Wszystkie zagadnienia: Funkcje i ciągi

zaawansowany matura podstawowa z matematykimatura rozszerzona z matematykioptymalizacjafunkcja kwadratowawartość największa

Zadania optymalizacyjne z funkcją kwadratową

Q: Jak najszybciej znaleźć wierzchołek funkcji celu?

Gdy funkcja jest w postaci iloczynowej, np. P(x) = x(60 - 2x), weź średnią arytmetyczną jej miejsc zerowych: (0 + 30)/2 = 15. Gdy jest w postaci ogólnej, użyj wzoru p = -b/(2a) z karty wzorów. Obie drogi dają ten sam wynik, bo parabola jest symetryczna względem prostej x = p.

Q: Czy z prostokątów o danym obwodzie największe pole zawsze ma kwadrat?

Tak, jeśli ogradzasz wszystkie cztery boki: pole x(L/2 - x) jest największe dla x = L/4, czyli dla kwadratu. Gdy jeden bok jest zastąpiony ścianą albo siatka dzieli teren na kilka części, odpowiedzią nie jest już kwadrat – przy ścianie bok równoległy wychodzi dwa razy dłuższy od prostopadłego.

Opis

Zadanie optymalizacyjne pyta, przy jakich wymiarach albo jakich liczbach coś będzie największe lub najmniejsze: pole działki, pole powierzchni bryły, iloczyn dwóch liczb, suma ich kwadratów. Na poziomie podstawowym takie zadanie zawsze da się sprowadzić do jednej funkcji kwadratowej jednej zmiennej. Szukana wartość leży wtedy w wierzchołku paraboli – albo, gdy wierzchołek wypada poza dopuszczalne argumenty, na końcu przedziału.

Rozwiązanie ma stały schemat, a zasady oceniania CKE punktują kolejne jego kroki:

Zmienna. Wybierz jedną wielkość, oznacz ją $x$ , a wszystkie pozostałe wyraź przez $x$ za pomocą warunku z treści (stały obwód, stała suma, długość siatki).
Funkcja celu. Zapisz wielkość, którą masz zmaksymalizować lub zminimalizować, jako funkcję $x$ , np. $P(x) = x(60 - 2x)$ . Funkcja celu ma mieć jedną zmienną – dwie litery we wzorze to sygnał, że krok 1 nie jest skończony.
Dziedzina. Z warunków geometrycznych ustal, jakie $x$ mają sens: długości są dodatnie, więc zwykle wychodzi przedział otwarty, np. $x \in (0, 30)$ .
Wierzchołek. Policz pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli $p$ i sprawdź, czy należy do dziedziny. Ramiona w dół ( $a < 0$ ) – w wierzchołku jest największa wartość, ramiona w górę ( $a > 0$ ) – najmniejsza.
Odpowiedź na pytanie z treści. Zadanie pyta zwykle o wymiary, czasem także o samą wartość. Podaj dokładnie to, o co pytają, z jednostkami.

Wzór na wierzchołek $p = -\frac{b}{2a}$ i sposób jego odczytu z postaci kanonicznej omawia hasło wierzchołek paraboli. Gdy funkcja celu wychodzi w postaci iloczynowej, np. $x(60 - 2x)$ , najszybciej jest wziąć środek między jej miejscami zerowymi – parabola jest symetryczna względem prostej $x = p$ . Co zrobić, gdy wierzchołek leży poza dziedziną, wyjaśnia hasło największa i najmniejsza wartość funkcji kwadratowej. Zadania, w których wzór funkcji jest podany w treści (przychód, zysk, wysokość rzuconej piłki), należą do hasła zastosowania funkcji liniowej i kwadratowej – tutaj funkcję celu budujesz sam.

Na poziomie rozszerzonym zdarzają się zadania optymalizacyjne, w których funkcja celu nie jest kwadratowa (np. jest ilorazem albo wielomianem trzeciego stopnia) i potrzebna jest pochodna – omawia je hasło zadania optymalizacyjne z pochodną.

Wzory

Iloczyn liczb o stałej sumie

x(S - x) \leq \frac{S^2}{4}

Dla liczb

x

S - x

. Równość, czyli największy iloczyn, dla

x = \frac{S}{2}

– obie liczby równe.

Suma kwadratów liczb o stałej sumie

x^2 + (S - x)^2 \geq \frac{S^2}{2}

Najmniejsza suma kwadratów też dla

x = \frac{S}{2}

. Przy współczynnikach, np.

2x^2 + y^2

, liczby już nie są równe – licz wierzchołek.

Prostokąt o obwodzie

L

P(x) = x\left(\frac{L}{2} - x\right)

Dziedzina

\left(0, \frac{L}{2}\right)

. Największe pole

\frac{L^2}{16}

ma kwadrat o boku

\frac{L}{4}

Prostokąt przy ścianie, siatka

L

na trzy boki

P(x) = x(L - 2x)

x

– bok prostopadły do ściany, dziedzina

\left(0, \frac{L}{2}\right)

. Największe pole

\frac{L^2}{8}

dla

x = \frac{L}{4}

– bok przy ścianie jest wtedy dwa razy dłuższy.

Wykres

Pole działki przy murze

P(x) = x(60 - 2x)

dla

x \in (0, 30)

– przykład 1

P(x) = x(60 - 2x)

Tabela

Wymiary działki przy murze z 60 m siatki (przykład 1) – pole rośnie, a potem maleje symetrycznie

$x$ – bok prostopadły do muru (m)	$60 - 2x$ – bok równoległy (m)	Pole $P(x)$ (m²)
5	50	250
10	40	400
15	30	450
20	20	400
25	10	250

Przykład

Przykład 1 – działka przy murze. Prostokątną działkę z jednej strony ogranicza mur, a z trzech pozostałych ogradzamy ją siatką o długości $60$ m. Jakie wymiary powinna mieć działka, żeby jej pole było największe?

Zmienna: $x$ – długość boku prostopadłego do muru. Takie boki są dwa, więc na bok równoległy do muru zostaje $60 - 2x$ metrów siatki. Funkcja celu:

P(x) = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x

Dziedzina: oba boki dodatnie, czyli $x > 0$ i $60 - 2x > 0$ , więc $x \in (0, 30)$ . Miejsca zerowe funkcji $P$ to $0$ i $30$ , ramiona są skierowane w dół, a wierzchołek leży w środku między zerami:

p = \frac{0 + 30}{2} = 15, \qquad P(15) = 15 \cdot 30 = 450

Liczba $15$ należy do dziedziny. Odpowiedź: działka ma wymiary $15$ m (boki prostopadłe do muru) na $30$ m (bok wzdłuż muru), jej pole wynosi $450$ m². Tabela wyżej pokazuje, że dla $x$ równo odległych od $15$ pole jest takie samo.

Przykład 2 – minimum, a nie maksimum. Dwie liczby rzeczywiste różnią się o $8$ . Dla jakich liczb ich iloczyn jest najmniejszy?

Zmienna: $y$ – mniejsza liczba, większa to $y + 8$ . Funkcja celu:

f(y) = y(y + 8) = y^2 + 8y

Dziedzina: liczby są dowolne, więc $y \in \mathbb{R}$ . Współczynnik przy $y^2$ jest dodatni – ramiona w górę, w wierzchołku jest wartość najmniejsza. Zera to $-8$ i $0$ , więc $p = -4$ i $f(-4) = -4 \cdot 4 = -16$ . Odpowiedź: liczby $-4$ i $4$ , najmniejszy iloczyn to $-16$ .

Przykład 3 – wierzchołek poza dziedziną. Suma długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego wynosi $12$ , a jedna z nich ma długość co najwyżej $4$ . Oblicz największe możliwe pole tego trójkąta.

Zmienna: $a$ – krótsza przyprostokątna, druga to $12 - a$ . Funkcja celu:

P(a) = \frac{1}{2}a(12 - a)

Bez dodatkowego warunku wierzchołek byłby w $a = 6$ (pole $18$ ). Tu jednak dziedziną jest $(0, 4]$ , a $6$ do niej nie należy. Na całym przedziale $(0, 4]$ funkcja rośnie (leży na lewo od wierzchołka), więc największą wartość przyjmuje na prawym końcu:

P(4) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16

Odpowiedź: największe pole wynosi $16$ , przyprostokątne mają długości $4$ i $8$ . Gdyby przedział był otwarty, $(0, 4)$ , największej wartości nie byłoby wcale – dlatego dziedzinę zapisuje się starannie, z nawiasami zgodnymi z treścią.

Porównanie

	Funkcja celu kwadratowa	Funkcja celu innego typu
Przykład funkcji celu	$P(x) = x(60 - 2x)$	$P(x) = \frac{x^2 + 16}{x}$ , $V(x) = x(10 - 2x)^2$
Narzędzie	wierzchołek paraboli	pochodna i jej znak
Poziom egzaminu	podstawowy (wymaganie XIII)	rozszerzony
Gdzie szukać ekstremum	w $p$ albo na końcu przedziału	w punktach, gdzie pochodna zmienia znak
Nazwa po angielsku	optimization problem, quadratic function	optimization with derivatives

Druga kolumna to materiał hasła zadania optymalizacyjne z pochodną. Zanim sięgniesz po pochodną, sprawdź, czy funkcja celu po wymnożeniu nie jest po prostu kwadratowa.

Typowe błędy

Funkcja celu z dwiema zmiennymi. Zapis $P = xy$ i od razu „liczę wierzchołek" nie prowadzi do wyniku, bo $P$ zależy od dwóch liter. Najpierw z warunku z treści wyraź $y$ przez $x$ (np. $y = 60 - 2x$ ), dopiero potem szukaj wierzchołka.

Źle wyrażony drugi bok. Przy obwodzie $40$ prostokąta drugi bok to $20 - x$ , a nie $40 - x$ : obwód obejmuje każdy bok dwa razy. Przy siatce na trzy boki odejmujesz $2x$ , przy kilku wybiegach ze wspólnymi ściankami – tyle odcinków, ile ich jest na rysunku. Policz odcinki na rysunku, zanim zapiszesz warunek.

Brak dziedziny. Zasady oceniania CKE (np. maj 2025, zadanie 31; sierpień 2026, zadanie 30) przyznają osobny punkt za dziedzinę funkcji celu. Bez niej nie sprawdzisz też, czy wierzchołek w ogóle wchodzi w grę – patrz przykład 3.

Wartość zamiast argumentu (lub odwrotnie). Pytanie „jakie wymiary" wymaga $p$ i drugiego boku, pytanie „jakie największe pole" – wartości $P(p)$ . Częsty skrót to podanie samego pola $450$ , gdy pytano o wymiary $15$ m i $30$ m. Przeczytaj ostatnie zdanie polecenia jeszcze raz przed zapisaniem odpowiedzi.

Zgadywanie z kilku wartości. Policzenie pola dla $x = 5, 10, 15, 20$ i wybranie największego to nie jest rozwiązanie: nie wiadomo, co dzieje się między tymi punktami. W zasadach oceniania z sierpnia 2026 (zadanie 30) i czerwca 2026 (zadanie 32) za taki sposób przewidziano 0 punktów (o ile za inne kroki nie należą się punkty).

Pomylone maksimum z minimum. Gdy przy $x^2$ stoi liczba dodatnia, wierzchołek daje wartość najmniejszą. Jeśli zadanie pyta o największą, a parabola ma ramiona w górę, szukasz jej na końcu przedziału – a w przedziale otwartym może jej wcale nie być.

Sprawdź się

Prostokąt ma obwód $40$ . Oznacz długość jednego boku przez $x$ i uzupełnij tabelę.

$x$	drugi bok	pole
4
10

Największe pole prostokąta o obwodzie $40$ wynosi , a dziedziną funkcji pola jest przedział otwarty od $0$ do .

Dwie liczby mają sumę $14$ . Ich największy możliwy iloczyn to .

Działka przy ścianie ma pole $P(x) = x(24 - 2x)$ . Pole jest największe dla $x =$ i wynosi wtedy .

Liczby $x$ i $y$ mają sumę $6$ . Najmniejsza wartość wyrażenia $x^2 + y^2$ to .

Jeżeli funkcja celu ma ramiona skierowane w górę, w wierzchołku przyjmuje wartość .

Najczęściej zadawane pytania

Skąd wiadomo, że zadanie optymalizacyjne da się rozwiązać funkcją kwadratową?

Po wyrażeniu wszystkich wielkości przez jedną zmienną funkcja celu po wymnożeniu ma postać $ax^2 + bx + c$ z $a \neq 0$ . Tak jest zwykle przy polu prostokąta lub trójkąta o stałym obwodzie, przy iloczynie dwóch liczb o stałej sumie albo różnicy i przy sumie kwadratów. Jeśli wychodzi $x^3$ , ułamek z $x$ w mianowniku albo pierwiastek, to zadanie wymaga innych narzędzi.

Czy trzeba podawać dziedzinę funkcji celu?

Tak. W zasadach oceniania CKE za dziedzinę jest osobny punkt, a bez niej nie wiesz, czy wierzchołek paraboli w ogóle jest dopuszczalnym argumentem. Dziedzinę wyznacza się z warunków geometrycznych: każda długość musi być dodatnia, a dodatkowe ograniczenia z treści (np. „bok co najwyżej 4") ją zawężają.

Co zrobić, gdy wierzchołek paraboli nie należy do dziedziny?

Wtedy funkcja jest na całej dziedzinie monotoniczna i największą lub najmniejszą wartość przyjmuje na końcu przedziału – o ile ten koniec do niego należy. Policz wartość na końcu leżącym bliżej wierzchołka. Gdy przedział jest otwarty z tej strony, szukanej wartości nie ma i tak należy odpowiedzieć.

Jak najszybciej znaleźć wierzchołek funkcji celu?

Gdy funkcja jest w postaci iloczynowej, np. $P(x) = x(60 - 2x)$ , weź średnią arytmetyczną jej miejsc zerowych: $\frac{0 + 30}{2} = 15$ . Gdy jest w postaci ogólnej, użyj wzoru $p = -\frac{b}{2a}$ z karty wzorów. Obie drogi dają ten sam wynik, bo parabola jest symetryczna względem prostej $x = p$ .

Czy z prostokątów o danym obwodzie największe pole zawsze ma kwadrat?

Tak, jeśli ogradzasz wszystkie cztery boki: pole $x\left(\frac{L}{2} - x\right)$ jest największe dla $x = \frac{L}{4}$ , czyli dla kwadratu. Gdy jeden bok jest zastąpiony ścianą albo siatka dzieli teren na kilka części, odpowiedzią nie jest już kwadrat – przy ścianie bok równoległy wychodzi dwa razy dłuższy od prostopadłego.

Czy można rozwiązać takie zadanie, sprawdzając kilka wartości w tabelce?

Nie na egzaminie. Tabelka pokazuje kierunek zmian, ale nie dowodzi, że między sprawdzonymi wartościami nie ma większej. W zasadach oceniania z 2026 roku CKE zapisała, że wskazanie wyniku na podstawie pól policzonych dla wybranych długości daje 0 punktów, jeśli w rozwiązaniu nie ma innych punktowanych kroków. Potrzebny jest wzór funkcji celu i jej wierzchołek.

Czym różni się to hasło od zadań z pochodną?

Tu funkcja celu jest kwadratowa i wystarcza wierzchołek paraboli – to zakres podstawowy. Na poziomie rozszerzonym funkcja celu bywa wielomianem wyższego stopnia albo ilorazem i wtedy ekstremum wyznacza się pochodną. Pierwszy krok – zmienna, funkcja celu i dziedzina – jest w obu przypadkach taki sam.

Komentarz Autora

Pierwsza współrzędna wierzchołka $p = -\frac{b}{2a}$ jest na karcie „Wybrane wzory matematyczne" (rozdział 7, „Funkcja kwadratowa"). Funkcji celu nie ma na żadnej karcie – a to za jej zbudowanie CKE daje najwięcej punktów.

W arkuszach podstawowych Formuły 2023 zebranych na portalu zadanie oznaczone w kluczu wymaganiem XIII („rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową") jest w 11 z 12 sesji od maja 2023 do sierpnia 2026 (w arkuszu z sierpnia 2023 nie pada nawet fraza o największej lub najmniejszej wartości). Te, w których funkcję celu buduje się samemu, to zwykle ostatnie zadania otwarte za 3–4 punkty:

Maj 2024 (zadanie 31, za 4 punkty): trzy identyczne prostokątne wybiegi z 36 m siatki; odpowiedź z klucza $x = 4{,}5$ m i $y = 3$ m.
Sierpień 2024 (zadanie 30, za 3 punkty): liczby nieujemne o sumie $12$ , minimum $2x^2 + y^2$ ; klucz: $x = 4$ , $y = 8$ , najmniejsza wartość $96$ .
Maj 2025 (zadanie 31, za 4 punkty): prostopadłościany z krawędzią $4$ i sumą krawędzi z jednego wierzchołka $15$ ; klucz: $P(x) = -2x^2 + 22x + 88$ , $D = (0, 11)$ , $x = \frac{11}{2}$ .
Czerwiec 2026 (zadanie 32, za 3 punkty): trójkąt w kwadracie o boku $4$ ; klucz: $P(x) = x^2 - 2x + 8$ , najmniejsze pole dla $x = 1$ .
Sierpień 2026 (zadanie 30, za 4 punkty): walce, w których suma średnicy i wysokości wynosi $10$ ; klucz: $P(r) = 2\pi r(10 - 2r)$ , $D = (0, 5)$ , $r = \frac{5}{2}$ .

Wcześniej ten sam typ był w czerwcu 2023 (zadanie 33 – prostokątny parking w trapezowej działce, klucz: $50$ m na $200$ m, pole $10\,000$ m²) oraz w arkuszach próbnych z grudnia 2023 (okno w kształcie trapezu) i grudnia 2024 (prostopadłościany, $x = \frac{24}{13}$ ). Pozostałe zadania z wymaganiem XIII – apteka (maj 2023), klocki (czerwiec 2024), latarki (czerwiec 2025), hotel (sierpień 2025), piłeczka (maj 2026) – podają gotowy wzór funkcji i należą do hasła o zastosowaniach.

Punkty w zasadach oceniania rosną z kolejnymi krokami tego samego schematu: zależność między wielkościami, wzór funkcji celu, dziedzina albo pierwsza współrzędna wierzchołka, pełny wynik. W czerwcu 2026 klucz mówi wprost: samo zapisanie, że szukana wartość to $x = 1$ , daje 0 punktów za całe zadanie. Zapisuj więc każdy krok, nawet gdy wynik widzisz od razu.

Rada: zanim policzysz wierzchołek, podstaw do funkcji celu jakąś prostą wartość z dziedziny i sprawdź na rysunku, czy wynik ma sens (np. czy pole wyszło dodatnie). Pomyłkę w funkcji celu wyłapiesz wtedy, zanim pociągnie za sobą resztę zadania.

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Funkcja kwadratowaFunkcja liniowa i kwadratowa Największa i najmniejsza wartość funkcji kwadratowej w przedzialeFunkcja liniowa i kwadratowa Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowejFunkcja liniowa i kwadratowa Wierzchołek paraboli i oś symetriiFunkcja liniowa i kwadratowa Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowejFunkcja liniowa i kwadratowa Zastosowania funkcji liniowej i kwadratowejFunkcja liniowa i kwadratowa