Wszystkie zagadnienia: Liczby i algebra

zaawansowany matura rozszerzona z matematykiparametrrównanie kwadratowedelta

Równanie kwadratowe z parametrem

Q: Czym różni się warunek Δ > 0 od Δ ≥ 0 w zadaniu z parametrem?

Przy Δ > 0 równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania, przy Δ = 0 – jedno (podwójne). Treść „dwa różne rozwiązania" oznacza więc Δ > 0. Gdy treść mówi tylko „dwa rozwiązania" i dopuszcza x_1 = x_2, wolno przyjąć Δ ≥ 0. W zasadach oceniania CKE rozwiązanie warunku Δ ≥ 0 zamiast Δ > 0 przy „dwóch różnych" nie jest punktowane.

Q: Kiedy trzeba rozważyć przypadek a = 0?

Zawsze wtedy, gdy parametr występuje we współczynniku przy x^2 i zadanie nie mówi wprost, że równanie jest kwadratowe. Dla a = 0 równanie staje się liniowe i ma jedno rozwiązanie (gdy b ≠ 0), więc w pytaniu o „dokładnie jedno rozwiązanie" ten przypadek jest częścią odpowiedzi. W pytaniu o „dwa rozwiązania" wartość m, dla której a = 0, po prostu wyłączamy.

Q: Czy trzeba liczyć deltę, jeśli używam wzorów Viète'a?

Tak. Wzory x_1 + x_2 = -b/a i x_1 x_2 = c/a opisują pierwiastki, o ile istnieją. Karta wzorów podaje je z zastrzeżeniem „jeżeli Δ ≥ 0". Gdy Δ 0 zapisujemy osobno i przecinamy z wynikiem z Viète'a.

Q: Jak zapisać x_1^2 + x_2^2 za pomocą sumy i iloczynu pierwiastków?

Ze wzoru skróconego mnożenia (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2 dostajemy x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2. Dla x^2 - 5x + 3 = 0 jest 5^2 - 2 · 3 = 19. Analogicznie x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2 (x_1 + x_2). Wzory te nie są na karcie CKE, więc warto je umieć wyprowadzić.

Q: Co zrobić, gdy w warunku pojawia się 1/(x_1) + 1/(x_2)?

Sprowadź do wspólnego mianownika: 1/(x_1) + 1/(x_2) = (x_1 + x_2)/(x_1 x_2). Do założeń dołóż, że pierwiastki są różne od zera, czyli c ≠ 0 (w zapisie z m – to jest kolejna wartość do wyłączenia). Nierówność z mianownikiem zawierającym m rozwiązuj tak, jak nierówność kwadratową, a nie przez mnożenie przez wyrażenie o nieznanym znaku.

Q: Jak sprawdzić, czy wynik jest dobry?

Wybierz jedną wartość m z odpowiedzi i jedną spoza niej. Dla pierwszej policz pierwiastki i sprawdź warunek z zadania, dla drugiej wykaż, że któryś warunek nie zachodzi. Wartości graniczne zbadaj osobno: to w nich najczęściej mylimy domknięcie przedziału z otwarciem.

Opis

Równanie kwadratowe z parametrem to równanie, w którym obok niewiadomej $x$ występuje druga litera, najczęściej $m$ , a jej wartość wybieramy sami. Dla każdej wartości $m$ dostajemy inne równanie: raz z dwoma rozwiązaniami, raz z jednym, raz bez żadnego. Zadanie brzmi zwykle tak: „dla jakich $m$ równanie ma rozwiązania o danej własności?". Odpowiedzią nie jest liczba, tylko zbiór wartości $m$ , zapisany przedziałami. Ten temat obowiązuje wyłącznie na poziomie rozszerzonym.

Rozwiązanie ma prawie zawsze ten sam szkielet, dlatego warto go znać na pamięć:

Założenie o współczynniku przy $x^2$ . Skoro równanie ma być kwadratowe, to współczynnik $a$ musi być różny od zera. Gdy $a$ zawiera $m$ , od razu zapisujemy, które $m$ odpada.
Warunek na deltę. „Dwa różne rozwiązania" to $\Delta > 0$ , a nie $\Delta \geq 0$ . Z tego wychodzi pierwsza nierówność z niewiadomą $m$ (wyróżnik i wzory na pierwiastki opisuje hasło równanie kwadratowe).
Warunek na rozwiązania. Własność typu $x_1^2 + x_2^2 > 5$ zamieniamy na sumę $x_1 + x_2$ i iloczyn $x_1 x_2$ , a te znamy ze wzorów Viète'a bez liczenia pierwiastków. Wychodzi druga nierówność z niewiadomą $m$ .
Część wspólna. Odpowiedzią jest zbiór $m$ spełniających wszystkie warunki naraz, więc przecinamy zbiory rozwiązań. Na tym etapie najłatwiej zgubić punkty.

Gdy znak lub położenie pierwiastków względem liczby (oba dodatnie, oba w przedziale) jest głównym warunkiem, zadanie należy do hasła pierwiastki trójmianu z parametrem. Równania, w których $x$ występuje tylko w pierwszej potędze, omawia równanie liniowe z parametrem. Nierówności z $m$ rozwiązujemy tak jak w haśle nierówności kwadratowe.

Wzory

Warunek „dwa różne rozwiązania"

a \neq 0 \quad \wedge \quad \Delta > 0

Dwie nierówności z

m

, które trzeba przeciąć.

\Delta = b^2 - 4ac

policzone z wyrażeniami zawierającymi

m

Warunek „dokładnie jedno rozwiązanie"

(a \neq 0 \wedge \Delta = 0) \quad \vee \quad (a = 0 \wedge b \neq 0)

Drugi człon to równanie, które przestało być kwadratowe, a mimo to ma jedno rozwiązanie. Łatwo go pominąć.

Suma kwadratów

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2

Wynika ze wzoru skróconego mnożenia. Liczysz z

S = x_1 + x_2

P = x_1 x_2

Suma sześcianów

x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2 (x_1 + x_2)

Trzeci składnik ma znak minus i czynnik

3

Suma czwartych potęg

x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1 x_2)^2

Najpierw suma kwadratów, potem jeszcze raz podnosimy do kwadratu.

Suma odwrotności

\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}

Wymaga

x_1, x_2 \neq 0

, czyli

c \neq 0

Kwadrat różnicy

(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = \frac{\Delta}{a^2}

Różnica pierwiastków zależy od

\Delta

, a nie od ich kolejności.

Moduł różnicy

\lvert x_1 - x_2 \rvert = \frac{\sqrt{\Delta}}{\lvert a \rvert}

Pierwiastek z poprzedniego wzoru. Pasuje do warunków „pierwiastki różnią się o

d

Moduł różnicy kwadratów

\lvert x_1^2 - x_2^2 \rvert = \lvert x_1 + x_2 \rvert \cdot \frac{\sqrt{\Delta}}{\lvert a \rvert}

Rozkład

x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)

i wzór wyżej.

Tabela

Równanie

(m-1)x^2 - 2x + 1 = 0

dla wybranych wartości parametru

$m$	Równanie	$\Delta$	Liczba rozwiązań
$-1$	$-2x^2 - 2x + 1 = 0$	12	2
$0$	$-x^2 - 2x + 1 = 0$	8	2
$1$	$-2x + 1 = 0$ (nie jest kwadratowe)	–	1, czyli $x = \frac{1}{2}$
$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}x^2 - 2x + 1 = 0$	2	2
$2$	$x^2 - 2x + 1 = 0$	0	1, czyli $x = 1$
$3$	$2x^2 - 2x + 1 = 0$	$-4$	0

Wykres

Wyróżnik

\Delta(m) = m^2 - 4m

równania

x^2 + mx + m = 0

jako funkcja parametru

\Delta(m) = m^2 - 4m

Przykład

Przykład 1 – liczba rozwiązań. Dla każdej wartości parametru $m$ ustal liczbę rozwiązań równania $(m-2)x^2 - 2mx + m + 3 = 0$ .

Gdy $m = 2$ , równanie przestaje być kwadratowe: $-4x + 5 = 0$ , więc jest dokładnie jedno rozwiązanie $x = \frac{5}{4}$ . Dla $m \neq 2$ liczymy deltę:

\Delta = (-2m)^2 - 4(m-2)(m+3) = 4m^2 - 4m^2 - 4m + 24 = -4m + 24

Stąd $\Delta > 0$ dla $m < 6$ , $\Delta = 0$ dla $m = 6$ i $\Delta < 0$ dla $m > 6$ . Dla $m = 6$ równanie ma postać $4x^2 - 12x + 9 = 0$ , czyli $(2x - 3)^2 = 0$ , a więc jedno rozwiązanie $x = \frac{3}{2}$ . Zestawiamy wyniki: dwa rozwiązania dla $m \in (-\infty, 2) \cup (2, 6)$ , jedno dla $m \in \{2, 6\}$ , brak rozwiązań dla $m \in (6, \infty)$ .

Przykład 2 – jedno rozwiązanie dwa razy większe od drugiego (zbiór zadań CKE, zadanie 11, 4 punkty). Wyznacz wszystkie $m$ , dla których równanie $2x^2 - (2m+7)x + m^2 - 3m + 21 = 0$ ma dwa różne rozwiązania spełniające $x_1 = 2x_2$ .

Ze wzorów Viète'a i z warunku $x_1 = 2x_2$ mamy $x_1 + x_2 = 3x_2 = \frac{2m+7}{2}$ oraz $x_1 x_2 = 2x_2^2 = \frac{m^2 - 3m + 21}{2}$ . Z pierwszego równania $x_2 = \frac{2m+7}{6}$ . Wstawiamy do drugiego:

2 \cdot \left(\frac{2m+7}{6}\right)^2 = \frac{m^2 - 3m + 21}{2} \quad \Longrightarrow \quad 4m^2 + 28m + 49 = 9m^2 - 27m + 189

Po uporządkowaniu: $m^2 - 11m + 28 = 0$ , więc $m = 4$ lub $m = 7$ . Zostaje jeszcze warunek $\Delta > 0$ , bo wzory Viète'a mówią tylko, co by było, gdyby pierwiastki istniały. Mamy $\Delta = (2m+7)^2 - 8(m^2 - 3m + 21) = -4m^2 + 52m - 119$ . Dla $m = 4$ jest $\Delta = 25$ , dla $m = 7$ jest $\Delta = 49$ – oba wyniki spełniają warunek. Sprawdzenie: dla $m = 4$ równanie to $2x^2 - 15x + 25 = 0$ z pierwiastkami $5$ i $\frac{5}{2}$ , a dla $m = 7$ równanie $2x^2 - 21x + 49 = 0$ ma pierwiastki $7$ i $\frac{7}{2}$ . Odpowiedź: $m \in \{4, 7\}$ .

Przykład 3 – wyrażenie symetryczne i część wspólna. Wyznacz wszystkie $m$ , dla których równanie $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ ma dwa różne rozwiązania spełniające $x_1^2 + x_2^2 \geq 6$ .

Współczynnik przy $x^2$ jest równy $1$ , więc założenie o $a$ jest spełnione. Warunek $\Delta > 0$ :

\Delta = 4m^2 - 4(m+2) = 4(m-2)(m+1) > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad m \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)

Teraz $x_1 + x_2 = 2m$ i $x_1 x_2 = m + 2$ , więc $x_1^2 + x_2^2 = (2m)^2 - 2(m+2) = 4m^2 - 2m - 4$ . Nierówność $4m^2 - 2m - 4 \geq 6$ daje $2m^2 - m - 5 \geq 0$ , czyli $m \leq \frac{1 - \sqrt{41}}{4}$ lub $m \geq \frac{1 + \sqrt{41}}{4}$ . Liczbowo: $\frac{1 - \sqrt{41}}{4} \approx -1{,}35$ i $\frac{1 + \sqrt{41}}{4} \approx 1{,}85$ .

Przecinamy z warunkiem $\Delta > 0$ . Lewa część: $m \leq -1{,}35$ leży w $(-\infty, -1)$ , więc zostaje cała. Prawa część: $m \geq 1{,}85$ przecięte z $(2, \infty)$ daje $(2, \infty)$ , bo $1{,}85 < 2$ . Odpowiedź:

m \in \left(-\infty, \frac{1 - \sqrt{41}}{4}\right] \cup (2, \infty)

Granica $2$ jest otwarta, bo dla $m = 2$ jest $\Delta = 0$ . Granica $\frac{1 - \sqrt{41}}{4}$ jest domknięta, bo tam $\Delta > 0$ , a nierówność jest słaba.

Porównanie

Treść zadania	Współczynnik $a$	Wyróżnik	Uwaga
dwa różne rozwiązania	$a \neq 0$	$\Delta > 0$	wzory Viète'a wolno stosować
dwa rozwiązania (niekoniecznie różne)	$a \neq 0$	$\Delta \geq 0$	$x_1 = x_2$ też spełnia
dokładnie jedno rozwiązanie	$a \neq 0$ albo $a = 0$	$\Delta = 0$ (gdy $a \neq 0$ )	przy $a = 0$ równanie jest liniowe
brak rozwiązań	$a \neq 0$	$\Delta < 0$	przy $a = 0$ i $b = 0$ liczy się $c$
dwa rozwiązania dodatnie	$a \neq 0$	$\Delta > 0$ plus znaki	szczegóły: hasło o położeniu pierwiastków

Po angielsku parametr to „parameter", wyróżnik to „discriminant", a wzory Viète'a to „Vieta's formulas". Pułapka sformułowań: „dwa różne" i „dwa" to różne warunki, bo w drugim przypadku dopuszczamy $\Delta = 0$ . W zadaniach maturalnych zwykle pada „dwa różne", ale zawsze warto przeczytać polecenie jeszcze raz.

Typowe błędy

Pominięty warunek $\Delta > 0$ . Zdający rozwiązuje nierówność z wyrażeniem symetrycznym, dostaje przedział i na tym kończy. Wzory Viète'a zadziałają jednak dla każdego $m$ , także takiego, dla którego pierwiastków rzeczywistych nie ma. W sprawozdaniu CKE z matury 2026 przy zadaniu z parametrem opisano zdającego, który przeoczył ten warunek i zorientował się dopiero po rozwiązaniu pozostałych. Zapisuj $\Delta > 0$ jako pierwszy krok i rozwiązuj go od razu.

$\Delta \geq 0$ zamiast $\Delta > 0$ . Dla „dwóch różnych rozwiązań" brzmi to jak drobiazg, ale w zasadach oceniania CKE jest jasna uwaga: jeśli zdający rozwiązuje $\Delta \geq 0$ , za tę część dostaje 0 punktów. Przy $m = 4$ w równaniu $x^2 + mx + m = 0$ jest $\Delta = 0$ i rozwiązanie jest tylko jedno ( $x = -2$ ), więc liczba $4$ nie należy do odpowiedzi.

Pominięte założenie $a \neq 0$ . Przy $(m-2)x^2 - 2mx + m + 3 = 0$ wartość $m = 2$ trzeba wyłączyć albo zbadać osobno. Wyliczenie samego $\Delta$ nic o tym nie mówi: dla $m = 2$ wychodzi $\Delta = 16$ i „dwa rozwiązania", a w rzeczywistości równanie $-4x + 5 = 0$ ma jedno. To samo sprawozdanie jako niewielką lukę w pełnym rozwiązaniu wskazuje brak stwierdzenia, że współczynnik wiodący jest dodatni przy podanym założeniu.

Błąd w wyrażeniu symetrycznym. Zapis $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2$ gubi składnik $-2x_1 x_2$ , a przy sześcianach zapominamy o $3x_1 x_2 (x_1 + x_2)$ . Kontrola jest prosta: dla $x^2 - 5x + 6 = 0$ pierwiastki to $2$ i $3$ , suma kwadratów wynosi $13$ , a $5^2 - 2 \cdot 6 = 13$ . Gdy wzór wychodzi inaczej, brakuje składnika.

Brak części wspólnej lub jej zła granica. Dwie nierówności dają dwa zbiory, a odpowiedzią jest tylko ich iloczyn. Trzeba też zdecydować, czy koniec przedziału jest otwarty, czy domknięty: granica z $\Delta > 0$ zawsze jest otwarta, a granica z nierówności słabej ( $\leq$ ) domknięta. Rysunek osi z oboma zbiorami zajmuje pół minuty i pokazuje, co odpada.

Odrzucenie lub zachowanie rozwiązania bez sprawdzenia warunków. W czerwcu 2024 równanie trzeciego stopnia względem $m$ miało trzy pierwiastki, z których jeden nie spełniał $\Delta > 0$ i trzeba go było odrzucić. Po rozwiązaniu równania z $m$ zawsze sprawdź każdy wynik w założeniach: $a \neq 0$ , $\Delta > 0$ , mianowniki różne od zera.

Dzielenie przez wyrażenie z $m$ . Mnożąc lub dzieląc nierówność przez wyrażenie zawierające $m$ , nie znamy jego znaku. Z równaniem jest podobnie: dzielenie przez $m$ gubi rozwiązanie $m = 0$ . Zamiast dzielić, przenieś wszystko na jedną stronę i rozłóż na czynniki.

Sprawdź się

Równanie $x^2 - 4x + m = 0$ dla wybranych wartości $m$ . Uzupełnij tabelę.

$m$	$\Delta$	liczba rozwiązań
0		2
3		2
4	0
5	$-4$

Równanie $x^2 - 4x + m = 0$ ma dwa różne rozwiązania dla $m <$ .

Równanie $mx^2 - 6x + 1 = 0$ przestaje być kwadratowe dla $m =$ .

Dla równania $x^2 - 5x + 3 = 0$ suma kwadratów pierwiastków wynosi $x_1^2 + x_2^2 =$ .

Dla równania $x^2 - 3x + 1 = 0$ suma sześcianów pierwiastków wynosi $x_1^3 + x_2^3 =$ .

Równanie $(m-2)x^2 - 6x + 1 = 0$ ma dwa różne rozwiązania dla $m < 11$ i $m \neq 2$ . Największa liczba całkowita $m$ spełniająca ten warunek to $m =$ .

Dla $m = 3$ wyróżnik równania $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ wynosi $\Delta =$ .

Najczęściej zadawane pytania

Czym różni się warunek

\Delta > 0

\Delta \geq 0

w zadaniu z parametrem?

Przy $\Delta > 0$ równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania, przy $\Delta = 0$ – jedno (podwójne). Treść „dwa różne rozwiązania" oznacza więc $\Delta > 0$ . Gdy treść mówi tylko „dwa rozwiązania" i dopuszcza $x_1 = x_2$ , wolno przyjąć $\Delta \geq 0$ . W zasadach oceniania CKE rozwiązanie warunku $\Delta \geq 0$ zamiast $\Delta > 0$ przy „dwóch różnych" nie jest punktowane.

Kiedy trzeba rozważyć przypadek

a = 0

Zawsze wtedy, gdy parametr występuje we współczynniku przy $x^2$ i zadanie nie mówi wprost, że równanie jest kwadratowe. Dla $a = 0$ równanie staje się liniowe i ma jedno rozwiązanie (gdy $b \neq 0$ ), więc w pytaniu o „dokładnie jedno rozwiązanie" ten przypadek jest częścią odpowiedzi. W pytaniu o „dwa rozwiązania" wartość $m$ , dla której $a = 0$ , po prostu wyłączamy.

Czy trzeba liczyć deltę, jeśli używam wzorów Viète'a?

Tak. Wzory $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ i $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ opisują pierwiastki, o ile istnieją. Karta wzorów podaje je z zastrzeżeniem „jeżeli $\Delta \geq 0$ ". Gdy $\Delta < 0$ , prawe strony wciąż dają liczby, ale nie odpowiadają żadnym pierwiastkom rzeczywistym, a tylko takich dotyczy zadanie. Dlatego warunek $\Delta > 0$ zapisujemy osobno i przecinamy z wynikiem z Viète'a.

Jak zapisać

x_1^2 + x_2^2

za pomocą sumy i iloczynu pierwiastków?

Ze wzoru skróconego mnożenia $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$ dostajemy $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$ . Dla $x^2 - 5x + 3 = 0$ jest $5^2 - 2 \cdot 3 = 19$ . Analogicznie $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2 (x_1 + x_2)$ . Wzory te nie są na karcie CKE, więc warto je umieć wyprowadzić.

Co zrobić, gdy w warunku pojawia się

\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}

Sprowadź do wspólnego mianownika: $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$ . Do założeń dołóż, że pierwiastki są różne od zera, czyli $c \neq 0$ (w zapisie z $m$ – to jest kolejna wartość do wyłączenia). Nierówność z mianownikiem zawierającym $m$ rozwiązuj tak, jak nierówność kwadratową, a nie przez mnożenie przez wyrażenie o nieznanym znaku.

Jak sprawdzić, czy wynik jest dobry?

Wybierz jedną wartość $m$ z odpowiedzi i jedną spoza niej. Dla pierwszej policz pierwiastki i sprawdź warunek z zadania, dla drugiej wykaż, że któryś warunek nie zachodzi. Wartości graniczne zbadaj osobno: to w nich najczęściej mylimy domknięcie przedziału z otwarciem.

Czy zadania z parametrem występują także w innych zagadnieniach?

Tak, z tym samym szkieletem. W warunku typu „oba pierwiastki są dodatnie" albo „leżą w przedziale" głównym zadaniem jest ich położenie – omawia to hasło pierwiastki trójmianu z parametrem. Gdy w zadaniu występuje równanie trzeciego stopnia względem $m$ , pomaga hasło o pierwiastkach całkowitych wielomianu.

Dlaczego odpowiedzią jest zbiór, a nie jedna liczba?

Bo parametr przyjmuje wiele wartości, a pytamy, dla których z nich zachodzi dana własność. Równanie z $m$ w warunku Viète'a często daje kilka liczb (jak $m \in \{4, 7\}$ w Przykładzie 2), a nierówność – przedziały. Odpowiedź zapisujemy jako zbiór wszystkich takich $m$ , najlepiej sumą przedziałów z poprawnie domkniętymi końcami.

Komentarz Autora

Delta i wzory Viète'a są na karcie „Wybrane wzory matematyczne" (rozdział 7, „Funkcja kwadratowa"): wyróżnik, wzory na pierwiastki oraz $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ i $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ . Wyrażeń na sumę kwadratów czy sześcianów pierwiastków na karcie nie ma – trzeba je wyprowadzić z wzorów skróconego mnożenia, a to jest właśnie ta część zadania, w której najłatwiej o błąd rachunkowy.

W arkuszach rozszerzonych zebranych na portalu do tego hasła przypisano osiem zadań: siedem z Formuły 2023 i jedno z 2019 roku. W czerwcu 2026 (poziom rozszerzony, zadanie 11, za 5 punktów) dla równania $x^2 + mx + m = 0$ trzeba było wyznaczyć $m$ z warunkiem $x_1^4 + x_2^4 + 4x_1^3 x_2^3 \geq 3$ . Odpowiedź z klucza: $m \in (-\infty, -1] \cup (4, \infty)$ . Klucz dzieli rozwiązanie na trzy etapy: nierówność $\Delta > 0$ (1 punkt), warunek na pierwiastki (3 punkty) i część wspólna (1 punkt), a uwaga mówi, że rozwiązanie $\Delta \geq 0$ daje 0 punktów za pierwszy etap. Taką samą uwagę zawierają klucze z maja 2024 (zadanie 12) i maja 2023 (zadanie 11).

Poziom wykonania wg sprawozdań CKE: zadanie 12 z maja 2024 (za 6 punktów) wykonało 41% zdających, a zadanie 11 z maja 2023 (za 5 punktów) – 45%. W maju 2024 równanie $x^2 - (3m+1)x + 2m^2 + m + 1 = 0$ miało dwa różne rozwiązania spełniające $x_1^3 + x_2^3 + 3x_1 x_2 (x_1 + x_2 - 3) \leq 3m - 7$ , a odpowiedź to $m \in (-\infty, -3)$ . W maju 2023 dla równania $x^2 + 4x - \frac{m-3}{m-2} = 0$ z warunkiem $x_1^3 + x_2^3 > -28$ wynik to $m \in \left(\frac{11}{5}, \frac{9}{4}\right)$ . Pozostałe zadania z tego samego schematu: czerwiec 2025 (zadanie 5, za 4 punkty), równanie $x^2 + 2mx + 2m - 1 = 0$ z warunkiem $m(x_1^2 + x_2^2) = 3m \cdot x_1 x_2 + 2$ , odpowiedź $m = 2$ ; czerwiec 2024 (zadanie 12, za 6 punktów), warunek $x_1^2 + x_2^2 = x_1 x_2 + 7$ , odpowiedź $m \in \left\{1, -1 - \frac{2\sqrt{42}}{3}\right\}$ ; próbna matura z grudnia 2024 (zadanie 11, za 5 punktów), warunek $\lvert x_1^2 - x_2^2 \rvert \leq 12$ dla $f(x) = x^2 - 3x - m^2 + m + 3$ , odpowiedź $m \in \left[\frac{1 - 2\sqrt{5}}{2}, -\frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{3}{2}, \frac{1 + 2\sqrt{5}}{2}\right]$ ; czerwiec 2023 (zadanie 10, za 5 punktów), warunek $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} < 1$ z $x_1, x_2 \neq 0$ , odpowiedź $m \in (-4 - 2\sqrt{6}, 0) \cup \left(0, \frac{1}{9}\right)$ . Z 2019 roku pochodzi zadanie z czerwca (zadanie 12, za 6 punktów) o dwóch dodatnich rozwiązaniach z warunkiem $x_1^2 + x_2^2 \leq \frac{17}{4}$ , odpowiedź $m \in (2, 3]$ .

Informator CKE o maturze rozszerzonej dodaje dwa przykłady tego samego typu. W zadaniu 5 wielomian $(x-1)(x^2 - mx + m - 1)$ ma mieć dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty: wystarczy rozważyć $\Delta < 0$ albo $\Delta = 0$ z pierwiastkiem równym $1$ , wychodzi $m = 2$ . W zadaniu 6 miejsca zerowe $f(x) = px^2 + (p-1)x + 1 - 2p$ mają się różnić o $1$ , a równanie $\lvert x_1 - x_2 \rvert = 1$ daje $p = \frac{1}{4}$ lub $p = \frac{1}{2}$ .

Rada: nie ufaj intuicji co do liczby warunków, tylko zapisz je jako listę na początku. Dla „dwóch różnych rozwiązań" jest ich zwykle trzy: $a \neq 0$ (jeśli $m$ jest we współczynniku), $\Delta > 0$ i warunek na pierwiastki. Po rozwiązaniu każdego skreślaj pozycję z listy, a odpowiedź podaj dopiero po przecięciu wszystkich zbiorów.

Drugi nawyk: przed oddaniem pracy podstaw jedną liczbę z odpowiedzi i jedną spoza niej do równania. Dla $m = 2$ w Przykładzie 3 wychodzi $\Delta = 0$ (jedno rozwiązanie, nie pasuje), a dla $m = 3$ równanie $x^2 - 6x + 5 = 0$ ma pierwiastki $1$ i $5$ oraz $x_1^2 + x_2^2 = 26 \geq 6$ .

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Równanie kwadratoweRównania i nierówności Pierwiastki trójmianu o zadanych znakach lub w przedzialeRównania i nierówności Równania i nierówności liniowe z parametremRównania i nierówności Nierówności kwadratoweRównania i nierówności Nierówności linioweRównania i nierówności Nierówności wymierneRównania i nierówności