Wyrażenia wymierne

Wyrażenie wymierne to ułamek, w którego liczniku i mianowniku stoją wyrażenia algebraiczne z literą, na przykład $\frac{x^2 - 4}{x + 3}$. Zwykłe ułamki liczbowe są szczególnym przypadkiem: litery zastępujemy w nich liczbami. Wszystko, co wiesz o ułamkach – skracanie, mnożenie, odwracanie przy dzieleniu, wspólny mianownik – działa tu tak samo. Nowość jest jedna: mianownik może wyjść zerem, więc trzeba pilnować, dla jakich $x$ wyrażenie w ogóle ma sens.

Przykład z życia: drukarnia bierze $40$ zł za przygotowanie projektu i $0{,}50$ zł za każdą sztukę. Koszt jednego egzemplarza przy nakładzie $n$ to $\frac{40 + 0{,}5n}{n}$ – wyrażenie wymierne. Dla $n = 80$ wychodzi $\frac{80}{80} = 1$ zł, a dla $n = 0$ wyrażenie nie istnieje (nie ma sensu liczyć kosztu jednego egzemplarza z zerowego nakładu).

Zasady, na których opiera się całe hasło:

• Dziedzina. Zanim cokolwiek przekształcisz, wypisz liczby, dla których któryś mianownik jest równy $0$. Te liczby są wyłączone z dziedziny (więcej o samym pojęciu: dziedzina i zbiór wartości). Zakaz obowiązuje do końca zadania, także gdy po skróceniu mianownik „znika".
• Skracanie to dzielenie licznika i mianownika przez ten sam czynnik, nie przez wyraz sumy. Dlatego przed skracaniem rozkładamy licznik i mianownik na czynniki (rozkład na czynniki, wzory: wzory skróconego mnożenia).
• Mnożenie i dzielenie. Mnożymy liczniki i mianowniki; dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność. Dzielnik też nie może być zerem – to dodatkowe wyłączenie, które łatwo przeoczyć.
• Dodawanie i odejmowanie wymaga wspólnego mianownika. Licznik z minusem przed nawiasem zmienia znaki wszystkich składników.

Na poziomie podstawowym podstawa programowa (Dz.U. 2024 poz. 1019) wymienia mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych (II.4) – i tylko takie zadania są w arkuszach podstawowych nowej formuły zebranych na portalu. Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych to wymaganie poziomu rozszerzonego (II.6R). Na poziomie rozszerzonym wszystkie cztery działania są narzędziem: potrzebujesz ich w równaniach i nierównościach wymiernych oraz w funkcjach wymiernych (pierwsze kroki: proporcjonalność odwrotna). Samo rozwiązywanie równań z ułamkami to osobne hasło – równania wymierne.

Przykład 1 – dziedzina i skracanie. Uprość wyrażenie $W(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4}$ i podaj, dla jakich $x$ jest określone.

Mianownik jest zerem dla $x = 2$ i $x = -2$, więc dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz $2$ i $-2$. Licznik to kwadrat różnicy, mianownik – różnica kwadratów:

Skróciliśmy czynnik $x - 2$, ale zapis „$x \neq 2$" zostaje, bo dla $x = 2$ pierwotne wyrażenie nie istnieje (patrz tabela wyżej).

Przykład 2 – mnożenie i dzielenie. Dla $x \neq 0$, $x \neq 1$, $x \neq -1$ przekształć wyrażenie $\frac{x^2 - x}{x^2 + 2x + 1} : \frac{x - 1}{x + 1}$.

Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność i rozkładamy na czynniki:

Dzielnik $\frac{x-1}{x+1}$ jest zerem dla $x = 1$, więc ta liczba jest wyłączona także z tego powodu. Kontrola liczbowa dla $x = 2$: wyrażenie wyjściowe daje $\frac{2}{9} \cdot 3 = \frac{2}{3}$, wynik $\frac{x}{x+1}$ też daje $\frac{2}{3}$.

Przykład 3 – dodawanie i odejmowanie. Dla $x \neq 1$ i $x \neq -1$ oblicz $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$.

Wspólny mianownik to $(x-1)(x+1)$:

Nawias przy drugim liczniku jest konieczny: minus zmienia znak obu składników, stąd $x + 1 - x + 1 = 2$. Kontrola dla $x = 3$: $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ i $\frac{2}{9-1} = \frac{1}{4}$.

Wyrażenie wymierne to obiekt, na którym liczymy. Równanie z ułamkami ma własne hasło (równania wymierne); tu uczymy się samych przekształceń.

Skracanie składnika sumy. Zapis $\frac{x+2}{x+3} = \frac{2}{3}$ „po skróceniu $x$" jest błędny. Dla $x = 1$ lewa strona daje $\frac{3}{4}$, a prawa $\frac{2}{3}$. Skracać wolno tylko czynniki całego licznika i całego mianownika: najpierw rozłóż na czynniki, potem skracaj.

Zgubiona dziedzina po skróceniu. Po przekształceniu $\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}$ do $\frac{x-2}{x+2}$ uczeń zakłada tylko $x \neq -2$. Pierwotne wyrażenie nie istnieje także dla $x = 2$. Założenia zapisuj od razu, z postaci wyjściowej, zanim zaczniesz skracać.

Dodawanie liczników i mianowników. Zapis $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{2}{2x}$ jest zły. Dla $x = 3$ poprawna suma to $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$, a błędny wzór daje $\frac{1}{3}$. Poprawnie: wspólny mianownik, czyli $\frac{2x}{x^2-1}$ (dla $x = 3$ to $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$).

Znak przy odejmowaniu ułamków. W różnicy $\frac{x}{x-1} - \frac{x-2}{x-1}$ licznik to $x - (x-2) = 2$, a nie $x - x - 2 = -2$. Dla $x = 3$ różnica wynosi $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$, a błędny licznik dałby $-1$. Drugi licznik zawsze bierz w nawias.

Nieodwrócone dzielenie. Przy $\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$ niektórzy mnożą liczniki przez liczniki bez odwracania drugiego ułamka. Dla $\frac{6}{x} : \frac{3}{x}$ poprawny wynik to $2$; mnożenie bez odwrócenia daje $\frac{18}{x^2}$.

Znak przy odwróconej różnicy. Wyrażenie $\frac{2-x}{x-2}$ to $-1$, nie $1$. Przy $x = 5$: $\frac{-3}{3} = -1$. Gdy czynniki różnią się kolejnością, wyłącz $-1$ przed nawias: $2 - x = -(x-2)$.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: