Funkcja liniowa

Funkcja liniowa to funkcja określona wzorem $f(x) = ax + b$, gdzie $a$ i $b$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, a dziedziną jest cały zbiór $\mathbb{R}$. Jej wykresem jest zawsze linia prosta – stąd nazwa. Dwie liczby we wzorze mają własne nazwy i każda mówi coś innego o wykresie.

Współczynnik kierunkowy $a$ odpowiada za nachylenie prostej. Najprościej czytać go tak: gdy $x$ rośnie o $1$, wartość funkcji zmienia się o $a$. Dla $f(x) = 2x - 1$ każdy krok w prawo o jedną kratkę to dwie kratki w górę. Dla $f(x) = -x + 3$ – jedna kratka w dół. Im większa wartość bezwzględna $a$, tym bardziej stroma prosta.

Wyraz wolny $b$ to wartość funkcji dla $x = 0$, bo $f(0) = a \cdot 0 + b = b$. Na wykresie to miejsce, w którym prosta przecina oś $Oy$ – w punkcie $(0, b)$.

Z samego wzoru, bez rysowania, odczytasz najważniejsze własności funkcji:

• $a > 0$ – funkcja jest rosnąca, $a < 0$ – malejąca, $a = 0$ – stała (wykres to prosta pozioma $y = b$). Szerzej o samym pojęciu monotoniczności – w haśle monotoniczność funkcji.
• Dla $a \neq 0$ funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe $x_0 = -\frac{b}{a}$. Funkcja stała ($a = 0$) nie ma miejsc zerowych, gdy $b \neq 0$, a gdy $b = 0$, każda liczba rzeczywista jest jej miejscem zerowym.
• $a = \operatorname{tg} \alpha$, gdzie $\alpha$ to kąt, jaki prosta tworzy z dodatnią półosią $Ox$. Dla $a > 0$ ten kąt jest ostry, dla $a < 0$ – rozwarty.
• Gdy $b = 0$, wzór ma postać $f(x) = ax$, a wykres przechodzi przez początek układu współrzędnych. Taka zależność to proporcjonalność prosta: dwa razy większy argument daje dwa razy większą wartość.

Ten sam wzór $y = ax + b$ pojawia się w geometrii analitycznej jako równanie kierunkowe prostej – o prostych na płaszczyźnie (także pionowych, które funkcją nie są) mówi hasło równanie prostej. Wyznaczanie wzoru funkcji z dwóch punktów i proste równoległe lub prostopadłe omawia hasło wyznaczanie wzoru funkcji liniowej.

Przykład 1 – wszystkie własności z jednego wzoru. Funkcja jest określona wzorem $f(x) = -\frac{3}{4}x + 6$. Podaj jej monotoniczność, punkt przecięcia wykresu z osią $Oy$ i miejsce zerowe. Oblicz pole trójkąta, który wykres tworzy z osiami układu.

Odczytujemy współczynniki: $a = -\frac{3}{4}$, $b = 6$. Skoro $a < 0$, funkcja jest malejąca. Wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 6)$. Miejsce zerowe:

Wykres przecina więc oś $Ox$ w punkcie $(8, 0)$. Trójkąt ograniczony osiami i wykresem jest prostokątny, a jego przyprostokątne mają długości $8$ i $6$:

Przykład 2 – parametr we współczynniku kierunkowym. Funkcja liniowa jest określona wzorem $f(x) = (2m - 6)x + m + 1$. Dla jakich $m$ jest rosnąca? Dla jakiego $m$ nie ma miejsca zerowego?

Monotoniczność zależy tylko od współczynnika przy $x$, czyli od $a = 2m - 6$. Funkcja jest rosnąca, gdy $2m - 6 > 0$, czyli dla $m > 3$, co zapisujemy $m \in (3, +\infty)$. Brak miejsca zerowego oznacza funkcję stałą różną od zera. Warunek $2m - 6 = 0$ daje $m = 3$, a wtedy $f(x) = 0 \cdot x + 3 + 1 = 4$. To funkcja stała równa $4$, która nigdy nie przyjmuje wartości $0$ – więc $m = 3$.

Przykład 3 – współczynniki odczytane z wykresu i kąt nachylenia. Wykres funkcji liniowej przechodzi przez punkty $(-3, 0)$ i $(0, 2)$. Podaj $a$, $b$ i tangens kąta nachylenia wykresu do osi $Ox$.

Punkt $(0, 2)$ leży na osi $Oy$, więc od razu $b = 2$. Od punktu $(-3, 0)$ do $(0, 2)$ idziemy $3$ jednostki w prawo i $2$ w górę, więc na jedną jednostkę w prawo przypada $\frac{2}{3}$ jednostki w górę:

Wzór funkcji to $f(x) = \frac{2}{3}x + 2$. W drugą stronę działa to tak samo: wykres funkcji $f(x) = \sqrt{3}x + 1$ jest nachylony do osi $Ox$ pod kątem $\alpha$, dla którego $\operatorname{tg} \alpha = \sqrt{3}$, czyli $\alpha = 60^\circ$ (wartości dla kątów $30^\circ$, $45^\circ$ i $60^\circ$ – w haśle wartości funkcji trygonometrycznych).

Funkcja stała i proporcjonalność prosta są szczególnymi przypadkami funkcji liniowej. Prosta pionowa $x = c$ nie jest wykresem żadnej funkcji, bo jednemu argumentowi $c$ odpowiada nieskończenie wiele wartości.

Pomylenie $a$ z $b$, gdy wzór jest zapisany w innej kolejności. We wzorze $f(x) = 5 - 3x$ współczynnik kierunkowy to $-3$, a nie $5$ – kierunkowy jest zawsze ten przy $x$, wolny to liczba bez $x$. Pomyłka odwraca monotoniczność: funkcja wydaje się rosnąca, a jest malejąca. Przepisz wzór do postaci $f(x) = -3x + 5$, zanim cokolwiek odczytasz.

Wyraz wolny wzięty bez znaku. Dla $f(x) = 3x - 4$ wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, -4)$, a nie $(0, 4)$. Dokładnie tę pułapkę zawierało zadanie z czerwca 2026 (szczegóły w komentarzu autora). Sprawdzenie zajmuje sekundę: policz $f(0)$.

Miejsce zerowe jako $\frac{b}{a}$ albo $-\frac{a}{b}$. Zapis $x_0 = \frac{b}{a}$ daje dla $f(x) = 2x - 1$ wynik $-\frac{1}{2}$ zamiast $\frac{1}{2}$. Nie ucz się wzoru na pamięć – rozwiąż równanie $ax + b = 0$ i podstaw wynik z powrotem do wzoru funkcji, żeby zobaczyć $0$.

Warunek na monotoniczność postawiony na całym wzorze. W zadaniu z $f(x) = (2m - 6)x + m + 1$ uczeń pisze „funkcja rosnąca, więc $(2m - 6)x + m + 1 > 0$". Monotoniczność zależy tylko od współczynnika przy $x$: warunek to $2m - 6 > 0$. Wyraz wolny przesuwa prostą w górę lub w dół, ale nie zmienia jej nachylenia.

Zapomniany przypadek $a = 0$. Zdanie „każda funkcja liniowa ma jedno miejsce zerowe" jest fałszywe – funkcja stała $f(x) = 4$ nie ma żadnego. Gdy współczynnik przy $x$ zależy od parametru, zawsze sprawdź, co się dzieje, gdy się zeruje. Na tym opierało się zadanie z maja 2025.

Kąt nachylenia liczony od złej strony. Kąt $\alpha$ we wzorze $a = \operatorname{tg} \alpha$ mierzymy od dodatniej półosi $Ox$ do prostej. Dla prostej malejącej ten kąt jest rozwarty, a jego tangens ujemny. Kto weźmie kąt ostry po drugiej stronie prostej, dostanie wynik z przeciwnym znakiem.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: