Wszystkie zagadnienia: Liczby i algebra
podstawowy matura podstawowa z matematykimatura rozszerzona z matematykirównanie kwadratowedeltapierwiastki

Równanie kwadratowe

01

Opis

Równanie kwadratowe to równanie postaci ax^2 + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0. Liczba rozwiązań zależy od znaku wyróżnika Δ. To jedno z najczęstszych zagadnień na maturze z matematyki – pojawia się też jako element większych zadań.

Gdy Δ > 0 równanie ma dwa pierwiastki, gdy Δ = 0 jeden (podwójny), a gdy Δ < 0 nie ma pierwiastków rzeczywistych.

02

Wzory

Wyróżnik
Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac
Dwa pierwiastki
x1=−b−Δ2a,x2=−b+Δ2ax_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a},\quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
Pierwiastek podwójny
x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}
gdy Δ=0\Delta = 0
Wzory Viète'a
x1+x2=−ba,x1⋅x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
03

Przykład

Rozwiąż równanie x^2 − 5x + 6 = 0. Δ = (−5)^2 − 4·1·6 = 25 − 24 = 1, √Δ = 1 x1 = (5 − 1) / 2 = 2, x2 = (5 + 1) / 2 = 3 Rozwiązania: x = 2 oraz x = 3.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Równanie kwadratowe z parametremRównania i nierówności Pierwiastki trójmianu o zadanych znakach lub w przedzialeRównania i nierówności Wzory Viète’aRównania i nierówności Nierówności kwadratoweRównania i nierówności Nierówności linioweRównania i nierówności Nierówności wymierneRównania i nierówności