Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej

Tę samą funkcję kwadratową można zapisać na trzy sposoby. Wzory wyglądają zupełnie inaczej, ale po wymnożeniu dają to samo wyrażenie i ten sam wykres. Na przykład

to trzy zapisy jednej funkcji: postać ogólna, postać kanoniczna i postać iloczynowa. Każda z nich pokazuje „od razu", bez żadnych obliczeń, inną cechę paraboli. Dlatego w zadaniu najpierw wybierasz postać, z której najłatwiej odczytać to, o co pytają – albo w której najłatwiej zapisać to, co podano w treści.

• Postać ogólna $f(x) = ax^{2} + bx + c$ pokazuje współczynnik $c$, czyli wartość $f(0)$. Wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, c)$.
• Postać kanoniczna $f(x) = a(x - p)^{2} + q$ pokazuje wierzchołek paraboli $W = (p, q)$, a więc też oś symetrii $x = p$ i najmniejszą albo największą wartość funkcji.
• Postać iloczynowa $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ pokazuje miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$ – punkty, w których parabola przecina oś $Ox$. Istnieje tylko wtedy, gdy $\Delta \geq 0$.
• Współczynnik $a$ jest ten sam we wszystkich trzech postaciach. Jego znak mówi, czy ramiona paraboli idą w górę ($a > 0$), czy w dół ($a < 0$).

Przejścia między postaciami to trzy rachunki. Z kanonicznej albo iloczynowej do ogólnej przechodzisz, wymnażając nawiasy. Z ogólnej do kanonicznej – licząc współrzędne wierzchołka albo uzupełniając wyrażenie do pełnego kwadratu. Z ogólnej do iloczynowej – licząc wyróżnik $\Delta$ i pierwiastki trójmianu. Ogólny przegląd funkcji kwadratowej (ramiona, liczba miejsc zerowych, znak) jest w haśle funkcja kwadratowa, a wzory na współrzędne wierzchołka – w haśle wierzchołek paraboli.

Przykład 1 – z postaci ogólnej do kanonicznej. Zapisz funkcję $f(x) = -2x^{2} + 8x - 6$ w postaci kanonicznej.

Sposób pierwszy: współrzędne wierzchołka. Ze wzoru z karty $p = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{-4} = 2$, a drugą współrzędną najprościej policzyć jako wartość funkcji w $p$:

Stąd $f(x) = -2(x - 2)^{2} + 2$.

Sposób drugi: uzupełnianie do kwadratu. Najpierw wyłączamy $a = -2$ przed nawias z dwóch pierwszych wyrazów, potem w nawiasie dopisujemy i odejmujemy kwadrat połowy współczynnika przy $x$:

Po wymnożeniu nawiasu kwadratowego przez $-2$ odjęta czwórka zamienia się w $+8$:

Oba sposoby dają ten sam wynik. Kontrola: podstaw $x = 0$ – postać kanoniczna daje $-2 \cdot 4 + 2 = -6$, czyli dokładnie $c$.

Przykład 2 – z postaci ogólnej do iloczynowej. Zapisz tę samą funkcję $f(x) = -2x^{2} + 8x - 6$ w postaci iloczynowej.

Liczymy wyróżnik i pierwiastki trójmianu (więcej o tym w haśle równanie kwadratowe):

Wstawiamy pierwiastki do wzoru i nie gubimy $a$: $f(x) = -2(x - 1)(x - 3)$. Kolejność nawiasów nie ma znaczenia.

Inaczej jest dla $g(x) = x^{2} - 4x + 5$. Tu $\Delta = 16 - 20 = -4 < 0$, więc funkcja nie ma miejsc zerowych i nie da się jej zapisać w postaci iloczynowej. Postać kanoniczna istnieje zawsze: $g(x) = (x - 2)^{2} + 1$. Gdy $\Delta = 0$, oba nawiasy są takie same, na przykład $h(x) = 4x^{2} - 12x + 9 = 4\left(x - \frac{3}{2}\right)^{2}$ – i to jest jednocześnie postać kanoniczna z $q = 0$.

Przykład 3 – z postaci kanonicznej i iloczynowej do ogólnej. Zapisz w postaci ogólnej funkcje $f(x) = -3(x + 1)^{2} + 5$ oraz $g(x) = \frac{1}{2}(x + 4)(x - 2)$.

W postaci kanonicznej najpierw rozwijamy kwadrat wzorem skróconego mnożenia, potem mnożymy przez $a$ i dopiero na końcu dodajemy $q$:

W postaci iloczynowej najpierw mnożymy nawiasy, a potem całość przez $a$:

Jak z podanych informacji wyznaczyć cały wzór, pokazuje hasło wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej.

Zły znak $p$ w postaci kanonicznej. Wzór $f(x) = 3(x + 3)^{2} + 2$ ma wierzchołek $(-3, 2)$, a nie $(3, 2)$, bo $x + 3 = x - (-3)$. I odwrotnie: wierzchołek $(-3, 2)$ zapisujesz jako $(x + 3)^{2}$. Znak $q$ przepisujesz bez zmiany.

Uzupełnianie do kwadratu bez wyłączenia $a$. Z $-2x^{2} + 8x - 6$ nie da się od razu zrobić $(x - 2)^{2}$, bo przy $x^{2}$ stoi $-2$. Najpierw $-2(x^{2} - 4x) - 6$, a dopiero w nawiasie uzupełniasz do kwadratu. Drugi błąd w tym samym miejscu: odjętą liczbę ($-4$ w nawiasie) też trzeba pomnożyć przez $a$ – stąd $+8$, a nie $-4$.

Zgubione $a$ w postaci iloczynowej. Funkcja $f(x) = -2x^{2} + 8x - 6$ ma miejsca zerowe $1$ i $3$, ale to nie znaczy, że $f(x) = (x - 1)(x - 3)$. Po wymnożeniu wyszłoby $x^{2} - 4x + 3$ – inna funkcja z tymi samymi zerami. Poprawnie: $f(x) = -2(x - 1)(x - 3)$.

Odwrócone znaki w nawiasach. Miejsca zerowe $-1$ i $3$ dają nawiasy $(x + 1)(x - 3)$, a nie $(x - 1)(x + 3)$. Kontrola: podstaw miejsce zerowe – jeden z nawiasów musi dać zero.

Postać iloczynowa przy $\Delta < 0$. Gdy wyróżnik jest ujemny, trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych i postaci iloczynowej nie ma. Pierwiastka z liczby ujemnej nie wpisujesz do nawiasu – odpowiedź brzmi „funkcja nie ma postaci iloczynowej".

Kwadrat różnicy rozwinięty na skróty. Przy wymnażaniu $2(x - 2)^{2} + 4$ zapis $(x - 2)^{2} = x^{2} - 4$ albo $x^{2} + 4$ gubi wyraz środkowy, a $x^{2} - 2x + 4$ – jego podwojenie. Poprawnie $(x - 2)^{2} = x^{2} - 4x + 4$, więc $f(x) = 2x^{2} - 8x + 12$. Wszystkie trzy błędne wersje były dystraktorami w zadaniu CKE omówionym w komentarzu autora.

$q$ wzięte za wyraz wolny. W $f(x) = 2(x - 1)^{2} - 8$ wyraz wolny nie jest równy $-8$. Liczba $q$ to wartość w wierzchołku, a $c = f(0) = 2 \cdot 1 - 8 = -6$.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: