Nierówności liniowe

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą to nierówność, którą po uporządkowaniu da się zapisać w postaci $ax + b < 0$ (albo z innym znakiem: $\leq$, $>$, $\geq$), gdzie $a$ i $b$ to liczby. Rozwiązać ją znaczy znaleźć zbiór wszystkich liczb, które po podstawieniu za $x$ dają prawdziwą nierówność. W odróżnieniu od równania liniowego, które zwykle ma jedno rozwiązanie, nierówność ma ich nieskończenie wiele – zbiorem rozwiązań jest zwykle półprosta, czyli przedział w rodzaju $[3, \infty)$ albo $(-\infty, 2)$. Technikę równania $ax + b = c$ opisuje hasło równania liniowe, a pojęcie przekształcenia równoważnego – hasło równania równoważne.

Rozwiązujemy ją tak jak równanie: porządkujemy obie strony, przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę, a liczby na drugą, na końcu dzielimy przez współczynnik przy $x$. Różnice są dwie, i na nich kończą się prawie wszystkie błędy:

• mnożenie lub dzielenie obu stron przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności ($<$ zmienia się w $>$, $\leq$ w $\geq$ i odwrotnie); dodawanie i odejmowanie niczego nie zmienia, podobnie mnożenie przez liczbę dodatnią,
• wynik zapisujemy jako przedział albo zaznaczamy na osi liczbowej, a przy znakach $<$ i $>$ koniec przedziału nie należy do zbioru (więcej o przedziałach w haśle przedziały liczbowe).

Przy znakach $\leq$ i $\geq$ liczba graniczna należy do zbioru. Przy $<$ i $>$ – nie. Nawias przy $\infty$ jest zawsze okrągły, bo nieskończoność nie jest liczbą.

Zadania maturalne o nierównościach liniowych mają kilka powtarzalnych wersji: wybierz przedział lub rysunek osi liczbowej, podaj najmniejszą (największą) liczbę całkowitą spełniającą nierówność albo policz, ile jest rozwiązań całkowitych. Wszystkie sprowadzają się do tego samego rozwiązania, a potem do odczytu z zapisu.

Na poziomie rozszerzonym nierówności liniowe wracają jako element większych zadań, na przykład z parametrem (nierówności i równania liniowe z parametrem) albo z wartością bezwzględną (nierówności z wartością bezwzględną). Umiejętność z tego hasła jest wtedy potrzebna jako pojedynczy krok.

Przykład 1 – nierówność z niewiadomą po obu stronach. Rozwiąż nierówność $5 - 3x \leq 2x - 10$ i zapisz zbiór rozwiązań w postaci przedziału (tabela wyżej to ta sama nierówność sprawdzana liczba po liczbie).

Przenosimy wyrazy z $x$ na lewą stronę, a liczby na prawą:

Dzielimy obie strony przez $-5$. Liczba jest ujemna, więc znak $\leq$ zmienia się na $\geq$:

Zbiór rozwiązań to $[3, \infty)$. Zgadza się z tabelą: dla $x = 3$ obie strony są równe (nierówność nieostra to dopuszcza), dla $x = 2$ nierówność jest fałszywa.

Przykład 2 – ułamki i najmniejsza liczba całkowita. Rozwiąż nierówność $\frac{x + 1}{2} - \frac{2x - 1}{3} < 1$ i podaj najmniejszą liczbę całkowitą, która ją spełnia.

Mnożymy obie strony przez $6$ (dodatnią, więc zwrot zostaje). Każdy składnik mnożymy osobno, także $1$ po prawej stronie, a minus przed ułamkiem odnosi się do całego licznika:

Dzielimy przez $-1$ i odwracamy znak: $x > -1$. Zbiór rozwiązań to $(-1, \infty)$. Liczba $-1$ do niego nie należy (podstawienie daje $1 < 1$, czyli nieprawdę), więc najmniejszą liczbą całkowitą jest $0$.

Przykład 3 – zadanie z życia. Bilet miesięczny kosztuje $120$ zł, a pojedynczy przejazd $4{,}80$ zł. Od ilu przejazdów w miesiącu opłaca się bilet miesięczny?

Opłaca się, gdy koszt przejazdów pojedynczych jest większy niż koszt biletu: $4{,}8n > 120$, czyli $n > 25$. Dla $n = 25$ koszty są równe ($25 \cdot 4{,}8 = 120$), więc bilet miesięczny zaczyna się opłacać dopiero od $26$ przejazdów ($26 \cdot 4{,}8 = 124{,}8$ zł). Liczba przejazdów jest całkowita, więc z $n > 25$ wynika najmniejsza wartość $26$.

W zadaniach z wyborem odpowiedzi przedziały $(-11, \infty)$ i $[-11, \infty)$ występują obok siebie, więc różnica między nawiasem okrągłym a kwadratowym to często cała różnica między dobrą a złą odpowiedzią.

Brak odwrócenia znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną. Z $-3x \geq 12$ uczeń pisze $x \geq -4$. Sprawdzenie: dla $x = 0$ lewa strona to $0$, a $0 \geq 12$ jest nieprawdą, więc $0$ nie może być rozwiązaniem, a według zapisu $x \geq -4$ jest. Poprawnie: $x \leq -4$. Ten sam błąd robi się, gdy współczynnik nie jest liczbą wprost, na przykład $2 - \sqrt{5}$. Liczba ta jest ujemna (około $-0{,}24$), więc dzielenie przez nią odwraca znak.

Odwracanie znaku przy przenoszeniu wyrazów. Z $5 - 3x \leq 2x - 10$ uczeń przenosi $2x$ na lewą stronę, „zmienia znak" liczby i dodatkowo zmienia $\leq$ na $\geq$. Przeniesienie wyrazu z jednej strony na drugą (czyli dodanie lub odjęcie go od obu stron) zwrotu nie zmienia. Zmienia go tylko mnożenie albo dzielenie przez liczbę ujemną.

Zapomniane mnożenie wyrazów bez ułamka. Przy mnożeniu przez wspólny mianownik uczeń mnoży ułamki, a liczbę po drugiej stronie pozostawia bez zmian: $3(x + 1) - 2(2x - 1) < 1$ zamiast $< 6$. Wychodzi $-x < -4$, czyli $x > 4$, a poprawny wynik z Przykładu 2 to $x > -1$. Mnożymy wszystkie składniki obu stron.

Minus przed ułamkiem tylko przy pierwszym składniku licznika. W wyrażeniu $-2(2x - 1)$ uczeń otrzymuje $-4x - 2$ zamiast $-4x + 2$. Po rozwinięciu nawiasu z minusem zmieniają się znaki wszystkich wyrazów w nawiasie. Dobrze jest wpisać nawias do osobnej linijki.

Nawias przy złej liczbie lub zły nawias przy granicy. Z $x > -1$ uczeń zapisuje $[-1, \infty)$ i podaje $-1$ jako najmniejszą liczbę całkowitą. Przy znaku ostrym granica nie należy do zbioru, więc przedział jest $(-1, \infty)$, a najmniejsza liczba całkowita to $0$. Odwrotnie: dla $x \leq 4$ nie wolno pisać $(-\infty, 4)$.

Zbiór odczytany w złą stronę albo źle policzone rozwiązania całkowite. Nierówność $\frac{3x - 5}{12} < \frac{1}{3}$ daje $x < 3$. Liczb całkowitych dodatnich spełniających ją jest dwie ($1$ i $2$), a nie trzy, bo $3$ już nie spełnia. Sprawdź granicę i sąsiednią liczbę całkowitą podstawieniem.

Nierówność sprzeczna lub tożsamościowa potraktowana jak zwykła. Z $2(x + 3) > 2x + 1$ po uproszczeniu zostaje $6 > 1$ – prawda niezależna od $x$, więc rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista. Z $3x - 1 \leq 3x - 2$ zostaje $-1 \leq -2$ – nieprawda, więc zbiór rozwiązań jest pusty. Uczeń kończący na „$6 > 1$" nie odpowiada na pytanie.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: