Równania dwukwadratowe

Równanie dwukwadratowe to równanie czwartego stopnia, w którym niewiadoma występuje tylko w potęgach parzystych: $ax^{4} + bx^{2} + c = 0$, gdzie $a \neq 0$. Nie ma w nim wyrazów z $x^{3}$ ani z $x$. Nazwa bierze się stąd, że $x^{4} = (x^{2})^{2}$ – równanie jest „kwadratowe względem $x^{2}$".

Sposób rozwiązania to podstawienie $t = x^{2}$. Dostajemy zwykłe równanie kwadratowe $at^{2} + bt + c = 0$, które rozwiązujemy wyróżnikiem. Dopiero potem wracamy do $x$.

Zasady, których trzeba pilnować:

• $t = x^{2}$, więc $t \geq 0$. Rozwiązanie $t < 0$ odrzucamy – kwadrat liczby rzeczywistej nie bywa ujemny.
• Każde $t > 0$ daje dwa rozwiązania $x = \pm\sqrt{t}$, a $t = 0$ daje jedno: $x = 0$.
• Rozwiązujesz dwa równania, więc odpowiedzią są wartości $x$, nie $t$.

Zagadnienie należy do zakresu rozszerzonego (w katalogu portalu: wymaganie III.6R). Na poziomie podstawowym równania wielomianowe pojawiają się tylko w postaci iloczynowej – to temat hasła równania wielomianowe.

Przykład 1 – dwa dodatnie $t$. Rozwiąż równanie $x^{4} - 10x^{2} + 9 = 0$.

Podstawiamy $t = x^{2}$, $t \geq 0$: $t^{2} - 10t + 9 = 0$. Wyróżnik $\Delta = 100 - 36 = 64$, więc

Oba spełniają $t \geq 0$. Wracamy do $x$: $x^{2} = 1$ daje $x = \pm 1$, a $x^{2} = 9$ daje $x = \pm 3$. Równanie ma cztery rozwiązania: $-3,\ -1,\ 1,\ 3$.

Przykład 2 – jedno $t$ trzeba odrzucić. Rozwiąż równanie $x^{4} + 2x^{2} - 8 = 0$.

Po podstawieniu $t^{2} + 2t - 8 = 0$, $\Delta = 4 + 32 = 36$:

Rozwiązanie $t = -4$ odrzucamy, bo $x^{2} = -4$ nie ma rozwiązań rzeczywistych. Zostaje $x^{2} = 2$, czyli $x = -\sqrt{2}$ lub $x = \sqrt{2}$. Razem dwa rozwiązania, choć równanie jest czwartego stopnia.

Przykład 3 – współczynniki, które warto skrócić. Rozwiąż równanie $72q^{4} - 656q^{2} + 72 = 0$.

Wszystkie współczynniki są podzielne przez $8$, więc dzielimy obie strony przez $8$: $9q^{4} - 82q^{2} + 9 = 0$. Dla $t = q^{2}$ mamy $9t^{2} - 82t + 9 = 0$ i $\Delta = 6724 - 324 = 6400 = 80^{2}$:

Oba $t$ są dodatnie, więc $q = \pm\frac{1}{3}$ lub $q = \pm 3$. Cztery rozwiązania – dokładnie to równanie pojawia się w zadaniu z ciągiem geometrycznym opisanym w Protipie.

Zapomniane $t \geq 0$. Przy $x^{4} + 2x^{2} - 8 = 0$ uczeń zapisuje $t = -4$ lub $t = 2$ i wraca do $x$ dla obu wartości. Z $x^{2} = -4$ wychodzi pierwiastek z liczby ujemnej, którego nie ma, albo – co gorsza – wymyślona odpowiedź. Zaraz po policzeniu $t_1$, $t_2$ skreśl każde ujemne.

Odpowiedź w zmiennej $t$. Po rozwiązaniu równania pomocniczego zadanie jest w połowie. Wartości $t = 1$ i $t = 9$ to nie rozwiązania równania z $x$ – rozwiązaniami są $x = \pm 1$ i $x = \pm 3$.

Jedno $x$ z każdego $t$. Z $x^{2} = 9$ zapisano tylko $x = 3$. Każde dodatnie $t$ daje dwa rozwiązania, $\sqrt{t}$ i $-\sqrt{t}$, więc w Przykładzie 1 wychodzi cztery, a nie dwa rozwiązania. Wyjątek to $t = 0$, które daje tylko $x = 0$.

Podstawienie niedokończone. Zapis $t = x^{2}$ przy równaniu $x^{4} - 3x^{2} = 0$ prowadzi do $t^{2} - 3t = 0$, czyli $t = 0$ lub $t = 3$. Błąd to dzielenie przez $t$ (albo przez $x^{2}$), po którym gubi się rozwiązanie $x = 0$. Lepiej wyłączyć przed nawias: $t(t - 3) = 0$. To równanie ma trzy rozwiązania.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: