Wszystkie zagadnienia: Funkcje i ciągi

podstawowy matura podstawowa z matematykimatura rozszerzona z matematykimonotonicznośćfunkcja rosnącafunkcja malejąca

Monotoniczność funkcji

Q: Czy funkcja może być rosnąca w jednym punkcie?

W szkolnej definicji nie. Monotoniczność porównuje wartości dla par argumentów, więc dotyczy zbioru – najczęściej przedziału. Zdanie „funkcja rośnie w punkcie 2" nie ma sensu; poprawnie mówimy na przykład „funkcja jest rosnąca w przedziale [2, 5]".

Q: Czy końce przedziałów monotoniczności trzeba domykać?

Jeżeli funkcja jest w danym punkcie określona i nie ma tam skoku, punkt zmiany monotoniczności można dołączyć do obu przedziałów. Funkcja f(x) = x^2 jest malejąca w (-∞, 0] i rosnąca w [0, +∞), a klucze CKE podają takie przedziały jako domknięte. Jeżeli funkcja w punkcie nie jest określona, jak 1/x w zerze, koniec musi być otwarty. Przy skoku trzeba sprawdzić wartość w samym punkcie.

Q: Dlaczego funkcja 1/x nie jest malejąca w całej dziedzinie?

Bo definicja wymaga, żeby dla każdej pary x_1 f(x_2), a para -1 < 2 daje f(-1) = -1 < f(2) = 1/2. Funkcja jest malejąca w przedziale (-∞, 0) i osobno w przedziale (0, +∞). Te dwa przedziały podaje się oddzielnie, bez łączenia ich znakiem sumy.

Q: Czym różni się funkcja niemalejąca od rosnącej?

Funkcja rosnąca dla większego argumentu daje zawsze większą wartość, a niemalejąca – większą albo równą: f(x_1) ≤ f(x_2). Funkcja niemalejąca może więc mieć poziome odcinki, a każda funkcja stała jest jednocześnie niemalejąca i nierosnąca. Wymagania egzaminacyjne z funkcji mówią o przedziałach monotoniczności, a zadania pytają o funkcje rosnące, malejące i stałe.

Q: Jak bez wykresu sprawdzić, czy funkcja liniowa jest rosnąca?

Wystarczy znak współczynnika kierunkowego a we wzorze f(x) = ax + b: dla a > 0 funkcja jest rosnąca, dla a 0.

Q: Jak wykazać monotoniczność funkcji z definicji?

Weź dowolne x_1, x_2 z przedziału, załóż x_1 < x_2 i oblicz różnicę f(x_2) - f(x_1). Sprowadź ją do postaci iloczynu albo ilorazu, w której znak każdego czynnika wynika z założeń. Różnica dodatnia dla każdej takiej pary oznacza funkcję rosnącą, ujemna – malejącą. To wymaganie poziomu rozszerzonego (V.3R).

Q: Czy w dowodzie monotoniczności można użyć pochodnej?

W przykładowym zadaniu z Informatora CKE dla poziomu rozszerzonego (zadanie 7) rozwiązanie pochodną było punktowane tak samo jak dowód z definicji: dodatnia pochodna w całym przedziale oznacza funkcję rosnącą. Metodę omawia hasło monotoniczność funkcji a pochodna. Jeżeli polecenie wyraźnie każe skorzystać z definicji, trzeba liczyć różnicę f(x_2) - f(x_1).

Opis

Monotoniczność funkcji mówi, co dzieje się z wartościami, kiedy argument rośnie: czy wartości też rosną, czy maleją, czy stoją w miejscu. Na wykresie to po prostu kierunek linii czytanej od lewej do prawej – w górę, w dół albo poziomo. Na maturze pytanie brzmi zwykle „w którym przedziale funkcja jest rosnąca?" i odpowiedź jest przedziałem na osi $x$ , a nie zbiorem wartości.

Funkcja $f$ jest rosnąca w zbiorze $A$ , jeżeli dla dowolnych dwóch argumentów $x_1 < x_2$ z tego zbioru zachodzi $f(x_1) < f(x_2)$ – większy argument zawsze daje większą wartość. Funkcja jest malejąca w zbiorze $A$ , jeżeli dla dowolnych $x_1 < x_2$ z tego zbioru zachodzi $f(x_1) > f(x_2)$ . Funkcja jest stała w zbiorze $A$ , jeżeli wszystkie jej wartości w tym zbiorze są równe. Przedziały, w których funkcja jest rosnąca, malejąca albo stała, nazywamy przedziałami monotoniczności.

Wymaganie egzaminacyjne (podstawa programowa, V.4) brzmi: „odczytuje z wykresu funkcji: (…) przedziały monotoniczności". Pojęcia funkcji niemalejącej ( $f(x_1) \leq f(x_2)$ ) i nierosnącej ( $f(x_1) \geq f(x_2)$ ) w wymaganiach z funkcji nie występują – spotkasz je w podręcznikach i w tabeli porównawczej niżej, ale zadania pytają o funkcję rosnącą, malejącą lub stałą.

Zasady, na których opiera się całe hasło:

Monotoniczność dotyczy zbioru argumentów, nie pojedynczego punktu. Zdanie „funkcja jest rosnąca" bez przedziału znaczy: rosnąca w całej dziedzinie.
Definicja mówi o dowolnych dwóch argumentach z przedziału. Kilka sprawdzonych punktów niczego nie dowodzi, ale jedna para $x_1 < x_2$ w „złej" kolejności wystarczy, żeby pokazać, że funkcja rosnąca (albo malejąca) nie jest.
Funkcja malejąca w dwóch przedziałach osobno nie musi być malejąca w ich sumie. Klasyczny przykład to $f(x) = \frac{1}{x}$ – szczegóły w przykładzie 2.
Ze wzoru monotoniczność odczytasz od razu w dwóch przypadkach: funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ rośnie dla $a > 0$ , maleje dla $a < 0$ i jest stała dla $a = 0$ (omawia to hasło funkcja liniowa), a funkcja kwadratowa zmienia monotoniczność w wierzchołku paraboli (hasło wierzchołek paraboli).

Na poziomie rozszerzonym dochodzi wymaganie V.3R: „dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem". Wtedy nie wystarczy wykres – bierzesz dwa dowolne argumenty $x_1 < x_2$ z przedziału, liczysz różnicę $f(x_2) - f(x_1)$ , sprowadzasz ją do postaci iloczynu lub ilorazu i ustalasz jej znak (przykład 3). Drugim narzędziem na rozszerzeniu jest pochodna – omawia ją hasło monotoniczność funkcji a pochodna.

Wzory

Funkcja rosnąca w zbiorze A

x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

Dla dowolnych

x_1, x_2 \in A

. Większy argument – większa wartość.

Funkcja malejąca w zbiorze A

x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

Dla dowolnych

x_1, x_2 \in A

. Większy argument – mniejsza wartość.

Funkcja stała w zbiorze A

f(x_1) = f(x_2)

Dla dowolnych

x_1, x_2 \in A

– wykres jest poziomym odcinkiem.

Dowód z definicji (rozszerzenie)

x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_2) - f(x_1) > 0

Tak wygląda teza dla funkcji rosnącej; dla malejącej różnica ma być ujemna.

Funkcja liniowa

f(x) = ax + b

a > 0

– rosnąca,

a < 0

– malejąca,

a = 0

– stała.

Funkcja kwadratowa

p = -\frac{b}{2a}

Dla

a > 0

maleje w

(-\infty, p]

i rośnie w

[p, +\infty)

, dla

a < 0

odwrotnie.

Wykres

Funkcja

f

określona w przedziale

[-4, 4]

– kolor pokazuje rodzaj monotoniczności, punkty

x = -1

x = 2

to miejsca, w których się zmienia

rosnąca:

f(x) = x + 3

[-4, -1]

stała:

f(x) = 2

[-1, 2]

malejąca:

f(x) = -2x + 6

[2, 4]

Tabela

Przedziały monotoniczności funkcji z wykresu i sprawdzenie na parze argumentów

x_1 < x_2

Przedział	Funkcja jest	Para argumentów	Wartości
$[-4, -1]$	rosnąca	$-3 < -2$	$f(-3) = 0 < f(-2) = 1$
$[-1, 2]$	stała	$0 < 1$	$f(0) = f(1) = 2$
$[2, 4]$	malejąca	$2{,}5 < 3$	$f(2{,}5) = 1 > f(3) = 0$
$[-4, 2]$	ani rosnąca, ani malejąca	$0 < 1$	$f(0) = f(1)$ – rośnie, potem stoi

Przykład

Przykład 1 – przedziały monotoniczności ze wzoru funkcji kwadratowej. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = x^2 - 6x + 5$ .

Wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w górę, bo $a = 1 > 0$ . Monotoniczność zmienia się w wierzchołku, więc liczymy jego pierwszą współrzędną:

p = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3

Parabola o ramionach w górę najpierw opada do wierzchołka, potem się wznosi. Funkcja $f$ jest więc malejąca w przedziale $(-\infty, 3]$ i rosnąca w przedziale $[3, +\infty)$ . Kontrola na dwóch parach: $f(0) = 5 > f(1) = 0$ (lewa strona, maleje) oraz $f(3) = -4 < f(5) = 0$ (prawa strona, rośnie). Liczba $3$ należy do obu przedziałów, bo funkcja jest w tym punkcie określona i nie ma skoku.

Przykład 2 – funkcja malejąca w każdym przedziale osobno. Czy funkcja $f(x) = \frac{1}{x}$ jest malejąca w swojej dziedzinie $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ ?

Wykres to hiperbola (hasło proporcjonalność odwrotna). Każda gałąź opada od lewej do prawej, więc funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty, 0)$ i osobno w przedziale $(0, +\infty)$ . Ale w sumie tych przedziałów – nie. Wystarczy jedna para argumentów:

-1 < 2, \quad \text{a} \quad f(-1) = -1 < \frac{1}{2} = f(2)

Większy argument dał większą wartość, a definicja funkcji malejącej wymaga, żeby dla każdej pary było odwrotnie. Poprawna odpowiedź brzmi więc: funkcja jest malejąca w przedziałach $(-\infty, 0)$ oraz $(0, +\infty)$ – zapis z dwoma osobnymi przedziałami, bez znaku sumy.

Przykład 3 (poziom rozszerzony) – dowód z definicji. Wykaż, że funkcja $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ jest rosnąca w przedziale $(-\infty, -2)$ . (To przykład wpisany wprost do wymagania V.3R w podstawie programowej.)

Niech $x_1, x_2 \in (-\infty, -2)$ oraz $x_1 < x_2$ . Liczymy różnicę wartości, sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika:

f(x_2) - f(x_1) = \frac{x_2 - 1}{x_2 + 2} - \frac{x_1 - 1}{x_1 + 2} = \frac{(x_2 - 1)(x_1 + 2) - (x_1 - 1)(x_2 + 2)}{(x_2 + 2)(x_1 + 2)}

Po wymnożeniu w liczniku zostaje $x_1 x_2 + 2x_2 - x_1 - 2 - x_1 x_2 - 2x_1 + x_2 + 2 = 3x_2 - 3x_1$ , więc

f(x_2) - f(x_1) = \frac{3(x_2 - x_1)}{(x_2 + 2)(x_1 + 2)}

Teraz znak każdego czynnika: $x_2 - x_1 > 0$ , bo $x_1 < x_2$ . Oba argumenty są mniejsze od $-2$ , więc $x_1 + 2 < 0$ i $x_2 + 2 < 0$ , a iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni. Licznik dodatni, mianownik dodatni – różnica jest dodatnia, czyli $f(x_2) > f(x_1)$ . Funkcja jest rosnąca w przedziale $(-\infty, -2)$ . Kontrola liczbowa: $f(-5) = 2$ i $f(-3) = 4$ , a ze wzoru na różnicę $\frac{3 \cdot 2}{(-1) \cdot (-3)} = 2 = 4 - 2$ .

Porównanie

Pojęcie	Po angielsku	Warunek dla $x_1 < x_2$	Przykład
funkcja rosnąca	(strictly) increasing	$f(x_1) < f(x_2)$	$f(x) = 2x - 1$
funkcja malejąca	(strictly) decreasing	$f(x_1) > f(x_2)$	$f(x) = -x + 4$
funkcja stała	constant	$f(x_1) = f(x_2)$	$f(x) = 3$
funkcja niemalejąca	non-decreasing	$f(x_1) \leq f(x_2)$	rośnie albo stoi, jak $f$ z wykresu w $[-4, 2]$
funkcja nierosnąca	non-increasing	$f(x_1) \geq f(x_2)$	stoi albo maleje, jak $f$ z wykresu w $[-1, 4]$

W angielskich podręcznikach samo „increasing" bywa używane w znaczeniu „niemalejąca" – dlatego dla ścisłości dopisuje się „strictly". Ciąg też bywa rosnący lub malejący, ale tam porównuje się tylko sąsiednie wyrazy – to temat hasła monotoniczność ciągu.

Typowe błędy

Przedział odczytany z osi $y$ . Pytanie „w jakim przedziale funkcja jest rosnąca" dotyczy argumentów. Dla funkcji z wykresu odpowiedź to $[-4, -1]$ , a nie $[-1, 2]$ – ten drugi przedział to wartości, które funkcja przyjmuje na tym odcinku. Zawsze rzutuj fragment wykresu w dół, na oś $x$ .

„Malejąca w całej dziedzinie" dla $\frac{1}{x}$ . Funkcja $f(x) = \frac{1}{x}$ maleje w $(-\infty, 0)$ i osobno w $(0, +\infty)$ , ale para $f(-1) = -1 < f(2) = \frac{1}{2}$ pokazuje, że w sumie tych przedziałów malejąca nie jest. Przy funkcji z „dziurą" w dziedzinie podawaj przedziały osobno.

Skok przeoczony na końcu przedziału. Funkcja określona przedziałami może rosnąć na dwóch kawałkach, a w punkcie sklejenia spaść w dół. Wtedy przedział obejmujący ten punkt nie jest przedziałem monotoniczności. Sprawdź wartość w samym punkcie sklejenia, zaznaczoną pełnym kółkiem, a nie tylko kierunek linii (takie zadanie omawia komentarz autora niżej).

Monotoniczność „sprawdzona" na kilku punktach. Dla $f(x) = x^2$ mamy $f(-2) = 4 < f(3) = 9$ , ale funkcja nie jest rosnąca w $[-2, 3]$ , bo $f(-2) = 4 > f(0) = 0$ . Para punktów może obalić monotoniczność, ale nigdy jej nie dowodzi.

Odwrócony kierunek przy paraboli z $a < 0$ . Parabola o ramionach w dół najpierw się wznosi, a dopiero za wierzchołkiem opada. Funkcja $f(x) = -(x - 3)^2$ jest więc rosnąca w $(-\infty, 3]$ i malejąca w $[3, +\infty)$ . Szybka kontrola: policz wartość w jednym punkcie po lewej i jednym po prawej stronie wierzchołka.

Konkretne liczby zamiast dowodu (rozszerzenie). Pokazanie, że $f(-5) < f(-3)$ , nie dowodzi, że funkcja rośnie w całym przedziale. Dowód musi zaczynać się od dowolnych $x_1 < x_2$ z przedziału i kończyć ustaleniem znaku różnicy $f(x_2) - f(x_1)$ – z uzasadnieniem znaku każdego czynnika, także mianownika.

Sprawdź się

Funkcja jest określona wzorem $f(x) = x^2 - 4x + 5$ . Uzupełnij tabelę wartości.

$x$	$f(x)$
0	5
1
2
3
4	5

Funkcja $f(x) = x^2 - 4x + 5$ jest malejąca w przedziale $(-\infty, p]$ i rosnąca w przedziale $[p, +\infty)$ , gdzie $p =$ .

Funkcja $f(x) = -3x + 7$ jest .

Funkcja $f(x) = 5$ jest .

Dla funkcji $f(x) = \frac{2}{x}$ mamy $f(-1) =$ oraz $f(1) =$ . Czy ta funkcja jest malejąca w zbiorze $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ ?

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g(x) = x + 4$ dla $x \in [-3, -1)$ oraz $g(x) = x + 1$ dla $x \in [-1, 2]$ . Wtedy $g(-1{,}5) =$ , a $g(-1) =$ . Czy funkcja $g$ jest rosnąca w przedziale $[-3, -1]$ ?

Najczęściej zadawane pytania

Czy funkcja może być rosnąca w jednym punkcie?

W szkolnej definicji nie. Monotoniczność porównuje wartości dla par argumentów, więc dotyczy zbioru – najczęściej przedziału. Zdanie „funkcja rośnie w punkcie 2" nie ma sensu; poprawnie mówimy na przykład „funkcja jest rosnąca w przedziale $[2, 5]$ ".

Czy końce przedziałów monotoniczności trzeba domykać?

Jeżeli funkcja jest w danym punkcie określona i nie ma tam skoku, punkt zmiany monotoniczności można dołączyć do obu przedziałów. Funkcja $f(x) = x^2$ jest malejąca w $(-\infty, 0]$ i rosnąca w $[0, +\infty)$ , a klucze CKE podają takie przedziały jako domknięte. Jeżeli funkcja w punkcie nie jest określona, jak $\frac{1}{x}$ w zerze, koniec musi być otwarty. Przy skoku trzeba sprawdzić wartość w samym punkcie.

Dlaczego funkcja 1/x nie jest malejąca w całej dziedzinie?

Bo definicja wymaga, żeby dla każdej pary $x_1 < x_2$ z dziedziny zachodziło $f(x_1) > f(x_2)$ , a para $-1 < 2$ daje $f(-1) = -1 < f(2) = \frac{1}{2}$ . Funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty, 0)$ i osobno w przedziale $(0, +\infty)$ . Te dwa przedziały podaje się oddzielnie, bez łączenia ich znakiem sumy.

Czym różni się funkcja niemalejąca od rosnącej?

Funkcja rosnąca dla większego argumentu daje zawsze większą wartość, a niemalejąca – większą albo równą: $f(x_1) \leq f(x_2)$ . Funkcja niemalejąca może więc mieć poziome odcinki, a każda funkcja stała jest jednocześnie niemalejąca i nierosnąca. Wymagania egzaminacyjne z funkcji mówią o przedziałach monotoniczności, a zadania pytają o funkcje rosnące, malejące i stałe.

Jak bez wykresu sprawdzić, czy funkcja liniowa jest rosnąca?

Wystarczy znak współczynnika kierunkowego $a$ we wzorze $f(x) = ax + b$ : dla $a > 0$ funkcja jest rosnąca, dla $a < 0$ malejąca, dla $a = 0$ stała. Wyraz wolny $b$ nie ma wpływu na monotoniczność. Gdy $a$ zależy od parametru, rozwiązujesz nierówność, na przykład $m - 3 > 0$ .

Jak wykazać monotoniczność funkcji z definicji?

Weź dowolne $x_1, x_2$ z przedziału, załóż $x_1 < x_2$ i oblicz różnicę $f(x_2) - f(x_1)$ . Sprowadź ją do postaci iloczynu albo ilorazu, w której znak każdego czynnika wynika z założeń. Różnica dodatnia dla każdej takiej pary oznacza funkcję rosnącą, ujemna – malejącą. To wymaganie poziomu rozszerzonego (V.3R).

Czy w dowodzie monotoniczności można użyć pochodnej?

W przykładowym zadaniu z Informatora CKE dla poziomu rozszerzonego (zadanie 7) rozwiązanie pochodną było punktowane tak samo jak dowód z definicji: dodatnia pochodna w całym przedziale oznacza funkcję rosnącą. Metodę omawia hasło monotoniczność funkcji a pochodna. Jeżeli polecenie wyraźnie każe skorzystać z definicji, trzeba liczyć różnicę $f(x_2) - f(x_1)$ .

Komentarz Autora

Definicji funkcji rosnącej i malejącej nie ma na karcie „Wybrane wzory matematyczne". Słowo „niemalejąca" pada tam tylko w definicji mediany. Na poziomie podstawowym to jednak rzadko problem, bo pytanie dotyczy niemal zawsze odczytu z wykresu albo znaku współczynnika.

W marcu 2026 (próbna matura, poziom podstawowy, zadanie 11.1, za 1 punkt) funkcja była sklejona z trzech kawałków: $x + 5$ w $[-4, -2)$ , $x + 3$ w $[-2, 1]$ i $-2x + 5$ w $(1, 3]$ . Stwierdzenie „ $f$ jest rosnąca w przedziale $[-4, -2]$ " jest fałszywe, a „ $f$ jest malejąca w przedziale $[1, 3]$ " – prawdziwe (klucz: FP). Pułapka siedzi w punkcie $-2$ : pierwszy kawałek dochodzi tam do wartości bliskich $3$ , ale $f(-2) = 1$ , więc na przykład $f(-2{,}5) = 2{,}5 > f(-2)$ . Za to w punkcie $1$ jest odwrotnie – $f(1) = 4$ leży wyżej niż cały ostatni kawałek, więc funkcja maleje w całym $[1, 3]$ . W grudniu 2024 (próbna, poziom podstawowy, zadanie 12.1) parabola miała wierzchołek $(3, 0)$ i przechodziła przez $(0, -9)$ , więc $a = -1$ i funkcja jest malejąca w $[3, +\infty)$ – odpowiedź D. W maju 2023 (zadanie 12.3) i w sierpniu 2023 (zadanie 14.1) trzeba było wskazać przedział monotoniczności z rysunku – odpowiedzi to $[2, 5]$ i $[5, 7]$ . W sierpniu 2024 (zadanie 11.1) zdanie „funkcja $f$ jest malejąca", gdzie $f(x)$ to masa bańki z $x$ litrami mleka, było fałszywe – im więcej mleka, tym większa masa. Monotoniczność funkcji liniowej po znaku współczynnika (czerwiec 2026, zadanie 10; maj 2024, zadanie 12) omawia hasło o funkcji liniowej.

Na poziomie rozszerzonym w arkuszach Formuły 2023 zebranych na portalu nie znalazłem samodzielnego zadania „wykaż z definicji, że funkcja jest monotoniczna". Takie zadanie jest za to w Informatorze CKE dla poziomu rozszerzonego (od roku 2024/2025, zadanie 7, za 3 punkty): wykazać, że $f(x) = \frac{3x}{x + 1}$ jest rosnąca w $(-1, +\infty)$ . Zasady oceniania dają 1 punkt za założenia $x_1, x_2 \in (-1, +\infty)$ , $x_2 > x_1$ i obliczenie różnicy $\frac{3(x_2 - x_1)}{(x_2 + 1)(x_1 + 1)}$ , 2 punkty za poprawne określenie jej znaku, 3 punkty za pełny dowód. Tak samo punktowane są rozwiązania pochodną, a osobna ścieżka przewiduje dowód przez przesunięcie wykresu $y = -\frac{3}{x}$ . W zadaniach optymalizacyjnych (np. maj 2025, poziom rozszerzony, zadanie 12) zasady oceniania wymagają z kolei „uzasadnienia (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji)", że funkcja ma wartość najmniejszą – tam bada się monotoniczność pochodną.

Rada: w zadaniu z wykresem najpierw zaznacz ołówkiem na osi $x$ punkty, w których linia zmienia kierunek albo urywa się. Przy każdym urwaniu sprawdź, które kółko jest pełne – to ono mówi, czy punkt sklejenia można dołączyć do przedziału.

W dowodzie z definicji przepisz na początku założenia ( $x_1, x_2$ z przedziału, $x_1 < x_2$ ) i na końcu nazwij znak każdego czynnika osobno. Z zasad oceniania widać, że punkty idą za te kroki, a nie za sam rachunek.

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Dziedzina i zbiór wartości funkcjiWłasności funkcji Funkcja – pojęcie i sposoby opisuWłasności funkcji Funkcja określona różnymi wzorami w przedziałachWłasności funkcji Miejsca zerowe funkcjiWłasności funkcji Odczytywanie własności funkcji z wykresuWłasności funkcji Przesunięcie i symetria wykresu funkcjiWłasności funkcji