Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej

Wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej to znaleźć liczby, które jednoznacznie ją opisują – zwykle współczynniki $a$, $b$, $c$ albo $a$, $p$, $q$. Treść zadania nie podaje ich wprost. Podaje za to warunki: wierzchołek paraboli, miejsca zerowe, punkt, przez który przechodzi wykres, oś symetrii albo największą lub najmniejszą wartość funkcji. Twoja praca polega na przetłumaczeniu każdego warunku na równanie i rozwiązaniu tych równań.

Funkcja kwadratowa ma trzy niewiadome współczynniki, więc potrzebujesz trzech niezależnych informacji. Wierzchołek liczy się jako dwie (daje $p$ i $q$), para miejsc zerowych też jako dwie, a każdy dodatkowy punkt wykresu – jako jedna. Najczęstszy układ na maturze to „dwie informacje w pakiecie + jeden punkt", z którego liczysz $a$.

Cała sztuka sprowadza się do wyboru postaci, od której zaczynasz (same postacie i przejścia między nimi omawia hasło postacie funkcji kwadratowej):

• znasz wierzchołek $W = (p, q)$ – zaczynasz od postaci kanonicznej $f(x) = a(x - p)^2 + q$,
• znasz oba miejsca zerowe $x_1$, $x_2$ – zaczynasz od postaci iloczynowej $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$,
• znasz trzy dowolne punkty wykresu – zaczynasz od postaci ogólnej i rozwiązujesz układ trzech równań,
• znasz oś symetrii i jedno miejsce zerowe – najpierw odbijasz to miejsce zerowe względem osi, żeby dostać drugie.

Dobrze wybrana postać zostawia jedną niewiadomą $a$ i jedno równanie liniowe. Źle wybrana daje układ trzech równań, który też prowadzi do celu, ale dłużej i z większym ryzykiem pomyłki. Na końcu zapisujesz wzór w tej postaci, o którą prosi polecenie – „w postaci kanonicznej" i „w postaci ogólnej" to różne odpowiedzi.

Przykład 1 – wierzchołek i punkt. Wierzchołkiem paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$, jest punkt $W = (2, 5)$. Wykres przechodzi przez punkt $A = (4, -3)$. Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej.

Wierzchołek daje od razu $p = 2$ i $q = 5$, więc zaczynamy od postaci kanonicznej $f(x) = a(x - 2)^2 + 5$. Zostaje jedna niewiadoma. Podstawiamy współrzędne punktu $A$:

Postać kanoniczna to $f(x) = -2(x - 2)^2 + 5$. Polecenie żąda postaci ogólnej, więc wymnażamy:

Kontrola: $f(4) = -32 + 32 - 3 = -3$, zgadza się z punktem $A$.

Przykład 2 – oś symetrii, miejsce zerowe i punkt. Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej $f$ jest prosta $x = 2$. Liczba $5$ jest miejscem zerowym tej funkcji, a wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, -10)$. Wyznacz wzór funkcji $f$.

Miejsca zerowe leżą symetrycznie względem osi. Odległość od $5$ do osi wynosi $3$, więc drugie miejsce zerowe leży $3$ jednostki po drugiej stronie:

Znamy oba miejsca zerowe, więc zaczynamy od postaci iloczynowej $f(x) = a(x - 5)(x + 1)$. Punkt $(0, -10)$ daje równanie:

Zatem $f(x) = 2(x - 5)(x + 1) = 2x^2 - 8x - 10$. Gdyby polecenie żądało postaci kanonicznej, liczymy $q = f(2) = 2 \cdot (-3) \cdot 3 = -18$ i zapisujemy $f(x) = 2(x - 2)^2 - 18$.

Przykład 3 – trzy punkty. Wykres funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 + bx + c$ przechodzi przez punkty $(-1, 6)$, $(1, 2)$ i $(2, 3)$. Wyznacz $a$, $b$ i $c$.

Żaden z punktów nie jest wierzchołkiem ani miejscem zerowym, więc pracujemy na postaci ogólnej. Każdy punkt daje jedno równanie $f(x_A) = y_A$:

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego: $2b = -4$, więc $b = -2$. Wtedy pierwsze daje $a + c = 4$, a trzecie $4a + c = 7$. Odejmując, mamy $3a = 3$, czyli $a = 1$ i $c = 3$. Wzór: $f(x) = x^2 - 2x + 3$. Kontrola: $f(2) = 4 - 4 + 3 = 3$.

Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej z dwóch punktów działa na tej samej zasadzie, tylko z dwiema niewiadomymi – omawia je hasło wzór funkcji liniowej.

Zły znak w postaci kanonicznej. Dla wierzchołka $W = (-3, 4)$ uczeń pisze $f(x) = a(x - 3)^2 + 4$. W nawiasie stoi $x - p$, więc dla $p = -3$ jest $x - (-3) = x + 3$. Poprawnie: $f(x) = a(x + 3)^2 + 4$. Kontrola: wierzchołek to argument, dla którego nawias się zeruje.

Zapomniany współczynnik $a$. Zapis $f(x) = (x - 2)^2 + 5$ zakłada $a = 1$, choć treść tego nie mówi. Wzór wtedy zwykle nie przechodzi przez podany punkt. Zawsze zaczynaj od $a(x - p)^2 + q$ z literą $a$ i licz ją z dodatkowego punktu.

Pomylone współrzędne punktu. Punkt $(0, 18)$ to $x = 0$ i $y = 18$, czyli warunek $f(0) = 18$, a nie $f(18) = 0$. Przy punktach z treści zapisz najpierw jawnie „$f(\ldots) = \ldots$", a dopiero potem podstawiaj.

Wierzchołek ukryty w treści niezauważony. „Parabola ma z osią $Ox$ dokładnie jeden punkt wspólny $(3, 0)$" oznacza, że ten punkt jest wierzchołkiem. Kto tego nie zauważy, zostaje z jednym punktem i jednym zerem, czyli za mało danych.

Wzór w złej postaci. Polecenie „wyznacz wzór w postaci kanonicznej" nie jest spełnione przez $f(x) = 2x^2 - 8x - 10$, nawet jeśli współczynniki są dobre. Przeczytaj polecenie jeszcze raz, zanim zapiszesz odpowiedź.

Brak kontroli warunku o znaku $a$. Jeśli treść mówi o największej wartości funkcji, a wyszło $a > 0$, w obliczeniach jest błąd – parabola z ramionami w górę nie ma największej wartości. Taki sam sygnał daje $a < 0$ przy wartości najmniejszej.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: