Czym różni się równanie | x - a | = r od nierówności | x - a | ≤ r?

Równanie ma za rozwiązanie dwa punkty, a - r i a + r. Nierówność | x - a | ≤ r ma za rozwiązanie cały przedział [a - r, a + r]. Różnicę opisuje hasło nierówności z wartością bezwzględną.

Wszystkie zagadnienia: Liczby i algebra

średni matura podstawowa z matematykimatura rozszerzona z matematykiwartość bezwzględnarównaniametoda przedziałów

Równania z wartością bezwzględną

Q: Ile rozwiązań ma równanie z wartością bezwzględną?

Zależy od prawej strony. Równanie | f(x) | = r ma dla r 0 rozpada się na f(x) = r i f(x) = -r, więc przy funkcji liniowej f daje dwa rozwiązania. Gdy po prawej stronie jest wyrażenie z x, liczba rozwiązań może wynosić 0, 1 albo 2 – o tym rozstrzyga sprawdzenie warunku.

Q: Czy równanie z modułem mogę rozwiązać przez podniesienie do kwadratu?

Tak, ale z ostrożnością. Dla dwóch modułów | f | = | g | podniesienie do kwadratu jest równoważne i nic nie trzeba sprawdzać, bo | f |^2 = f^2. Dla | f | = g po podniesieniu do kwadratu wychodzi f^2 = g^2, czyli także przypadki, w których g < 0, więc warunek g ≥ 0 trzeba dopisać. Po takim przekształceniu zostaje równanie kwadratowe, a przejście jest równoważne tylko wtedy, gdy pilnujesz warunku (więcej: równania równoważne). Częściej wygodniejsze jest zwykłe rozbicie na dwa równania.

Q: Jak rozwiązać równanie z dwoma lub trzema modułami?

Metodą przedziałów. Znajdź miejsca zerowe wyrażeń pod modułami, podziel oś na przedziały, w każdym zapisz moduły bez znaku modułu (z plusem albo minusem) i rozwiąż równanie liniowe. Wynik zaliczasz do odpowiedzi tylko wtedy, gdy należy do przedziału, w którym go liczyłeś. Dobrze jest wypisać wszystko w tabeli, tak jak w przykładzie trzecim.

Q: Czy wzór na rozwiązanie równania z modułem jest na karcie wzorów?

Nie wprost. Karta „Wybrane wzory matematyczne" zawiera definicję modułu, jego własności i wzory dla nierówności | x - a | ≤ r oraz | x - a | ≥ r. Równanie | x - a | = r rozwiązuje się z definicji albo z interpretacji na osi: x = a ± r.

Q: Jak szybko policzyć sumę i iloczyn rozwiązań równania | x - a | = r?

Rozwiązania to a - r i a + r, więc suma wynosi 2a (środek razy dwa), a iloczyn a^2 - r^2. Dla | x + 4 | = 7 mamy a = -4, r = 7: suma -8, iloczyn 16 - 49 = -33. Można też po prostu wypisać dwa rozwiązania i je dodać lub pomnożyć.

Q: Kiedy równanie z modułem ma dokładnie jedno rozwiązanie?

Gdy po prawej stronie jest zero (| x - a | = 0, czyli x = a) albo gdy jedno z dwóch rozwiązań zostaje odrzucone przez warunek na prawą stronę lub przedział, jak w przykładzie drugim.

Opis

Równanie z wartością bezwzględną to równanie, w którym niewiadoma stoi pod znakiem modułu, na przykład $\lvert x - 6 \rvert = 4$ . Sam moduł, czyli to, że $\lvert x \rvert$ jest odległością liczby $x$ od zera na osi liczbowej, wyjaśnia hasło wartość bezwzględna. Tutaj zajmujemy się tym, co z tą wiedzą zrobić, gdy w równaniu jest niewiadoma. Odpowiednik z nierównością (znak $<$ , $\leq$ , $>$ , $\geq$ ) ma osobne hasło: nierówności z wartością bezwzględną.

Najprostszy sposób myślenia o równaniu $\lvert x - a \rvert = r$ jest geometryczny: szukamy liczb $x$ , które leżą od punktu $a$ dokładnie w odległości $r$ . Jeśli dom stoi $4$ km od szkoły, to na prostej drodze mógł stać po dowolnej z dwóch jej stron. Na osi liczbowej to samo: od liczby $a$ w prawo i w lewo.

Co obowiązuje na poziomie podstawowym. Proste równanie $\lvert x - a \rvert = r$ z jedną niewiadomą, rozwiązywane „z osi" – bez przypadków i bez rachunków na przedziałach (wymaganie I.7). Zwykle pytanie nie brzmi „rozwiąż", lecz „ile wynosi suma albo iloczyn rozwiązań".

Na poziomie rozszerzonym dochodzą równania, w których moduł zawiera wyrażenie z $x$ i jest porównany z innym wyrażeniem z $x$ , oraz kilka modułów w jednym równaniu (wymaganie III.4R). Tu liczy się metoda z przypadkami, a każdy wynik trzeba sprawdzić.

Cztery zasady, które wystarczą do wszystkiego w tym haśle:

Moduł jest nieujemny, więc równanie $\lvert f(x) \rvert = r$ dla $r < 0$ nie ma rozwiązań, a dla $r = 0$ sprowadza się do $f(x) = 0$ .
Dla $r > 0$ równanie $\lvert f(x) \rvert = r$ rozpada się na dwa: $f(x) = r$ lub $f(x) = -r$ .
Gdy po prawej stronie stoi wyrażenie z $x$ , rozpadają się tak samo dwa równania, ale trzeba jeszcze pilnować, żeby prawa strona nie była ujemna.
Gdy modułów jest kilka, dzielimy oś w miejscach zerowych wyrażeń pod modułami i w każdym przedziale rozwiązujemy zwykłe równanie liniowe.

Wzory

Moduł równy liczbie

\lvert x - a \rvert = r \iff x = a - r \ \text{lub} \ x = a + r

Dla

r > 0

. Dwa rozwiązania, symetryczne względem

a

Dwa szczególne przypadki

r = 0 \Rightarrow x = a \qquad r < 0 \Rightarrow \text{brak rozwiązań}

Jedno rozwiązanie albo żadne.

Suma i iloczyn rozwiązań

x_1 + x_2 = 2a, \quad x_1 \cdot x_2 = a^2 - r^2

Dla

r > 0

x_{1,2} = a \mp r

. Przy

\lvert x - 6 \rvert = 4

: suma

12

, iloczyn

20

Moduł równy wyrażeniu

\lvert f(x) \rvert = g(x) \iff g(x) \geq 0 \ \text{i} \ \bigl(f(x) = g(x) \ \text{lub} \ f(x) = -g(x)\bigr)

Warunek

g(x) \geq 0

odrzuca rozwiązania, przy których prawa strona jest ujemna.

Dwa moduły

\lvert f(x) \rvert = \lvert g(x) \rvert \iff f(x) = g(x) \ \text{lub} \ f(x) = -g(x)

Warunku znaku nie trzeba, bo obie strony są nieujemne.

Wykres

Wykres funkcji

f(x) = \lvert x - 4 \rvert

(niebieski) i prostej

g(x) = 2x + 2

– rozwiązanie równania

\lvert x - 4 \rvert = 2x + 2

to współrzędna

x

punktu przecięcia

f(x) = \lvert x - 4 \rvert

g(x) = 2x + 2

Przykład

Przykład 1 – moduł równy liczbie. Rozwiąż równanie $\lvert 2x - 1 \rvert = 7$ .

Prawa strona jest dodatnia, więc wyrażenie pod modułem może być równe $7$ albo $-7$ :

2x - 1 = 7 \quad \text{lub} \quad 2x - 1 = -7

Stąd $2x = 8$ i $x = 4$ albo $2x = -6$ i $x = -3$ . Sprawdzenie: $\lvert 2 \cdot 4 - 1 \rvert = 7$ oraz $\lvert 2 \cdot (-3) - 1 \rvert = \lvert -7 \rvert = 7$ . Suma rozwiązań wynosi $1$ , a iloczyn $-12$ .

Przykład 2 – moduł równy wyrażeniu z $x$ . Rozwiąż równanie $\lvert x - 4 \rvert = 2x + 2$ .

Moduł jest nieujemny, więc prawa strona też musi być nieujemna: $2x + 2 \geq 0$ , czyli $x \geq -1$ . Przy tym warunku równanie rozpada się na dwa:

x - 4 = 2x + 2 \quad \text{lub} \quad x - 4 = -(2x + 2)

Z pierwszego wychodzi $x = -6$ , ale $-6 < -1$ , więc to rozwiązanie odpada: dla $x = -6$ lewa strona wynosi $10$ , a prawa $-10$ . Z drugiego: $x - 4 = -2x - 2$ , więc $3x = 2$ i $x = \frac{2}{3}$ . Warunek $x \geq -1$ jest spełniony, a sprawdzenie zgadza się: $\left\lvert \frac{2}{3} - 4 \right\rvert = \frac{10}{3}$ i $2 \cdot \frac{2}{3} + 2 = \frac{10}{3}$ . Odpowiedź: $x = \frac{2}{3}$ . Na wykresie widać to samo: prosta przecina wykres modułu tylko raz.

Przykład 3 – dwa moduły (metoda przedziałów). Rozwiąż równanie $2\lvert x + 3 \rvert + 3\lvert x - 1 \rvert = 13$ .

Wyrażenia pod modułami zerują się w $x = -3$ i $x = 1$ . Te dwie liczby dzielą oś na trzy przedziały. W każdym przedziale znak obu wyrażeń jest stały, więc moduły można opuścić (tabela niżej). Wyniki trzeba porównać z przedziałem, w którym liczymy:

-5x - 3 = 13 \Rightarrow x = -\tfrac{16}{5} \qquad 9 - x = 13 \Rightarrow x = -4 \qquad 5x + 3 = 13 \Rightarrow x = 2

Wartość $-\frac{16}{5} = -3{,}2$ leży w przedziale $x < -3$ , więc jest rozwiązaniem. Wartość $-4$ wyszła w przedziale $[-3, 1)$ , do którego nie należy – odpada. Wartość $2$ leży w przedziale $x \geq 1$ – jest rozwiązaniem. Odpowiedź: $x = -\frac{16}{5}$ lub $x = 2$ . Sprawdzenie: dla $x = 2$ mamy $2 \cdot 5 + 3 \cdot 1 = 13$ .

Tabela

Równanie

2\lvert x + 3 \rvert + 3\lvert x - 1 \rvert = 13

po opuszczeniu modułów w każdym przedziale

Przedział	$\lvert x + 3 \rvert$	$\lvert x - 1 \rvert$	Równanie bez modułów	Wynik
$x < -3$	$-x - 3$	$-x + 1$	$-5x - 3 = 13$	$x = -\frac{16}{5}$ – należy do przedziału
$-3 \leq x < 1$	$x + 3$	$-x + 1$	$9 - x = 13$	$x = -4$ – poza przedziałem, odpada
$x \geq 1$	$x + 3$	$x - 1$	$5x + 3 = 13$	$x = 2$ – należy do przedziału

Porównanie

Zapis	Co oznacza	Zbiór rozwiązań ( $r > 0$ )	Typ
$\lvert x - a \rvert = r$	odległość od $a$ równa $r$	dwa punkty: $a - r$ i $a + r$	równanie
$\lvert x - a \rvert < r$	odległość od $a$ mniejsza niż $r$	przedział $(a - r, a + r)$	nierówność
$\lvert x - a \rvert > r$	odległość od $a$ większa niż $r$	dwa przedziały na zewnątrz	nierówność
$\lvert f(x) \rvert = g(x)$	moduł równy wyrażeniu	zależy od $g(x) \geq 0$	równanie
$\lvert f(x) \rvert = \lvert g(x) \rvert$	dwa moduły równe sobie	$f = g$ lub $f = -g$	równanie

Po angielsku: absolute value equation. Nierównościami zajmuje hasło nierówności z wartością bezwzględną; tutaj wystarczy pamiętać, że równanie daje punkty, a nierówność – przedziały.

Typowe błędy

Tylko jedno z dwóch rozwiązań. Przy $\lvert x - 3 \rvert = 5$ uczeń pisze $x - 3 = 5$ , dostaje $x = 8$ i kończy. Moduł „gubi" znak, więc drugi przypadek to $x - 3 = -5$ , czyli $x = -2$ . Kontrola: równanie $\lvert x - a \rvert = r$ z $r > 0$ zawsze ma dwa rozwiązania, symetryczne względem $a$ .

Zły znak przy opuszczaniu ujemnego modułu. Dla $x < 3$ mamy $\lvert x - 3 \rvert = -(x - 3) = -x + 3$ . Zapis $-x - 3$ to pomyłka: minus dotyczy całego wyrażenia pod modułem, więc trzeba je wziąć w nawias.

Brak sprawdzenia, czy prawa strona jest nieujemna. W równaniu $\lvert x - 3 \rvert = 2x + 11$ dwa przypadki dają $x = -14$ i $x = -\frac{8}{3}$ . Dla $x = -14$ prawa strona wynosi $2 \cdot (-14) + 11 = -17$ , a moduł nigdy nie jest ujemny, więc $x = -14$ odpada. Zostaje $x = -\frac{8}{3}$ . Dopisz od razu warunek $g(x) \geq 0$ albo na końcu podstaw wyniki do równania.

Rozwiązanie spoza przedziału. W metodzie przedziałów wynik z danego przedziału zalicza się do odpowiedzi tylko wtedy, gdy do tego przedziału należy. W przykładzie z dwoma modułami $x = -4$ wyszło w przedziale $[-3, 1)$ i nie jest rozwiązaniem. Przy każdym przedziale zapisz jego granice obok równania.

Rozwiązania dla ujemnej liczby po prawej stronie. Równanie $\lvert x - 2 \rvert = -3$ nie ma rozwiązań, bo odległość nie bywa ujemna. Uczeń, który mechanicznie pisze $x - 2 = -3$ i $x - 2 = 3$ , dostaje $x = -1$ oraz $x = 5$ , ale $\lvert -1 - 2 \rvert = 3 \neq -3$ . Przed rozpadem na dwa równania spójrz na znak prawej strony.

Pomylenie $r$ z rozwiązaniem w sumie i iloczynie. Dla $\lvert x - 6 \rvert = 4$ rozwiązania to $2$ i $10$ , więc iloczyn wynosi $20$ . Wynik $24$ powstaje z mnożenia $6 \cdot 4$ , czyli środka przez promień – to nie ma związku z rozwiązaniami. Najpierw wyznacz $a - r$ i $a + r$ , dopiero potem licz.

Sprawdź się

Uzupełnij mniejsze i większe rozwiązanie równania.

Równanie	Mniejsze rozwiązanie	Większe rozwiązanie
$\lvert x - 2 \rvert = 5$		7
$\lvert x + 1 \rvert = 4$
$\lvert x - 10 \rvert = 6$

Suma rozwiązań równania $\lvert x - 3 \rvert = 5$ wynosi , a ich iloczyn .

Równanie $\lvert x + 1 \rvert = 0$ ma jedno rozwiązanie $x =$ , a równanie $\lvert x - 2 \rvert = -3$ ma 0 rozwiązań.

Równanie $\lvert x - 1 \rvert = 2x - 5$ ma jedno rozwiązanie $x =$ , bo drugi kandydat odpada przez warunek na prawą stronę.

Suma rozwiązań równania $\lvert 2x - 6 \rvert = x$ wynosi .

W równaniu $2\lvert x + 3 \rvert + 3\lvert x - 1 \rvert = 13$ mniejszy z punktów podziału osi to , a większe rozwiązanie równania to $x =$ .

Najczęściej zadawane pytania

Ile rozwiązań ma równanie z wartością bezwzględną?

Zależy od prawej strony. Równanie $\lvert f(x) \rvert = r$ ma dla $r < 0$ zero rozwiązań, a dla $r = 0$ tyle, ile równanie $f(x) = 0$ . Dla $r > 0$ rozpada się na $f(x) = r$ i $f(x) = -r$ , więc przy funkcji liniowej $f$ daje dwa rozwiązania. Gdy po prawej stronie jest wyrażenie z $x$ , liczba rozwiązań może wynosić $0$ , $1$ albo $2$ – o tym rozstrzyga sprawdzenie warunku.

Dlaczego rozwiązanie z równania bez modułu czasem trzeba odrzucić?

Bo przy opuszczaniu modułu zakładamy znak wyrażenia pod nim albo wymagamy, by prawa strona była nieujemna. Wynik, który tego założenia nie spełnia, rozwiązuje inne równanie, a nie to z zadania. Przykład: dla $\lvert x - 3 \rvert = 2x + 11$ wynik $x = -14$ daje lewą stronę $17$ i prawą $-17$ .

Czy równanie z modułem mogę rozwiązać przez podniesienie do kwadratu?

Tak, ale z ostrożnością. Dla dwóch modułów $\lvert f \rvert = \lvert g \rvert$ podniesienie do kwadratu jest równoważne i nic nie trzeba sprawdzać, bo $\lvert f \rvert^2 = f^2$ . Dla $\lvert f \rvert = g$ po podniesieniu do kwadratu wychodzi $f^2 = g^2$ , czyli także przypadki, w których $g < 0$ , więc warunek $g \geq 0$ trzeba dopisać. Po takim przekształceniu zostaje równanie kwadratowe, a przejście jest równoważne tylko wtedy, gdy pilnujesz warunku (więcej: równania równoważne). Częściej wygodniejsze jest zwykłe rozbicie na dwa równania.

Jak rozwiązać równanie z dwoma lub trzema modułami?

Metodą przedziałów. Znajdź miejsca zerowe wyrażeń pod modułami, podziel oś na przedziały, w każdym zapisz moduły bez znaku modułu (z plusem albo minusem) i rozwiąż równanie liniowe. Wynik zaliczasz do odpowiedzi tylko wtedy, gdy należy do przedziału, w którym go liczyłeś. Dobrze jest wypisać wszystko w tabeli, tak jak w przykładzie trzecim.

Czym różni się równanie

\lvert x - a \rvert = r

od nierówności

\lvert x - a \rvert \leq r

Równanie ma za rozwiązanie dwa punkty, $a - r$ i $a + r$ . Nierówność $\lvert x - a \rvert \leq r$ ma za rozwiązanie cały przedział $[a - r, a + r]$ . Różnicę opisuje hasło nierówności z wartością bezwzględną.

Czy wzór na rozwiązanie równania z modułem jest na karcie wzorów?

Nie wprost. Karta „Wybrane wzory matematyczne" zawiera definicję modułu, jego własności i wzory dla nierówności $\lvert x - a \rvert \leq r$ oraz $\lvert x - a \rvert \geq r$ . Równanie $\lvert x - a \rvert = r$ rozwiązuje się z definicji albo z interpretacji na osi: $x = a \pm r$ .

Jak szybko policzyć sumę i iloczyn rozwiązań równania

\lvert x - a \rvert = r

Rozwiązania to $a - r$ i $a + r$ , więc suma wynosi $2a$ (środek razy dwa), a iloczyn $a^2 - r^2$ . Dla $\lvert x + 4 \rvert = 7$ mamy $a = -4$ , $r = 7$ : suma $-8$ , iloczyn $16 - 49 = -33$ . Można też po prostu wypisać dwa rozwiązania i je dodać lub pomnożyć.

Kiedy równanie z modułem ma dokładnie jedno rozwiązanie?

Gdy po prawej stronie jest zero ( $\lvert x - a \rvert = 0$ , czyli $x = a$ ) albo gdy jedno z dwóch rozwiązań zostaje odrzucone przez warunek na prawą stronę lub przedział, jak w przykładzie drugim.

Komentarz Autora

Wzoru na rozwiązanie równania $\lvert x - a \rvert = r$ nie ma na karcie „Wybrane wzory matematyczne" (rozdział 1, „Wartość bezwzględna liczby"). Na karcie jest definicja modułu, jego własności i interpretacja jako odległość od zera oraz wzory dla nierówności $\lvert x - a \rvert \leq r$ i $\lvert x - a \rvert \geq r$ . Rozwiązanie równania sprowadzasz więc sam do dwóch przypadków.

Poziom podstawowy: w czerwcu 2025 (zadanie 1) liczby $x_1$ i $x_2$ były różnymi rozwiązaniami równania $\lvert x - 6 \rvert = 4$ i trzeba było podać ich iloczyn – $20$ (odpowiedź B w kluczu). W próbnej maturze z grudnia 2024 (zadanie 1) równanie $\lvert x + 4 \rvert = 7$ i pytanie o sumę rozwiązań – $-8$ (odpowiedź B). Oba to zadania zamknięte za 1 punkt.

Poziom rozszerzony: w próbnej maturze z grudnia 2024 (zadanie 6) należało rozwiązać równanie $\lvert 4x - 8 \rvert + \lvert x - 2 \rvert = \lvert 2 - x \rvert + \lvert x + 2 \rvert + 4$ . Wystarczy zauważyć, że $\lvert 2 - x \rvert = \lvert x - 2 \rvert$ , i równanie upraszcza się do $4\lvert x - 2 \rvert = \lvert x + 2 \rvert + 4$ . Metoda przedziałów daje $x = \frac{2}{5}$ lub $x = \frac{14}{3}$ ; w przedziale $x < -2$ wychodzi $x = 2$ , który tam nie należy. W maju 2022 (zadanie 7, za 3 punkty) równanie $\lvert x - 3 \rvert = 2x + 11$ ma jedno rozwiązanie, $x = -\frac{8}{3}$ ; drugi kandydat, $x = -14$ , odpada, bo $2x + 11 < 0$ . W maju 2021 (zadanie 4, zamknięte) liczba różnych pierwiastków równania $3x + \lvert x - 4 \rvert = 0$ to $1$ (odpowiedź B): z przypadku $x \geq 4$ wychodzi $x = 1$ , którego tam nie ma, a z przypadku $x < 4$ wychodzi $x = -2$ . W maju 2024 (arkusz w formule 2015, poziom rozszerzony, zadanie 2) równanie $\lvert 2x - 4 \rvert = 3x + 1$ miało dokładnie jedno rozwiązanie, $x = \frac{3}{5}$ (odpowiedź B), bo $x = -5$ nie spełnia warunku $3x + 1 \geq 0$ .

Wniosek z tych zadań jest jeden: na rozszerzeniu prawie za każdym razem w równaniu z modułem jest jakiś kandydat do odrzucenia. Zanim zamkniesz zadanie, spytaj siebie: czy sprawdziłem warunek na prawą stronę albo przedział? Podstawienie wyniku do równania zajmuje chwilę i łapie tę pomyłkę. Zadanie, w którym moduł występuje tylko w liczbach (bez niewiadomej), omawia hasło wartość bezwzględna.

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Nierówności z wartością bezwzględnąRównania i nierówności Zadania tekstowe – układanie równańRównania i nierówności Nierówności kwadratoweRównania i nierówności Nierówności linioweRównania i nierówności Nierówności wymierneRównania i nierówności Pierwiastki trójmianu o zadanych znakach lub w przedzialeRównania i nierówności