Dziedzina i zbiór wartości funkcji

Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich argumentów $x$, dla których funkcja jest określona – czyli tych liczb, które wolno wstawić do wzoru albo którym na wykresie odpowiada jakiś punkt. Oznaczamy ją zwykle $D_f$ albo po prostu $D$. Zbiór wartości to zbiór wszystkich liczb $y$, które funkcja faktycznie przyjmuje, gdy $x$ przebiega całą dziedzinę. Dziedzina dotyczy osi $x$, zbiór wartości – osi $y$. Samo pojęcie funkcji, argumentu i wartości omawia hasło pojęcie funkcji.

Dziedzinę można dostać na dwa sposoby. Gdy funkcja jest dana wykresem, dziedzina to rzut wykresu na oś $x$: patrzymy, od którego do którego miejsca na osi poziomej sięga rysunek. Gdy funkcja jest dana wzorem i treść nie mówi nic o dziedzinie, przyjmujemy dziedzinę naturalną – największy zbiór liczb, dla których wzór ma sens. Wypisujemy wtedy warunki, które muszą być spełnione:

• mianownik ułamka musi być różny od zera: $M(x) \neq 0$,
• wyrażenie pod pierwiastkiem stopnia parzystego (kwadratowym, czwartego stopnia…) musi być nieujemne: $W(x) \geq 0$; pierwiastek stopnia nieparzystego, na przykład $\sqrt[3]{x}$, nie daje żadnego warunku,
• liczba logarytmowana musi być dodatnia: $\log_a W(x)$ wymaga $W(x) > 0$; podstawa logarytmu spełnia warunki z definicji ($a > 0$ i $a \neq 1$) – szczegóły w haśle logarytm.

Jeżeli we wzorze jest kilka takich miejsc, każdy warunek musi być spełniony jednocześnie. Dziedzina to więc część wspólna zbiorów rozwiązań wszystkich warunków, a nie ich suma. Funkcja bez ułamków, pierwiastków parzystego stopnia i logarytmów – na przykład liniowa albo kwadratowa – ma dziedzinę $\mathbb{R}$, chyba że treść zadania ją zawęża.

Zbiór wartości czyta się z wykresu: to rzut wykresu na oś $y$. Szukamy najniższego i najwyższego punktu wykresu i sprawdzamy, czy funkcja do nich dociera (pełne kółko lub punkt na linii) czy tylko się zbliża (puste kółko, koniec linii przy krańcu przedziału otwartego). Dla funkcji kwadratowej określonej na $\mathbb{R}$ wystarczy wierzchołek: zbiór wartości zaczyna się albo kończy na jego drugiej współrzędnej $q$ – patrz wierzchołek paraboli.

Oba zbiory zapisujemy zwykle przedziałami. Nawias domknięty $[$ albo $]$ (w arkuszach Formuły 2023 – kwadratowy $[$ $]$) oznacza, że kraniec należy do zbioru, a nawias okrągły – że nie należy. Przy $-\infty$ i $+\infty$ nawias jest zawsze okrągły. Jak czytać i zapisywać przedziały, opisuje hasło przedziały liczbowe.

Przykład 1 – pierwiastek i mianownik naraz. Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x) = \frac{\sqrt{x + 3}}{x^2 - 4}$.

Wypisujemy oba warunki. Pod pierwiastkiem: $x + 3 \geq 0$, czyli $x \geq -3$. Mianownik: $x^2 - 4 \neq 0$, czyli $(x - 2)(x + 2) \neq 0$, więc $x \neq 2$ i $x \neq -2$. Oba warunki muszą zachodzić jednocześnie: bierzemy półprostą $[-3, +\infty)$ i wyrzucamy z niej dwie liczby.

Liczba $-3$ należy do dziedziny (pod pierwiastkiem wychodzi $0$, a mianownik to $5$), więc nawias przy niej jest domknięty. Przy $-2$ i $2$ nawiasy są okrągłe, bo te liczby wypadają.

Przykład 2 – logarytm i pierwiastek, część wspólna. Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x) = \log_3 (8 - 2x) + \sqrt{x + 1}$.

Logarytm: $8 - 2x > 0$, czyli $x < 4$. Pierwiastek: $x + 1 \geq 0$, czyli $x \geq -1$. Na osi liczbowej pierwszy warunek to wszystko na lewo od $4$ (bez $4$), drugi – wszystko na prawo od $-1$ (z $-1$). Część wspólna:

Gdyby wziąć sumę zamiast części wspólnej, wyszłoby $\mathbb{R}$ – a przecież dla $x = 5$ logarytm nie istnieje.

Przykład 3 – zbiór wartości funkcji kwadratowej. Wyznacz zbiór wartości funkcji $f(x) = -2x^2 + 8x - 5$.

Funkcja jest określona na $\mathbb{R}$, a $a = -2 < 0$, więc ramiona paraboli idą w dół i funkcja ma wartość największą – w wierzchołku. Liczymy jego drugą współrzędną:

Sprawdzenie: $p = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = 2$ i $f(2) = -8 + 16 - 5 = 3$. Funkcja przyjmuje wartość $3$ i wszystkie mniejsze, więc zbiór wartości to $(-\infty, 3]$.

Ostatni wiersz to najczęstsza pułapka zadań z wykresem: dla dziedziny liczy się, czy nad lub pod danym $x$ jest jakikolwiek punkt wykresu, a dla zbioru wartości – czy na danej wysokości $y$ jest jakikolwiek punkt wykresu, nawet daleko od pustego kółka. Na wykresie powyżej kółko w $(3, 0)$ jest puste, a mimo to $0$ należy do zbioru wartości, bo $f(-1) = 0$.

Suma zamiast części wspólnej. Dla $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{4 - x}$ warunki to $x \geq 0$ i $x \leq 4$. Kto połączy je słowem „lub", dostaje $\mathbb{R}$, a dla $x = -1$ pierwszy pierwiastek nie istnieje. Poprawnie: $D = [0, 4]$.

Zła nierówność przy pierwiastku lub logarytmie. Pod pierwiastkiem parzystego stopnia wolno mieć zero ($\geq$), pod logarytmem – nie ($>$). Pomyłka zmienia tylko nawias, ale w zadaniu otwartym to właśnie ten nawias jest oceniany. Dla $\sqrt{x - 5}$ dziedzina to $[5, +\infty)$, dla $\log(x - 5)$ – $(5, +\infty)$.

Zgubione rozwiązanie warunku mianownika. Z $x^2 - 9 \neq 0$ uczeń pisze tylko $x \neq 3$. Równanie $x^2 = 9$ ma dwa rozwiązania, więc trzeba wyrzucić i $3$, i $-3$. Szybka kontrola: wstaw $-3$ do mianownika – wyjdzie zero.

Nawias domknięty przy nieskończoności. Zapis $[2, +\infty]$ jest niepoprawny – nieskończoność nie jest liczbą i nie może należeć do zbioru. Przy $-\infty$ i $+\infty$ nawias jest zawsze okrągły.

Zbiór wartości czytany z osi $x$. Na wykresie najłatwiej odczytać, od którego do którego $x$ sięga rysunek – i to jest dziedzina. Zbiór wartości wymaga spojrzenia w pionie: od najniższego do najwyższego punktu wykresu. Pomaga poprowadzenie dwóch poziomych linii przez te punkty, jak na wykresie wyżej.

Zbiór wartości z samych końców wykresu. Dla $f(x) = x^2 - 2x - 3$ na $[-2, 3)$ wartości na końcach to $5$ i $0$, ale najniżej wykres schodzi w wierzchołku, do $-4$. Zbiór wartości to $[-4, 5]$, nie $(0, 5]$. Najniższy i najwyższy punkt mogą leżeć w środku przedziału.

Puste kółko automatycznie otwiera zbiór wartości. Puste kółko mówi tylko, że w tym jednym punkcie wykresu nie ma. Jeżeli ta sama wartość $y$ jest osiągnięta w innym miejscu (pełne kółko albo zwykły punkt linii na tej samej wysokości), kraniec zbioru wartości jest domknięty.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: