Nierówności wielomianowe

Nierówność wielomianowa to nierówność postaci $W(x) > 0$, $W(x) \geq 0$, $W(x) < 0$ albo $W(x) \leq 0$, gdzie $W$ jest wielomianem. Rozwiązać ją znaczy znaleźć wszystkie liczby $x$, dla których wartość wielomianu ma właściwy znak. Odpowiedzią jest zbiór – przedział, suma przedziałów, a czasem także pojedyncze punkty.

Podstawa programowa (Dz.U. 2024 poz. 1019) wymaga tego od zdającego dopiero na poziomie rozszerzonym i tylko dla wielomianów w postaci iloczynowej albo takich, które da się do niej doprowadzić przez wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias lub grupowanie. Na poziomie podstawowym wielomiany pojawiają się wyłącznie w równaniach iloczynowych, które omawia hasło równania wielomianowe.

Metoda jest zawsze ta sama i składa się z czterech kroków:

• zapisz wielomian w postaci iloczynowej i przenieś wszystko na jedną stronę, tak by po drugiej stronie było $0$ (jak rozkładać na czynniki – hasło rozkład na czynniki),
• wypisz pierwiastki i zaznacz je na osi liczbowej – razem z ich krotnością (wykładnikiem czynnika),
• narysuj szkic: zacznij od prawej strony, od góry (gdy współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni), i przechodź przez kolejne pierwiastki,
• odczytaj ze szkicu przedziały, w których wykres leży nad osią (dla $>0$) albo pod nią (dla $<0$), a na końcu sprawdź końce przedziałów i izolowane punkty.

Cała trudność jest w trzecim kroku. Przy pierwiastku nieparzystej krotności (jednokrotnym, trzykrotnym) wykres przechodzi na drugą stronę osi i znak się zmienia. Przy pierwiastku parzystej krotności (na przykład czynnik $(x-2)^2$) wykres tylko dotyka osi i zawraca, więc znak się nie zmienia. Taki pierwiastek ma jednak własne konsekwencje: przy nierówności niestrogiej ($\geq$, $\leq$) jest pojedynczym rozwiązaniem, a przy ostrej ($>$, $<$) trzeba go wykluczyć.

Czynnik bez pierwiastków rzeczywistych, na przykład $x^2 + 4$, jest zawsze dodatni, więc nie wpływa na znak iloczynu i nie rysujesz dla niego żadnego punktu. Nierówności z trójmianem kwadratowym w jednym czynniku to osobny temat: nierówności kwadratowe.

Przykład 1 – pierwiastek podwójny i czynnik z pierwiastkiem kwadratowym. Rozwiąż nierówność $(x+4)^2(x^2-6)(x-4) \geq 0$.

Wielomian jest już iloczynem. Czynnik $x^2 - 6$ rozkładamy ze wzoru na różnicę kwadratów (hasło wzory skróconego mnożenia): $x^2 - 6 = (x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6})$. Pierwiastki to $-4$ (podwójny), $-\sqrt{6} \approx -2{,}45$, $\sqrt{6} \approx 2{,}45$ i $4$ (jednokrotne). Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc za $x = 4$ wielomian jest dodatni. Idziemy w lewo: za $\sqrt{6}$ znak się zmienia na ujemny, za $-\sqrt{6}$ na dodatni, a w $-4$ – pierwiastku podwójnym – znak się nie zmienia, więc na lewo od $-4$ nadal jest ujemny. Tabela wyżej potwierdza to wartościami w punktach kontrolnych.

Nierówność jest niestrogą, więc bierzemy przedziały, gdzie $W \geq 0$, razem z końcami, oraz punkt $-4$, w którym $W = 0$:

Punkt $-4$ jest izolowany: tuż obok wielomian jest ujemny, a w samym punkcie równy zero.

Przykład 2 – wielomian trzeba najpierw rozłożyć. Rozwiąż nierówność $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 < 0$.

Grupujemy wyrazy: $x^2(x - 3) - 4(x - 3) = (x - 3)(x^2 - 4) = (x - 3)(x - 2)(x + 2)$. Pierwiastki $-2$, $2$, $3$ są jednokrotne, a współczynnik przy $x^3$ jest dodatni. Szkic zaczynamy od góry z prawej: na $(3, \infty)$ wielomian jest dodatni, na $(2, 3)$ ujemny, na $(-2, 2)$ dodatni, na $(-\infty, -2)$ ujemny. Szukamy wartości ujemnych, a nierówność jest ostra, więc końce przedziałów odpadają:

Sprawdzian: $W(-3) = -30 < 0$, $W(0) = 12 > 0$, $W(2{,}5) = -1{,}125 < 0$, $W(4) = 12 > 0$.

Przykład 3 – pierwiastek podwójny w nierówności ostrej. Rozwiąż nierówność $x^3 - 12x + 16 > 0$.

Wielomianu nie widać od razu w postaci iloczynowej. Szukamy pierwiastka wśród dzielników wyrazu wolnego $16$ (jak to robić – hasło pierwiastki całkowite wielomianu). Dla $x = 2$: $8 - 24 + 16 = 0$. Dzielimy przez $x - 2$ (hasło dzielenie wielomianów, schemat Hornera) i dostajemy

Pierwiastek $2$ jest podwójny, więc na jego sąsiedztwie wielomian nie zmienia znaku (to ten punkt, w którym wykres wyżej dotyka osi). Pierwiastek $-4$ jest jednokrotny: na prawo od niego wielomian jest dodatni, na lewo ujemny. Nierówność jest ostra, więc musimy wykluczyć oba pierwiastki, w tym $x = 2$, który leży w środku obszaru dodatniego:

Znak zmienia się w każdym pierwiastku. W Przykładzie 1 uczeń rysuje falę przechodzącą przez wszystkie cztery pierwiastki naprzemiennie i dostaje $x \in (-\infty, -4] \cup \ldots$ zamiast izolowanego punktu $-4$. Rozwiązanie jest błędne, bo pierwiastek parzystej krotności nie zmienia znaku. Przed rysowaniem podpisz każdy pierwiastek jego krotnością – parzysta oznacza odbicie od osi.

Zgubiony pierwiastek podwójny przy nierówności niestrogiej. W Przykładzie 1 punkt $-4$ leży w obszarze ujemnym, więc dla $\geq$ jest osobnym rozwiązaniem, które łatwo pominąć – wychodzi wtedy $[-\sqrt{6}, \sqrt{6}] \cup [4, \infty)$ zamiast pełnej odpowiedzi. Dla $(x-1)^2(x+2)(x-5) \leq 0$ jest odwrotnie: pierwiastek $1$ leży wewnątrz przedziału $(-2, 5)$, gdzie wielomian jest ujemny, więc dodatkowego punktu nie ma. Dla $\geq$ i $\leq$ sprawdź każdy pierwiastek parzystej krotności osobno: czy sąsiedztwo jest już w zbiorze rozwiązań.

Skracanie przez czynnik, który może być zerem. Nierówność $x^2(x - 3) \geq 0$ „upraszcza" się przez dzielenie obu stron przez $x^2$ do $x - 3 \geq 0$, czyli $x \geq 3$. Gubi się przy tym $x = 0$, bo $0 \cdot (-3) = 0 \geq 0$. Poprawnie: $x \in \{0\} \cup [3, \infty)$. Nie dziel przez wyrażenie z niewiadomą – rozwiązuj z postaci iloczynowej i ze szkicu.

Czynnik bez pierwiastków potraktowany jak pierwiastek. W nierówności $(x^2 + 4)(x - 1) \geq 0$ uczeń zapisuje $x^2 + 4 = 0$, nie znajduje rozwiązań i uznaje, że nierówność jest sprzeczna. Tymczasem $x^2 + 4 \geq 4 > 0$ dla każdego $x$, więc znak iloczynu zależy tylko od $x - 1$: $x \in [1, \infty)$. Sprawdzenie: dla $x = 2$ iloczyn wynosi $8 > 0$, dla $x = 0$ wynosi $-4 < 0$.

Zbiór rozwiązań bez izolowanego punktu albo z błędnym nawiasem. Odpowiedź $[-\sqrt{6}, \sqrt{6}] \cup [4, \infty)$ w Przykładzie 1 bez $\{-4\}$ jest niepełna, a zapis $(-4, \ldots)$ przy nierówności niestrogiej gubi końce. Pojedynczy punkt zapisujemy w klamrach, $\{-4\}$, a każdy koniec przedziału sprawdzamy podstawieniem: nawias domknięty tam, gdzie wielomian równa się zeru i nierówność jest niestroga.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: