Wszystkie zagadnienia: Liczby i algebra

średni matura podstawowa z matematykimatura rozszerzona z matematykirównania wymiernedziedzinaułamki algebraiczne

Równania wymierne

Q: Czy równanie wymierne może mieć nieskończenie wiele rozwiązań albo żadnego?

Tak, oba przypadki istnieją. Równanie (x^2-1)/(x-1) = x + 1 jest spełnione przez każdą liczbę z dziedziny, czyli dla x ≠ 1, bo po skróceniu obie strony są równe. Równanie x/(x-2) = 2/(x-2) nie ma rozwiązań, bo jedyny kandydat x = 2 nie należy do dziedziny.

Q: Co zrobić, gdy po przekształceniu wychodzi równanie kwadratowe bez rozwiązań?

Jeżeli Δ < 0, równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, więc wyjściowe równanie wymierne też ich nie ma. Zanim to ogłosisz, powtórz rachunek: w zadaniach z arkuszy zebranych na portalu, które tu omawiamy, równanie kwadratowe miało dwa rozwiązania, więc ujemna delta to sygnał, by sprawdzić mnożenie i rozwijanie nawiasów.

Q: Czy do równań wymiernych jest wzór na karcie?

Osobnego wzoru nie ma. Przy równaniu kwadratowym, do którego sprowadza się większość zadań, korzystasz z wyróżnika i wzorów na pierwiastki z karty "Wybrane wzory matematyczne" – opisuje je hasło równanie kwadratowe.

Opis

Równanie wymierne to równanie, w którym niewiadoma występuje w mianowniku ułamka, na przykład $\frac{5}{x+1} = \frac{x+3}{2x-1}$ . Od zwykłego równania z ułamkami liczbowymi (jak $\frac{x}{3} = 2$ ) różni je jedno: mianownik może się zerować, więc nie każda liczba jest dozwolona. Zbiór liczb, dla których równanie ma sens, to jego dziedzina. Samo przekształcanie ułamków opisuje hasło wyrażenia wymierne.

Cel jest zawsze ten sam: pozbyć się mianowników i dostać równanie, które już umiesz rozwiązać – liniowe (równania liniowe) albo kwadratowe (równanie kwadratowe). Cena za to jest taka, że wolno ci "wpuścić" do rozwiązań liczbę spoza dziedziny. Dlatego droga ma cztery stałe etapy:

Dziedzina – zapisz warunki: każdy mianownik $\neq 0$ .
Pozbycie się mianowników – mnożenie na krzyż (gdy po każdej stronie jest jeden ułamek) albo mnożenie obu stron przez wspólny mianownik.
Rozwiązanie otrzymanego równania liniowego lub kwadratowego.
Porównanie z dziedziną – odrzuć każdy pierwiastek, który zeruje któryś mianownik.

Mnożenie przez wyrażenie z niewiadomą jest uczciwe tylko wtedy, gdy wiesz, że to wyrażenie nie jest zerem – stąd dziedzina na początku. Pojęcie równoważności przekształceń omawia hasło równania równoważne.

Zakres: według podstawy programowej (Dz.U. 2024 poz. 1019) na poziomie podstawowym chodzi o proste równania wymierne, wymaganie III.1 podaje wprost przykład $\frac{5}{x+1} = \frac{x+3}{2x-1}$ . W zadaniach z arkuszy po pozbyciu się mianowników wychodzi równanie liniowe albo kwadratowe.

Na poziomie rozszerzonym w katalogu wymagań dopisany jest kod III.7R. Metoda jest ta sama; możesz spodziewać się bardziej rozbudowanych wyrażeń i większej liczby ułamków, a nierówności wymierne to osobne hasło: nierówności wymierne.

Wzory

Warunek równości ułamków (mnożenie na krzyż)

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c

Dla

b \neq 0

d \neq 0

. Działa tylko wtedy, gdy po każdej stronie jest dokładnie jeden ułamek.

Ułamek równy zero

\frac{A}{B} = 0 \iff A = 0 \ \text{i} \ B \neq 0

Zero licznika nie wystarcza – mianownik musi być różny od zera.

Dziedzina

B(x) \neq 0

Warunek zapisujesz dla każdego mianownika osobno, przed przekształcaniem.

Suma ułamków

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}

Dla

b \neq 0

d \neq 0

. Gdy mianowniki mają wspólny czynnik, wygodniej użyć najmniejszej wspólnej wielokrotności.

Tabela

Rozwiązanie równania

\frac{5}{x+1} = \frac{x+3}{2x-1}

krok po kroku

Krok	Co robimy	Dla naszego równania
1	Dziedzina: mianowniki $\neq 0$	$x \neq -1$ i $x \neq \frac12$
2	Mnożenie na krzyż	$5(2x-1) = (x+3)(x+1)$
3	Rozwinięcie i uporządkowanie	$10x - 5 = x^2 + 4x + 3$ , czyli $x^2 - 6x + 8 = 0$
4	Rozwiązanie równania kwadratowego	$\Delta = 4$ , więc $x = 2$ lub $x = 4$
5	Porównanie z dziedziną	$2$ i $4$ są dozwolone, oba zostają
6	Kontrola podstawieniem	$x = 2$ : obie strony $\frac53$ ; $x = 4$ : obie strony $1$

Przykład

Przykład 1 – mnożenie na krzyż. Rozwiąż równanie $\frac{5}{x+1} = \frac{x+3}{2x-1}$ .

Mianowniki muszą być niezerowe: $x + 1 \neq 0$ i $2x - 1 \neq 0$ , więc $x \neq -1$ i $x \neq \frac12$ . Po każdej stronie stoi jeden ułamek, więc mnożymy na krzyż:

5(2x - 1) = (x + 3)(x + 1)

Po rozwinięciu $10x - 5 = x^2 + 4x + 3$ , czyli $x^2 - 6x + 8 = 0$ . Wyróżnik wynosi $\Delta = 36 - 32 = 4$ , więc $x = \frac{6 - 2}{2} = 2$ lub $x = \frac{6 + 2}{2} = 4$ (wzory na pierwiastki – w haśle równanie kwadratowe). Obie liczby są różne od $-1$ i od $\frac12$ , więc oba rozwiązania zostają. Kontrola dla $x = 2$ : lewa strona to $\frac{5}{3}$ , prawa $\frac{5}{3}$ .

Przykład 2 – kilka ułamków i rozwiązanie obce. Rozwiąż równanie $\frac{x}{x-3} + \frac{1}{x} = \frac{9}{x(x-3)}$ .

Dziedzina: $x \neq 0$ i $x \neq 3$ . Mnożenie na krzyż tu nie działa, bo po lewej stronie jest suma. Mnożymy obie strony przez wspólny mianownik $x(x-3)$ , czyli przez wyrażenie niezerowe w dziedzinie:

x \cdot x + 1 \cdot (x - 3) = 9

Stąd $x^2 + x - 12 = 0$ , $\Delta = 49$ , więc $x = \frac{-1 - 7}{2} = -4$ lub $x = \frac{-1 + 7}{2} = 3$ . Liczba $3$ zeruje mianownik $x - 3$ , więc to rozwiązanie obce i odpada. Zostaje $x = -4$ . Kontrola: lewa strona $\frac{-4}{-7} + \frac{1}{-4} = \frac{9}{28}$ , prawa $\frac{9}{(-4)(-7)} = \frac{9}{28}$ .

Przykład 3 – zadanie z kontekstem. Rowerzysta ma do przejechania $60$ km. Gdyby jechał o $10$ km/h szybciej, trasę pokonałby w czasie krótszym o godzinę. Z jaką prędkością jedzie?

Niech $v$ oznacza prędkość w km/h, $v > 0$ . Czas to droga podzielona przez prędkość, więc

\frac{60}{v} - \frac{60}{v + 10} = 1

Mnożymy przez $v(v+10)$ : $60(v + 10) - 60v = v(v + 10)$ , czyli $v^2 + 10v - 600 = 0$ . Wyróżnik to $\Delta = 2500$ , więc $v = 20$ lub $v = -30$ . Prędkość nie może być ujemna, więc $v = 20$ km/h. Kontrola: $\frac{60}{20} = 3$ h, $\frac{60}{30} = 2$ h, różnica to godzina.

Porównanie

Pojęcie	Po angielsku	Przykład	Czym się różni
Równanie wymierne	rational equation	$\frac{3}{x} = 2$	niewiadoma w mianowniku, trzeba dziedziny
Równanie z ułamkiem liczbowym	linear equation with fractions	$\frac{x}{3} = 2$	mianownik stały, dziedziną jest cały zbiór liczb
Wyrażenie wymierne	rational expression	$\frac{x+3}{2x-1}$	brak znaku równości, nie ma czego "rozwiązywać"
Nierówność wymierna	rational inequality	$\frac{3}{x} > 2$	znak nierówności; nie wolno mnożyć przez mianownik bez znaku
Rozwiązanie obce	extraneous solution	$x = 3$ w przykładzie 2	pierwiastek równania po przekształceniu, który nie należy do dziedziny

Nierówności wymierne mają własne hasło: nierówności wymierne. Równanie wymierne bywa też zapisem proporcji dwóch wielkości; gdy zależność ma postać $y = \frac{a}{x}$ , patrz proporcjonalność odwrotna.

Typowe błędy

Brak dziedziny i brak odrzucenia pierwiastka. Rozwiązanie równania kwadratowego kończy się zapisem obu pierwiastków, choć jeden zeruje mianownik (jak $x = 3$ w przykładzie 2). Po każdym rozwiązaniu porównaj pierwiastki z warunkami z początku. W zasadach oceniania zadania z sierpnia 2023 (Formuła 2015) brak zapisu zastrzeżeń nie musiał kosztować punktu, ale pierwiastek spoza dziedziny w odpowiedzi jest błędem.

Mnożenie tylko jednego składnika. Dla równania $\frac{3x+4}{x-1} = \frac{x+3}{3x}$ zapis $(3x+4)(x+3) = (x-1) \cdot 3x$ to pomylenie licznika z mianownikiem. Mnożymy na krzyż "po przekątnej": licznik lewej strony razy mianownik prawej, czyli $(3x+4) \cdot 3x = (x-1)(x+3)$ . W kluczu CKE taka zamiana to błędna metoda i 0 punktów za całe zadanie.

Gubienie nawiasów przy mnożeniu przez wyrażenie. Równanie $\frac{3}{3x-7} = \frac{5x}{x-8}$ daje $3(x-8) = 5x(3x-7)$ . Zapis $15x = (3x-7)(x-8)$ pomija nawias po lewej: licznik $3$ mnożymy przez cały mianownik $x - 8$ , a nie przez samo $x$ . Klucz CKE także tu daje 0 punktów.

Mnożenie na krzyż przy sumie. Dla $\frac{6}{x} + 1 = \frac{8}{x}$ pokusa podpowiada $6 + 1 = 8x$ , co daje $x = \frac78$ – a to nie jest rozwiązanie, bo lewa strona wynosi wtedy $\frac{55}{7}$ , a prawa $\frac{64}{7}$ . Gdy po stronie jest suma, mnóż każdy składnik przez wspólny mianownik: $6 + x = 8$ , czyli $x = 2$ .

Skreślanie składnika sumy. Z równania $\frac{x+3}{x} = 2$ nie wolno "skrócić" $x$ i dostać $3 = 2$ . Skracać można tylko wspólny czynnik całego licznika i całego mianownika. Poprawnie: $x + 3 = 2x$ , więc $x = 3$ (kontrola: $\frac{6}{3} = 2$ ).

Dzielenie przez niewiadomą. Z równania $\frac{x^2}{x-1} = \frac{4x}{x-1}$ mamy $x^2 = 4x$ . Podzielenie przez $x$ daje tylko $x = 4$ i gubi rozwiązanie $x = 0$ (dozwolone, bo $0 \neq 1$ ). Przenieś wszystko na jedną stronę i rozłóż na czynniki: $x(x - 4) = 0$ (zob. rozkład na czynniki).

Pominięcie warunku z treści. W zadaniach z arkuszy każe się podać tylko rozwiązania z danego przedziału. Kto poda obie liczby z równania kwadratowego, ma w kluczu najwyżej 2 punkty z 3, bo ostatni punkt dotyczy wskazania właściwego rozwiązania.

Sprawdź się

Dla równania $\frac{7}{x-5} = 2$ z dziedziny wyklucza się liczbę $x =$ .

Rozwiązaniem równania $\frac{3}{x+4} = 1$ jest $x =$ .

Równanie $\frac{4}{x+1} = x - 2$ ma po przekształceniu postać $x^2 - x - 6 = 0$ , a jego największe rozwiązanie to $x =$ .

Równanie $\frac{x}{x-2} = \frac{2}{x-2}$ ma po przekształceniu jedno rozwiązanie $x = 2$ , które nie należy do dziedziny. Liczba rozwiązań tego równania wynosi .

Sprawdzamy dwie liczby dla równania $\frac{5}{x+1} = \frac{x+3}{2x-1}$ . Uzupełnij tabelę (wartości dziesiętne).

$x$	lewa strona	prawa strona	czy rozwiązanie?
4			tak
3

Najczęściej zadawane pytania

Co to jest dziedzina równania wymiernego?

To zbiór wszystkich liczb, dla których wszystkie mianowniki są różne od zera. Dla $\frac{2}{2x+1} = \frac{x-1}{x+2}$ dziedziną są liczby $x \neq -\frac12$ i $x \neq -2$ . Dziedzinę zapisuje się przed przekształcaniem, bo od niej zależy, czy rozwiązanie wolno uznać.

Kiedy można mnożyć na krzyż?

Wtedy, gdy po lewej stronie znaku równości stoi dokładnie jeden ułamek i po prawej dokładnie jeden ułamek, na przykład $\frac{2x-3}{3x-2} = \frac{1}{2x}$ . Gdy po którejś stronie jest suma lub różnica ułamków, albo liczba obok ułamka, pomnóż obie strony przez wspólny mianownik i mnóż każdy składnik.

Skąd się biorą rozwiązania obce i jak je poznać?

Mnożenie przez wyrażenie z niewiadomą jest równoważne tylko dla liczb, przy których to wyrażenie nie jest zerem. Po przekształceniu równanie przestaje "pamiętać" o tym ograniczeniu, więc równanie kwadratowe może mieć pierwiastek, który zeruje mianownik. Rozpoznajesz go porównaniem z dziedziną: jeśli pierwiastek zeruje którykolwiek mianownik, odrzucasz go.

Czy trzeba podstawiać rozwiązania do równania?

Do uznania rozwiązania wystarcza zgodność z dziedziną, o ile przekształcenia były poprawne. Podstawienie jest dodatkową kontrolą rachunków: jeśli lewa i prawa strona różnią się, gdzieś jest błąd. Daje się to zrobić szybko, bo zwykle jedna z wartości jest prosta.

Czy równanie wymierne może mieć nieskończenie wiele rozwiązań albo żadnego?

Tak, oba przypadki istnieją. Równanie $\frac{x^2-1}{x-1} = x + 1$ jest spełnione przez każdą liczbę z dziedziny, czyli dla $x \neq 1$ , bo po skróceniu obie strony są równe. Równanie $\frac{x}{x-2} = \frac{2}{x-2}$ nie ma rozwiązań, bo jedyny kandydat $x = 2$ nie należy do dziedziny.

Co zrobić, gdy po przekształceniu wychodzi równanie kwadratowe bez rozwiązań?

Jeżeli $\Delta < 0$ , równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, więc wyjściowe równanie wymierne też ich nie ma. Zanim to ogłosisz, powtórz rachunek: w zadaniach z arkuszy zebranych na portalu, które tu omawiamy, równanie kwadratowe miało dwa rozwiązania, więc ujemna delta to sygnał, by sprawdzić mnożenie i rozwijanie nawiasów.

Czy do równań wymiernych jest wzór na karcie?

Osobnego wzoru nie ma. Przy równaniu kwadratowym, do którego sprowadza się większość zadań, korzystasz z wyróżnika i wzorów na pierwiastki z karty "Wybrane wzory matematyczne" – opisuje je hasło równanie kwadratowe.

Komentarz Autora

Równanie wymierne na podstawie ma w arkuszach Formuły 2023 dwie postaci. Pierwsza to zadanie zamknięte za 1 punkt: w maju 2026 (poziom podstawowy, zadanie 9) równanie $\frac{x+2}{3x-1} = \frac{2}{5}$ miało rozwiązanie $x = 12$ (klucz: wersja A – D, wersja B – B; literę wyznacza kolejność odpowiedzi w danej wersji arkusza, więc licz wartość). To proporcja: $5(x+2) = 2(3x-1)$ , stąd $x = 12$ . Zadanie rozwiązało 85% zdających (sprawozdanie CKE). Wzoru na proporcję nie ma na karcie "Wybrane wzory matematyczne".

Druga postać to zadanie otwarte za 3 punkty z poleceniem "Zapisz obliczenia" i dodatkowym przedziałem. W czerwcu 2026 (poziom podstawowy, zadanie 8) równanie $\frac{3x+4}{x-1} = \frac{x+3}{3x}$ , gdzie $x \neq 0$ i $x \neq 1$ , trzeba było rozwiązać w przedziale $\left(-\infty, -\frac23\right)$ . Z równania $8x^2 + 10x + 3 = 0$ wychodzą $x = -\frac34$ i $x = -\frac12$ ; w przedziale leży tylko $x = -\frac34$ . W sierpniu 2025 (zadanie 8) równanie $\frac{3}{3x-7} = \frac{5x}{x-8}$ prowadziło do $15x^2 - 38x + 24 = 0$ i rozwiązań $\frac65$ oraz $\frac43$ ; w przedziale $\left(\frac54, +\infty\right)$ leży $x = \frac43$ . Punktacja w obu zadaniach jest taka sama: 1 punkt za przekształcenie do równania kwadratowego, 2 punkty za oba rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych, 3 punkty za wskazanie rozwiązania z przedziału. Uwagi klucza: poprawna metoda i błędy rachunkowe, o ile wychodzi równanie kwadratowe z rozwiązaniem, nadal dają 2 punkty; nieudany rachunek bez rozwiązań albo równanie niekwadratowe – 0 punktów; błędna metoda mnożenia na krzyż – 0 punktów; potraktowanie równania jak nierówności (parabola i przedziały) – 1 punkt.

W starszej formule (poziom podstawowy, 2 punkty) takie same zadania pojawiały się bez przedziału. W sierpniu 2023 (zadanie 34) równanie $\frac{2x-3}{3x-2} = \frac{1}{2x}$ miało rozwiązania $\frac14$ i $2$ (po przekształceniu $4x^2 - 9x + 2 = 0$ ), a w sierpniu 2022 (zadanie 32) równanie $\frac{4}{x+2} = x - 1$ miało rozwiązania $-3$ i $2$ . W kluczu obu: odgadnięcie jednego rozwiązania to 0 punktów, a dwóch bez uzasadnienia, że innych nie ma – 1 punkt. W Informatorze CKE o egzaminie od 2023 (poziom podstawowy, zadanie 18, za 3 punkty) równanie $\frac{2}{2x+1} = \frac{x-1}{x+2}$ ma dziedzinę $x \neq -\frac12$ i $x \neq -2$ (1 punkt) oraz rozwiązania $-1$ i $\frac52$ (2 punkty); trójmian $2x^2 - 3x - 5$ rozwiązuje się wyróżnikiem.

Rada: zawsze zapisuj dziedzinę w pierwszym wierszu, nawet gdy w zadaniu jest ona podana. Odrzucanie pierwiastka spoza dziedziny, który często pojawia się w drugim rozwiązaniu, to jedyny moment, gdzie równanie wymierne różni się od zwykłego kwadratowego. Na koniec podstaw wynik do równania – zajmuje to pół minuty.

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Nierówności wymierneRównania i nierówności Wyrażenia wymierneWyrażenia algebraiczne Nierówności kwadratoweRównania i nierówności Nierówności linioweRównania i nierówności Nierówności z wartością bezwzględnąRównania i nierówności Pierwiastki trójmianu o zadanych znakach lub w przedzialeRównania i nierówności