie symetryczne względem $x_1$ i $x_2$ (takie, które nie zmienia się po ich zamianie miejscami) da się zapisać przez sumę $S = x_1 + x_2$ i iloczyn $P = x_1 x_2$. Wyrażenia niesymetryczne, na przykład $x_1 + 2x_2$, tak się nie zapisują.
• Znak sumy i iloczynu mówi, jakie znaki mają pierwiastki, bez ich wyznaczania (tabela niżej): $P > 0$ – ten sam znak (jaki, mówi znak $S$), $P < 0$ – znaki przeciwne.

Zakres: wzory Viète’a to wymaganie rozszerzenia (III.3R). Na poziomie podstawowym wystarcza umieć znaleźć pierwiastki (równanie kwadratowe, postać iloczynowa); w zadaniu z podstawy sumę miejsc zerowych można odczytać z postaci iloczynowej albo właśnie ze wzoru $-\frac{b}{a}$. Zadania, w których Viète występuje razem z parametrem, mają swoje domy: równanie kwadratowe z parametrem i pierwiastki trójmianu z parametrem.

Przykład 1 – wyrażenia symetryczne. Dla równania $2x^2 - 7x + 2 = 0$ oblicz $x_1^2 + x_2^2$, $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ oraz $\lvert x_1 - x_2 \rvert$.

Najpierw sprawdzamy, czy wzory wolno stosować: $\Delta = 49 - 16 = 33 > 0$, więc są dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Dalej:

Suma kwadratów: $x_1^2 + x_2^2 = \left(\frac{7}{2}\right)^2 - 2 \cdot 1 = \frac{49}{4} - 2 = \frac{41}{4}$. Suma odwrotności ($x_1 x_2 = 1 \neq 0$): $\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{7}{2}$. Odległość:

Zgadza się z wzorem $\frac{\sqrt{\Delta}}{\lvert a \rvert} = \frac{\sqrt{33}}{2}$. Żadnego pierwiastka równania nie wyznaczaliśmy osobno.

Przykład 2 – znaki pierwiastków z parametrem. Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ ma pierwiastki rzeczywiste, oba dodatnie (mogą się pokrywać).

Trzy warunki: istnienie, dodatnia suma, dodatni iloczyn.

Suma: $x_1 + x_2 = 2m > 0$, czyli $m > 0$. Iloczyn: $x_1 x_2 = m + 2 > 0$, czyli $m > -2$. Część wspólna trzech warunków to $m \geq 2$. Kontrola brzegu: dla $m = 2$ równanie to $x^2 - 4x + 4 = 0$, pierwiastek $2$ (podwójny) jest dodatni; dla $m = 3$ mamy $x^2 - 6x + 5 = 0$, pierwiastki $1$ i $5$.

Przykład 3 – jeden pierwiastek znany (Informator CKE, zakres rozszerzony). Funkcja $f(x) = px^2 + (p-1)x + 1 - 2p$, gdzie $p \neq 0$. Wyznacz $p$, dla których ma dwa miejsca zerowe różniące się o $1$.

Podstawienie daje $f(1) = p + p - 1 + 1 - 2p = 0$, więc $x_1 = 1$. Z iloczynu pierwiastków wyznaczamy drugi, bez liczenia $\Delta$:

Warunek $\lvert x_1 - x_2 \rvert = 1$ przyjmuje postać $\left\lvert 1 - \frac{1-2p}{p} \right\rvert = \left\lvert \frac{3p-1}{p} \right\rvert = 1$. Stąd $3p - 1 = p$ albo $3p - 1 = -p$, czyli $p = \frac{1}{2}$ lub $p = \frac{1}{4}$. Sprawdzenie: dla $p = \frac{1}{4}$ pierwiastki to $1$ i $2$, dla $p = \frac{1}{2}$ to $1$ i $0$ – w obu przypadkach różnią się o $1$.

Zły znak sumy. Zapis $x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ pomija minus. Dla $x^2 - 5x + 4 = 0$ daje to $-5$, a pierwiastki to $1$ i $4$ o sumie $5$. Szybka kontrola: weź równanie z oczywistymi pierwiastkami i sprawdź, czy suma się zgadza.

Viète bez sprawdzenia $\Delta$. Dla $x^2 - 4x + 5 = 0$ wzory dają $S = 4$ i $P = 5$, ale $\Delta = -4 < 0$, więc pierwiastków rzeczywistych nie ma. Przy parametrze to częsty powód utraty punktów: warunek $\Delta \geq 0$ trzeba zapisać jawnie. Przykład: z $x_1^2 + x_2^2 = 16 - 2m$ dla $x^2 - 4x + m = 0$ równość do $-2$ dałaby $m = 9$, ale wtedy $\Delta = 16 - 36 < 0$ i takie $m$ odpada.

Wyrażenie niesymetryczne. Suma $x_1 + 2x_2$ nie jest funkcją samych $S$ i $P$: pierwiastki w dowolnej kolejności dałyby różne wyniki. Wtedy trzeba wyznaczyć pierwiastki albo przekształcić warunek do postaci symetrycznej (na przykład kwadratem).

Dzielenie przez iloczyn równy zero. Wzór $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{S}{P}$ wymaga $P \neq 0$, czyli $c \neq 0$. Gdy $c = 0$, jeden z pierwiastków to $0$ i odwrotność nie istnieje.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: