Wszystkie zagadnienia: Funkcje i ciągi

średni matura podstawowa z matematykimatura rozszerzona z matematykimodelowaniezadania praktycznefunkcja kwadratowa

Zastosowania funkcji liniowej i kwadratowej

Q: Co oznaczają współczynniki a i b w modelu liniowym?

Wyraz wolny b to wartość funkcji dla x = 0 – opłata startowa, abonament, masa pustego naczynia, położenie na starcie. Współczynnik a to zmiana wartości przy zwiększeniu x o jedną jednostkę – cena za minutę, masa litra, prędkość. Dodatnie a oznacza, że wielkość rośnie, ujemne – że maleje.

Opis

Zadanie z zastosowaniem funkcji to zadanie, w którym wzoru nie ma od razu na kartce – jest opis sytuacji: cennik telefonu, bańka z mlekiem, piłeczka rzucona do góry, kino, które obniża ceny biletów. Twoja praca polega na przetłumaczeniu tego opisu na funkcję, policzeniu czegoś na tej funkcji i przetłumaczeniu wyniku z powrotem na język treści. Taką funkcję nazywamy modelem sytuacji.

Model buduje się zawsze w tych samych czterech krokach:

Zmienna i jednostka. Ustal, co oznacza $x$ (liczba minut, czas w sekundach, kwota obniżki w złotych) i w jakich jednostkach jest wartość funkcji.
Wzór. Zapisz, jak wartość zależy od $x$ . Stała zmiana o tyle samo na każdą jednostkę daje funkcję liniową. Iloczyn dwóch wielkości, z których każda zmienia się liniowo (cena razy liczba sprzedanych sztuk), albo ruch pod wpływem grawitacji daje funkcję kwadratową.
Dziedzina z kontekstu. Wypisz, jakie $x$ mają sens: czas nie jest ujemny, bańka mieści najwyżej $10$ litrów, liczba widzów jest całkowita. Dziedzina modelu jest zwykle dużo węższa niż $\mathbb{R}$ .
Interpretacja. Wynik obliczeń zamień na odpowiedź na pytanie z treści – z jednostką – i sprawdź, czy leży w dziedzinie.

W modelu liniowym $f(x) = ax + b$ oba współczynniki mają znaczenie w treści: $b = f(0)$ to wartość początkowa (abonament, masa pustej bańki, położenie na starcie), a $a$ to zmiana na jedną jednostkę $x$ (cena za minutę, masa litra mleka, prędkość). Jeśli zdanie w treści mówi „za każdy…", „o … na każdą…", prawie zawsze opisuje właśnie $a$ .

W modelu kwadratowym najczęściej interesują nas trzy rzeczy: kiedy funkcja przyjmuje daną wartość (równanie kwadratowe), kiedy spada do zera (miejsca zerowe – na przykład moment upadku piłki) i gdzie jest wartość największa albo najmniejsza. Tę ostatnią liczy się z wierzchołka paraboli; zadania, w których szukanie maksimum jest całą treścią, omawia hasło zadania optymalizacyjne. To hasło zajmuje się tym, co jest przed nimi: zbudowaniem wzoru z opisu i odczytaniem wyniku.

Wzory

Model liniowy

f(x) = ax + b

b = f(0)

– wartość na starcie,

a

– zmiana na jedną jednostkę

x

Koszt całkowity

K(x) = K_0 + k \cdot x

K_0

– koszt stały (opłata startowa, abonament),

k

– koszt jednej sztuki, kilometra, minuty.

Przychód

P(x) = c \cdot n

Cena jednej sztuki razy liczba sprzedanych sztuk. Gdy obie zależą liniowo od

x

, przychód jest funkcją kwadratową.

Przychód przy zmianie ceny

P(x) = (c_0 - d \cdot x)(n_0 + m \cdot x)

Obniżka o

d

zł na każdy krok

x

przyciąga

m

klientów. Przy podwyżce znaki są odwrotne.

Zysk

Z(x) = P(x) - K(x)

Przychód minus koszt.

Ruch jednostajny

s(t) = s_0 + v \cdot t

s_0

– położenie na starcie,

v

– stała prędkość. Model liniowy w czasie.

Rzut pionowy

h(t) = h_0 + v_0 t - 4{,}9t^{2}

h_0

– wysokość startu w metrach,

v_0

– prędkość początkowa w m/s,

t

w sekundach. W zadaniach maturalnych wzór jest podany w treści; liczba

4{,}9

(albo zaokrąglona

5

) bierze się z przyspieszenia ziemskiego.

Wykres

Dwie taryfy telefoniczne:

A(x) = 30 + 0{,}2x

B(x) = 0{,}5x

, gdzie

x

– liczba minut w miesiącu, wartość w złotych

A(x) = 30 + 0{,}2x

(z abonamentem)

B(x) = 0{,}5x

(bez abonamentu)

Wykres 2

Wysokość piłki

h(t) = -5t^2 + 20t + 1{,}5

(w metrach) w zależności od czasu

t

(w sekundach) i poziom

16{,}5

h(t) = -5t^2 + 20t + 1{,}5

h = 16{,}5

Tabela

Słownik tłumaczenia treści na model

Zdanie w treści	Co to jest w modelu	Przykład
„abonament", „opłata startowa", „pusta bańka waży"	wyraz wolny $b = f(0)$	$b = 30$ zł, $b = 6{,}5$ kg
„za każdą minutę", „jeden litr waży"	współczynnik $a$	$a = 0{,}2$ zł/min, $a = 1{,}03$ kg/l
„każda obniżka o 1 zł przyciąga 20 osób"	liniowa zmiana liczby klientów	$n(x) = 300 + 20x$
„przychód", „utarg"	cena razy liczba sztuk	$P(x) = (24 - x)(300 + 20x)$
„zysk"	przychód minus koszt	$Z(x) = P(x) - K(x)$
„kiedy obie oferty kosztują tyle samo"	równanie $f(x) = g(x)$	$30 + 0{,}2x = 0{,}5x$
„kiedy piłka spadnie na ziemię"	miejsce zerowe w dziedzinie	$h(t) = 0$ , $t > 0$
„najwyżej", „najwięcej", „największy przychód"	wierzchołek paraboli	$p = -\frac{b}{2a}$

Przykład

Przykład 1 – dwie oferty liniowe. Taryfa A kosztuje $30$ zł abonamentu plus $0{,}20$ zł za minutę, taryfa B – $0{,}50$ zł za minutę bez abonamentu. Przy jakiej liczbie minut w miesiącu obie kosztują tyle samo i która jest tańsza przy $200$ minutach?

Abonament to wartość dla $x = 0$ , a cena minuty to zmiana na jednostkę, więc $A(x) = 30 + 0{,}2x$ oraz $B(x) = 0{,}5x$ , gdzie $x \geq 0$ to liczba minut. Przyrównujemy:

30 + 0{,}2x = 0{,}5x \quad\Rightarrow\quad 0{,}3x = 30 \quad\Rightarrow\quad x = 100

Przy $100$ minutach obie taryfy kosztują $50$ zł – to punkt przecięcia prostych na wykresie wyżej. Przy $200$ minutach $A(200) = 70$ zł, a $B(200) = 100$ zł, więc tańsza jest A. Z wykresu widać to od razu: na prawo od punktu przecięcia prosta A leży niżej, bo rośnie wolniej (mniejszy współczynnik $a$ ). Odwrotne pytanie – „ile minut można wygadać w taryfie A za $70$ zł" – to równanie $30 + 0{,}2x = 70$ , czyli $x = 200$ .

Przykład 2 – przychód jako funkcja kwadratowa. Kino sprzedaje bilety po $24$ zł i ma wtedy $300$ widzów dziennie. Każda obniżka ceny o $1$ zł przyciąga $20$ dodatkowych widzów, a sala mieści $500$ osób. Zapisz dzienny przychód $P$ jako funkcję obniżki $x$ (w pełnych złotych) i ustal, przy jakiej obniżce przychód jest taki sam jak bez obniżki.

Cena po obniżce to $24 - x$ , liczba widzów to $300 + 20x$ , a przychód jest ich iloczynem:

P(x) = (24 - x)(300 + 20x)

Dziedzina wynika z treści: $x$ jest liczbą całkowitą, $x \geq 0$ , a widzów nie może być więcej niż $500$ , więc $300 + 20x \leq 500$ , czyli $x \leq 10$ . Zatem $x \in \{0, 1, 2, \ldots, 10\}$ .

Bez obniżki $P(0) = 24 \cdot 300 = 7200$ zł. Szukamy innego $x$ , dla którego $P(x) = 7200$ :

(24 - x)(300 + 20x) = 7200 \quad\Rightarrow\quad 180x - 20x^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0 \ \text{lub} \ x = 9

Obniżka o $9$ zł (bilet za $15$ zł, $480$ widzów) daje ten sam przychód $7200$ zł. Obie liczby leżą w dziedzinie. To, przy jakiej obniżce przychód jest największy, to już zadanie optymalizacyjne – patrz zadania optymalizacyjne.

Przykład 3 – rzut piłką. Piłkę wyrzucono pionowo w górę z wysokości $1{,}5$ m; jej wysokość w metrach po $t$ sekundach to $h(t) = -5t^2 + 20t + 1{,}5$ . Kiedy piłka jest na wysokości $16{,}5$ m?

-5t^2 + 20t + 1{,}5 = 16{,}5 \quad\Rightarrow\quad t^2 - 4t + 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = 1 \ \text{lub} \ t = 3

Oba rozwiązania mają sens fizyczny: w chwili $t = 1$ s piłka mija tę wysokość w drodze w górę, w chwili $t = 3$ s – spadając. Na drugim wykresie to dwa punkty przecięcia paraboli z poziomą prostą $h = 16{,}5$ . Piłka spada na ziemię, gdy $h(t) = 0$ dla $t > 0$ , czyli po około $4{,}07$ s; drugie rozwiązanie tego równania jest ujemne i odpada, bo czas liczymy od chwili rzutu.

Porównanie

	Model liniowy	Model kwadratowy
Nazwa po angielsku	linear model	quadratic model
Sygnał w treści	„za każdy…", stała zmiana na jednostkę	iloczyn dwóch zmieniających się wielkości, rzut, spadanie
Wzór	$f(x) = ax + b$	$f(x) = ax^2 + bx + c$
Wykres w kontekście	odcinek albo półprosta	fragment paraboli
Typowe pytanie	ile kosztuje, kiedy się zrówna	kiedy osiągnie daną wartość, kiedy zero, kiedy najwięcej

Model, w którym iloczyn dwóch wielkości jest stały ( $x \cdot y = a$ ), to proporcjonalność odwrotna – ma osobne hasło proporcjonalność odwrotna.

Typowe błędy

Zamienione współczynniki. Bańka waży $6{,}5$ kg, a litr mleka $1{,}03$ kg. Zapis $f(x) = 6{,}5x + 1{,}03$ znaczyłby, że pusta bańka waży $1{,}03$ kg, a każdy litr dokłada $6{,}5$ kg. Sprawdzenie: podstaw $x = 0$ – wynik musi być wartością „na starcie" z treści. Poprawnie $f(x) = 1{,}03x + 6{,}5$ .

Pominięta opłata stała. Przy taryfie „ $30$ zł abonamentu i $0{,}20$ zł za minutę" zapis $A(x) = 0{,}2x$ zaniża każdy rachunek o $30$ zł. Wyraz wolny pojawia się zawsze, gdy coś kosztuje albo waży już przy $x = 0$ .

Dziedzina wzięta z matematyki, a nie z treści. Wzór $P(x) = (24 - x)(300 + 20x)$ ma sens dla każdego $x$ rzeczywistego, ale kino nie ma więcej niż $500$ miejsc i nie daje obniżek o ułamek złotówki. Rozwiązanie spoza dziedziny – ujemny czas, obniżka o $12{,}5$ zł, $11$ litrów w bańce o pojemności $10$ – trzeba odrzucić i napisać dlaczego.

Odpowiedź na inne pytanie. Model liczy $x$ – na przykład kwotę obniżki albo liczbę podwyżek – a treść pyta o cenę. Po rozwiązaniu równania przeczytaj pytanie jeszcze raz i przelicz $x$ na to, o co pytano: obniżka o $9$ zł to bilet za $15$ zł.

Jednostki pomieszane w jednym wzorze. Prędkość w km/h i czas w minutach dają bzdurną drogę. Przed zapisaniem wzoru sprowadź wszystko do tych samych jednostek i zapisz je przy zmiennej („ $t$ – czas w godzinach").

Kierunek zmiany pomylony ze znakiem wartości. Masa bańki rośnie, gdy dolewamy mleka – funkcja jest rosnąca, bo $a = 1{,}03 > 0$ . To, że wartości są dodatnie, nic nie mówi o monotoniczności; o niej decyduje znak współczynnika przy $x$ .

Sprawdź się

Wypożyczalnia rowerów pobiera $12$ zł opłaty stałej i $2{,}50$ zł za każdą godzinę jazdy. Koszt wypożyczenia na $x$ godzin to $K(x) = 2{,}5x + 12$ . Uzupełnij tabelę.

Liczba godzin $x$	Koszt $K(x)$ w zł
0
2
4	22
10

Za $47$ zł można wypożyczyć rower na godzin.

W modelu $K(x) = 2{,}5x + 12$ funkcja $K$ jest , bo współczynnik przy $x$ jest dodatni.

Taryfa A kosztuje $30 + 0{,}2x$ zł, a taryfa B $0{,}5x$ zł, gdzie $x$ to liczba minut. Obie kosztują tyle samo przy $x =$ minutach.

Wysokość piłki w metrach to $h(t) = -5t^2 + 10t$ , gdzie $t$ to czas w sekundach. Po $1$ s piłka jest na wysokości m, a na ziemię spada w chwili $t =$ s.

Kino z przykładu 2 ma przychód $P(x) = (24 - x)(300 + 20x)$ . Przy obniżce o $2$ zł przychód wynosi zł.

Najczęściej zadawane pytania

Jak rozpoznać, czy sytuację opisuje funkcja liniowa, czy kwadratowa?

Funkcja liniowa pasuje, gdy wartość zmienia się o tyle samo przy każdym zwiększeniu $x$ o jeden – stała cena za minutę, stała masa litra, stała prędkość. Funkcja kwadratowa pojawia się, gdy mnożysz dwie wielkości, które obie zależą liniowo od $x$ (cena razy liczba klientów), albo w ruchu z przyspieszeniem, na przykład w rzucie pionowym. Na maturze wzór kwadratowy jest często podany w treści, a liniowy częściej trzeba zbudować samodzielnie.

Co oznaczają współczynniki

a

b

w modelu liniowym?

Wyraz wolny $b$ to wartość funkcji dla $x = 0$ – opłata startowa, abonament, masa pustego naczynia, położenie na starcie. Współczynnik $a$ to zmiana wartości przy zwiększeniu $x$ o jedną jednostkę – cena za minutę, masa litra, prędkość. Dodatnie $a$ oznacza, że wielkość rośnie, ujemne – że maleje.

Skąd wziąć dziedzinę funkcji w zadaniu z treścią?

Z ograniczeń opisanych w treści, nie ze wzoru. Czas i liczba produktów nie są ujemne, pojemność naczynia czy liczba miejsc wyznacza górną granicę, a liczba sztuk, pokoi czy podwyżek o pełną kwotę musi być całkowita. Gdy wynik obliczeń wypada poza dziedzinę, nie jest odpowiedzią na pytanie i trzeba go odrzucić z krótkim uzasadnieniem.

Dlaczego równanie z rzutu piłki ma dwa rozwiązania i które wybrać?

Parabola przecina poziomą prostą w dwóch punktach, bo piłka mija daną wysokość dwa razy: raz w drodze w górę, raz spadając. Jeśli pytanie brzmi „kiedy piłka jest na tej wysokości", obie chwile są odpowiedzią. Jeśli pytanie dotyczy upadku na ziemię, rozwiązanie ujemne odrzucasz, bo czas liczy się od momentu rzutu.

Czym różni się to hasło od zadań optymalizacyjnych?

Tutaj uczysz się budować wzór z opisu, ustalać dziedzinę i odczytywać wynik w kontekście – na przykład kiedy dwie oferty kosztują tyle samo albo kiedy piłka spada. Gdy całe zadanie sprowadza się do znalezienia wartości największej lub najmniejszej, korzystasz z wierzchołka paraboli i to omawia hasło o zadaniach optymalizacyjnych. W wielu zadaniach maturalnych oba etapy występują po kolei.

Jak odczytać z wykresu, która oferta jest tańsza?

Narysuj obie funkcje kosztu w jednym układzie współrzędnych i znajdź punkt przecięcia – tam oferty kosztują tyle samo. Na prawo od niego tańsza jest oferta, której prosta leży niżej, czyli ta o mniejszym współczynniku przy $x$ . Dokładną współrzędną punktu przecięcia zawsze potwierdź, rozwiązując równanie $f(x) = g(x)$ .

Komentarz Autora

Wzorów modeli nie ma na karcie „Wybrane wzory matematyczne". Postać $y = ax + b$ jest tam tylko w rozdziale „Geometria analityczna", a rozdział „Funkcja kwadratowa" podaje wzór na wierzchołek paraboli – przydaje się, gdy pytanie dotyczy wartości największej. Sam model z treści budujesz zawsze sam.

W sierpniu 2024 (poziom podstawowy, zadanie 11, trzy części po 1 punkt) pusta bańka o pojemności $10$ litrów waży $6{,}5$ kg, a litr mleka – $1{,}03$ kg; $f(x)$ to masa bańki z $x$ litrami mleka dla $x \in [0, 10]$ . W 11.1 stwierdzenia „funkcja $f$ jest malejąca" i „funkcja $f$ nie ma miejsc zerowych" to według klucza kolejno F i P. W 11.2 największa wartość funkcji to $16{,}8$ (odpowiedź A), bo $f(10) = 6{,}5 + 10{,}3$ . W 11.3 poprawny wzór to $f(x) = 1{,}03x + 6{,}5$ (odpowiedź D); wśród dystraktorów jest wzór z zamienionymi współczynnikami. Klucz przypisuje to zadanie między innymi wymaganiu V.11 – wykorzystanie własności funkcji liniowej w kontekście praktycznym.

W maju 2026 (poziom podstawowy, zadanie 33) wysokość piłeczki wyrzuconej z ziemi opisuje wzór $h(t) = -4{,}9t^2 + 14{,}7t$ . W 33.1 (za 1 punkt, wymaganie V.11) piłeczka uderza w ziemię w chwili $t = 3$ s – to dodatnie miejsce zerowe. W 33.2 największą wysokość osiąga w chwili $t = 1{,}5$ s – tę część klucz zalicza już do zadań optymalizacyjnych.

W teście diagnostycznym z września 2022 (poziom podstawowy, zadanie 12) głębokość basenu długości $25$ m opisano dwoma wzorami liniowymi: $ax + b$ dla $0 \leq x \leq 15$ i $0{,}18x - 0{,}9$ dla $15 \leq x \leq 25$ . Największa głębokość to $y(25) = 3{,}6$ m (12.1, odpowiedź B), a w 12.2 (za 2 punkty) z warunków $y(0) = 1{,}2$ i zgodności obu wzorów dla $x = 15$ wychodzi $b = 1{,}2$ i $a = 0{,}04$ .

Zadania typu „hotel podnosi cenę, przychód ma być największy" (sierpień 2025, zadanie 31; czerwiec 2024, zadanie 32) i „zysk zakładu ma być największy" (sierpień 2023, zadanie 33) CKE zalicza do wymagania XIII – omawia je hasło zadania optymalizacyjne.

Rada: zanim zaczniesz liczyć, zapisz jednym zdaniem, co oznacza $x$ i w jakich jest jednostkach, a obok – dziedzinę. Te dwie linijki kosztują pół minuty, a chronią przed dwoma najdroższymi błędami: odpowiedzią na inne pytanie i rozwiązaniem, które nie ma sensu w treści.

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Funkcja kwadratowaFunkcja liniowa i kwadratowa Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowejFunkcja liniowa i kwadratowa Wierzchołek paraboli i oś symetriiFunkcja liniowa i kwadratowa Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowejFunkcja liniowa i kwadratowa Zadania optymalizacyjne z funkcją kwadratowąFunkcja liniowa i kwadratowa Funkcja liniowaFunkcja liniowa i kwadratowa