Nierówności wymierne

Nierówność wymierna to nierówność, w której niewiadoma $x$ występuje w mianowniku ułamka, na przykład $\frac{2x-1}{x+3} < 1$. Rozwiązanie to zbiór liczb, dla których wyrażenie jest określone i nierówność jest prawdziwa. To pokrewne zagadnienie do równań wymiernych, ale z jedną istotną różnicą: równanie możesz pomnożyć przez mianownik i na końcu sprawdzić wyniki, a w nierówności mnożenie przez wyrażenie z $x$ zmienia zwrot w zależności od jego znaku. Dlatego mianowników się nie mnoży – zamiast tego przenosi się wszystko na jedną stronę i bada znak ilorazu.

Na poziomie podstawowym nierówności wymierne nie są wymagane (tam są nierówności liniowe i kwadratowe). To temat dla ucznia rozszerzenia (wymaganie III.2R w katalogu portalu).

Cztery zasady, na których opiera się każde rozwiązanie:

• Najpierw dziedzina. Wypisz liczby, dla których mianownik jest równy zero – nie mogą należeć do rozwiązania, niezależnie od tego, co wyjdzie później.
• Zero po jednej stronie. Przenieś wszystko na lewą stronę i sprowadź do wspólnego mianownika, aby dostać jeden ułamek $\frac{P}{Q}$ porównywany z zerem.
• Iloraz zastąp iloczynem. Ułamek $\frac{P}{Q}$ ma ten sam znak co iloczyn $P \cdot Q$, więc nierówność ilorazową zamieniasz na wielomianową, z zachowaniem $Q \neq 0$.
• Znaki odczytaj z krzywej albo tabeli. Zaznacz miejsca zerowe licznika i mianownika, narysuj krzywą znaków (zacznij od ostatniego przedziału) i wybierz przedziały o właściwym znaku. Jak rozkładać licznik i mianownik na czynniki, wyjaśnia hasło rozkład na czynniki, a ogólną metodę dla wielomianów – nierówności wielomianowe.

Przykład 1 – porównanie ułamka z liczbą. Rozwiąż nierówność $\frac{2x-1}{x+3} < 1$.

Dziedzina: $x \neq -3$. Przenosimy jedynkę na lewą stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:

Iloraz jest ujemny, gdy licznik i mianownik mają przeciwne znaki, czyli $(x-4)(x+3) < 0$. Miejsca zerowe $-3$ i $4$, parabola ramionami do góry, więc wartości ujemne są między nimi: $x \in (-3, 4)$. Na wykresie widać to samo: krzywa $y = \frac{2x-1}{x+3}$ leży poniżej prostej $y = 1$ właśnie dla $x$ między $-3$ a $4$. Sprawdzenie: dla $x = 0$ lewa strona wynosi $-\frac{1}{3} < 1$ – zgadza się; dla $x = -4$ wynosi $9$, więc $-4$ nie należy do rozwiązania.

Przykład 2 – wspólny czynnik, którego nie wolno skracać. Rozwiąż nierówność $\frac{x^2-4}{x^2-x-6} \geq 0$.

Rozkładamy: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ oraz $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$ (miejsca zerowe $-2$ i $3$ znajdziesz z równania kwadratowego). Dziedzina: $x \neq -2$ i $x \neq 3$. Po skróceniu przez $x + 2$ zostaje

Skrócony czynnik daje jednak ograniczenie, które trzeba zachować z dziedziny pierwotnej: $x \neq -2$. Odpowiedź to $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2] \cup (3, \infty)$. Liczba $2$ należy do rozwiązania (licznik zero, nierówność nieostra), liczby $-2$ i $3$ – nie.

Przykład 3 – nierówność z kilkoma ułamkami. Rozwiąż nierówność $x + 4 + \frac{8}{x-4} \geq \frac{-2x-8}{x^2-16}$ (zadanie 10 ze zbioru zadań CKE, za 5 punktów).

Dziedzina: $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$, więc $x \neq 4$ i $x \neq -4$. Lewą stronę zapisujemy jako jeden ułamek: $x + 4 + \frac{8}{x-4} = \frac{(x+4)(x-4) + 8}{x-4} = \frac{x^2-8}{x-4}$. Przenosimy prawą stronę i sprowadzamy do mianownika $(x-4)(x+4)$:

Zamieniamy iloraz na iloczyn: $(x+4)(x^2-6)(x-4)(x+4) \geq 0$ przy $x \neq \pm 4$. Czynnik $(x+4)$ występuje tu dwa razy, więc nie zmienia znaku – to widać w tabeli znaków powyżej (zmiany znaku tylko przy $-\sqrt{6}$, $\sqrt{6}$ i $4$). Wartość nieujemną wyrażenie przyjmuje na $[-\sqrt{6}, \sqrt{6}]$ i na $(4, \infty)$. Punkt $x = -4$ leży w przedziale, w którym wyrażenie jest ujemne, i tak czy owak jest wyłączony z dziedziny. Wynik: $x \in [-\sqrt{6}, \sqrt{6}] \cup (4, \infty)$, zgodny z kluczem.

Mnożenie obu stron przez wyrażenie z niewiadomą jest dozwolone tylko wtedy, gdy rozpatrzysz osobno przypadki, w których to wyrażenie jest dodatnie i ujemne. Metoda ilorazu i iloczynu pozwala tego uniknąć. Nierówności z modułem to osobny temat – zob. nierówności z wartością bezwzględną.

Mnożenie przez mianownik bez sprawdzenia znaku. Zapis $\frac{2x-1}{x+3} < 1 \Rightarrow 2x - 1 < x + 3 \Rightarrow x < 4$ jest błędny. Mnożenie przez $x + 3$ zachowuje zwrot tylko dla $x > -3$. Dla $x = -5$ lewa strona wynosi $\frac{11}{2}$, a to więcej niż $1$, chociaż $-5 < 4$. Poprawnie: przenieś jedynkę i zbadaj $\frac{x-4}{x+3} < 0$, wynik $(-3, 4)$.

Skracanie wspólnego czynnika z niewiadomą. W $\frac{x^2-4}{x^2-x-6}$ skrócenie $(x+2)$ jest w porządku, ale razem z nim znika informacja, że $x \neq -2$. Kto jej nie zapisze przed skróceniem, dostaje przedział $(-\infty, 2]$ zamiast $(-\infty, -2) \cup (-2, 2]$. Dziedzinę ustalaj z mianownika wyjściowego.

Iloczyn zamiast ilorazu bez warunku $Q \neq 0$. Dla $\frac{x+1}{x-2} \geq 0$ iloczyn $(x+1)(x-2) \geq 0$ daje $(-\infty, -1] \cup [2, \infty)$. Liczba $2$ zeruje mianownik, więc poprawna odpowiedź to $(-\infty, -1] \cup (2, \infty)$. Zero licznika bierzemy domkniętym nawiasem, zero mianownika – zawsze otwartym.

Zgubiony nawias przy odejmowaniu ułamków. Przy $\frac{3x+1}{2x+1} \leq \frac{3x+4}{2x+3}$ licznik po przeniesieniu to $(3x+1)(2x+3) - (3x+4)(2x+1)$. Zapis $6x^2 + 11x + 3 - 6x^2 + 11x + 4$ daje $22x + 7$, a poprawnie wychodzi stałe $-1$: minus dotyczy całego iloczynu, więc znak zmieniają wszystkie jego składniki.

Zmiana znaku przy czynniku parzystej krotności. Dla $\frac{(x-1)^2}{x+2} \geq 0$ krzywa znaków nie przecina osi w punkcie $1$ – wraca z tej samej strony. Rysunek ze zmianą znaku w każdym punkcie daje $(-\infty, -2) \cup [1, \infty)$, a właściwe rozwiązanie to $(-2, \infty)$. Zero licznika $x = 1$ należy do rozwiązania, bo nierówność jest nieostra.

Zły znak ostatniego przedziału. Zasada „zaczynam od plusa z prawej" działa tylko wtedy, gdy po rozpisaniu na czynniki współczynniki przy $x$ są dodatnie. W $\frac{2-x}{x+1} > 0$ prawy przedział $(2, \infty)$ jest ujemny (dla $x = 3$ wartość to $-\frac{1}{4}$), a rozwiązaniem jest $(-1, 2)$. Najpewniej zapisz czynniki w postaci $(x - a)$ albo sprawdź jeden punkt próbny.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: