Wielomian z parametrem

Wielomian z parametrem to wielomian, w którego współczynnikach oprócz zmiennej $x$ występuje jeszcze jedna litera, zwykle $m$. Dla każdej wartości $m$ dostajemy inny, zwykły wielomian. Zadanie polega na tym, żeby znaleźć takie $m$, przy których wielomian ma pożądaną własność: zadaną resztę z dzielenia, dany pierwiastek albo odpowiednią liczbę pierwiastków. Ten temat obowiązuje na poziomie rozszerzonym – na podstawowym wielomiany z parametrem się nie pojawiają.

Są trzy typowe pytania i do każdego prowadzi inna droga:

• Reszta lub podzielność. Skoro reszta z dzielenia przez $x - a$ to $W(a)$, wystarczy wstawić $a$ do wzoru i przyrównać wynik do danej reszty (albo do zera, gdy wielomian ma być podzielny). Wychodzi równanie z niewiadomą $m$. Samo twierdzenie o reszcie omawia hasło dzielenie wielomianów i schemat Hornera.
• Dany pierwiastek. „Liczba $a$ jest pierwiastkiem" znaczy $W(a) = 0$ – to ten sam rachunek co przy podzielności.
• Liczba pierwiastków. Wielomian jest podany w postaci iloczynu: czynnik liniowy razy trójmian kwadratowy z parametrem. Liczbę rozwiązań czytamy z wyróżnika trójmianu, a dodatkowo sprawdzamy, czy pierwiastek czynnika liniowego nie pokrywa się z którymś pierwiastkiem trójmianu.

Przy trzecim typie pojawia się jeszcze jedna pułapka: jeżeli parametr stoi przy $x^2$, na przykład $(m - 2)x^2$, to dla jednej wartości $m$ trójmian przestaje być kwadratowy. Ten przypadek trzeba rozpatrzyć osobno i dopiero potem liczyć $\Delta$. Same rachunki z trójmianem – wyróżnik, wzory Viète'a, warunki na znaki pierwiastków – to materiał haseł równanie kwadratowe z parametrem i pierwiastki trójmianu z parametrem; tutaj korzystamy z nich jako z gotowych narzędzi.

Przykład 1 – reszta z dzielenia. Reszta z dzielenia wielomianu $W(x) = x^3 + mx^2 - 3x + 2$ przez $x - 2$ jest równa $16$. Wyznacz $m$.

Reszta to wartość wielomianu w punkcie $2$:

Przyrównujemy do $16$: $4m + 4 = 16$, czyli $m = 3$. Kontrola: dla $m = 3$ mamy $W(2) = 8 + 12 - 6 + 2 = 16$.

Przykład 2 – dokładnie jeden pierwiastek. Wielomian $W(x) = (x - 1)(x^2 - mx + m - 1)$. Dla jakich $m$ ma on dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty?

Liczba $1$ jest pierwiastkiem czynnika liniowego. Sprawdzamy, czy jest też pierwiastkiem trójmianu: $1 - m + m - 1 = 0$ dla każdego $m$. Wyróżnik trójmianu wynosi

więc przypadek $\Delta < 0$ nigdy nie zachodzi. Zostaje $\Delta = 0$, czyli $m = 2$, a wtedy trójmian to $(x - 1)^2$ i cały wielomian ma jedyny pierwiastek $1$. Dla $m \neq 2$ trójmian ma drugi pierwiastek $m - 1 \neq 1$, więc pierwiastków jest dwa. Odpowiedź: $m = 2$.

Przykład 3 – dokładnie dwa różne pierwiastki. Wielomian $W(x) = (x - 3)(x^2 - 2mx + m + 6)$ ma mieć dokładnie dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Wyznacz $m$.

Dla trójmianu $T(x) = x^2 - 2mx + m + 6$ mamy $\Delta = 4m^2 - 4(m + 6) = 4(m - 3)(m + 2)$ oraz $T(3) = 15 - 5m$. Są dwie możliwości.

Pierwsza: trójmian ma jeden podwójny pierwiastek różny od $3$. Z $\Delta = 0$ wychodzi $m = 3$ lub $m = -2$. Dla $m = 3$ mamy jednak $T(3) = 0$, więc podwójny pierwiastek to właśnie $3$ i $W(x) = (x - 3)^3$ – to tylko jeden pierwiastek. Dla $m = -2$ jest $T(x) = (x + 2)^2$, więc pierwiastki $W$ to $3$ i $-2$.

Druga: trójmian ma dwa różne pierwiastki i jednym z nich jest $3$. Warunek $T(3) = 0$ daje $m = 3$, ale wtedy $\Delta = 0$, a nie $\Delta > 0$ – sprzeczność.

Po angielsku: parametr to „parameter", reszta z dzielenia – „remainder", pierwiastek wielomianu – „root" albo „zero of a polynomial". Tabela pokazuje, że za różnymi sformułowaniami („jeden", „dwa", „trzy") stoją różne zestawy warunków – nie tylko inny znak przy $\Delta$.

Pominięcie sprawdzenia, czy $a$ jest pierwiastkiem trójmianu. W zadaniu o trzech różnych pierwiastkach uczeń zapisuje tylko $\Delta > 0$. Wychodzi zbiór, w którym są wartości $m$, dla których trójmian ma pierwiastek równy $a$ – wtedy pierwiastków $W$ jest dwa. Do warunku $\Delta > 0$ zawsze dopisz $T(a) \neq 0$.

Tylko jeden przypadek przy „dokładnie jednym pierwiastku". Rozwiązanie kończy się na $\Delta < 0$, a pomijany jest przypadek $\Delta = 0$ z pierwiastkiem podwójnym równym $a$. W przykładzie 2 właśnie ten drugi przypadek daje całą odpowiedź, bo pierwszy jest pusty.

Przyjęcie, że $\Delta = 0$ daje poprawną odpowiedź bez sprawdzenia. Dla $m = 3$ w przykładzie 3 mamy $\Delta = 0$, lecz podwójny pierwiastek trójmianu to $3$ i wielomian ma jeden pierwiastek, nie dwa. Po wyznaczeniu $m$ z $\Delta = 0$ policz $x_0$ i porównaj z $a$.

Liczenie $\Delta$, gdy współczynnik przy $x^2$ może być zerem. Przy $(m - 2)x^2 - 4(m + 3)x + m + 1$ wzór $\Delta = b^2 - 4ac$ ma sens tylko dla $m \neq 2$. Dla $m = 2$ trójmian jest funkcją liniową i trzeba rozpatrzyć ten przypadek osobno – w arkuszu przykładowym z 2023 roku zasady oceniania wprost nagradzają zapisanie, że dla $m = 2$ warunki zadania nie są spełnione.

Błąd rachunkowy w wyróżniku. Wyróżnik z parametrem to wyrażenie kwadratowe względem $m$, w którym łatwo zgubić znak lub nawias: $\Delta = m^2 - 4(m - 1)$ to $m^2 - 4m + 4$, a nie $m^2 - 4m - 1$. Sprawozdanie CKE za 2026 rok wskazuje brak umiejętności poprawnego obliczenia wyróżnika trójmianu jako jedną z powtarzających się słabości w rozwiązaniach zadań z parametrem. Sprawdź wynik, podstawiając jedną konkretną wartość $m$.

Wstawienie punktu do niewłaściwego wielomianu. Reszta z dzielenia przez $x + 2$ to $W(-2)$, a nie $W(2)$. Dwumian zapisz w postaci $x - a$ i dopiero wtedy odczytaj $a$: dla $x + 2 = x - (-2)$ mamy $a = -2$.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: