Wartości funkcji trygonometrycznych – kąty 30°, 45°, 60° i kąty rozwarte

Dla trzech kątów ostrych – $30°$, $45°$ i $60°$ – sinus, cosinus i tangens mają dokładne wartości, zapisywane przy pomocy pierwiastków. Razem z kątami $0°$ i $90°$ tworzą tabelę, którą masz na karcie „Wybrane wzory matematyczne" (rozdział „Trygonometria"). Na maturze nie liczysz ich od nowa – odczytujesz z karty. Skąd się biorą, wyjaśnia hasło trójkąty szczególne: to połowa trójkąta równobocznego (kąty $30°$ i $60°$) oraz połowa kwadratu (kąt $45°$). Samą definicję sinusa, cosinusa i tangensa jako stosunków boków opisuje hasło funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym; tu z niej korzystamy.

Drugi temat to kąty rozwarte, czyli od $90°$ do $180°$. W trójkącie prostokątnym takiego kąta nie ma, więc potrzebna jest szersza definicja. Umieszczamy kąt w układzie współrzędnych: wierzchołek w punkcie $O(0, 0)$, jedno ramię na dodatniej półosi $Ox$, drugie przechodzi przez punkt $M(x, y)$. Odległość $r = \lvert OM \rvert$ jest zawsze dodatnia i wtedy:

• $\sin\alpha = \frac{y}{r}$, $\cos\alpha = \frac{x}{r}$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}$ (dla $x \neq 0$),
• punkt może leżeć w dowolnym miejscu drugiego ramienia – stosunki $\frac{y}{r}$, $\frac{x}{r}$ i $\frac{y}{x}$ nie zależą od tego, jak daleko od $O$ go wybierzesz,
• dla kąta rozwartego $x < 0$ i $y > 0$, więc sinus jest dodatni, a cosinus i tangens ujemne,
• kąt rozwarty $\alpha$ ma te same wartości co kąt ostry $180° - \alpha$, tylko z innym znakiem cosinusa i tangensa.

Ostatnia zasada wynika z symetrii. Punkt $M'(-x, y)$ leży symetrycznie do $M(x, y)$ względem osi $Oy$, ma to samo $r$, więc $\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$, a $x$ zmienia znak – i razem z nim cosinus oraz tangens. Te trzy równości są na karcie wzorów.

Z tej samej tabeli korzysta się też „w drugą stronę": gdy znasz wartość funkcji, odczytujesz kąt. Dla kątów spoza tabeli służy tablica wartości funkcji trygonometrycznych z karty (rozdział 17), która podaje sinus, cosinus i tangens kątów od $0°$ do $90°$ co jeden stopień.

Przykład 1 – wartość wyrażenia. Oblicz $\sin^{2}60° + \operatorname{tg}45° \cdot \cos60°$.

Odczytujemy z tabeli: $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\operatorname{tg}45° = 1$, $\cos 60° = \frac{1}{2}$. Pamiętaj, że $\sin^{2}60°$ to kwadrat liczby $\sin 60°$:

Przykład 2 – kąt rozwarty z punktu na ramieniu. Drugie ramię kąta $\alpha$ przechodzi przez punkt $M(-\sqrt{3}, 1)$. Podaj miarę kąta $\alpha$.

Najpierw odległość od początku układu: $r = \sqrt{(-\sqrt{3})^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4} = 2$. Stąd

Sinus jest dodatni, a cosinus ujemny, więc kąt jest rozwarty. Sinus równy $\frac{1}{2}$ ma kąt ostry $30°$, więc $\alpha = 180° - 30° = 150°$. Sprawdzenie w tabeli: $\cos150° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ – zgadza się.

Przykład 3 – kąt z tablicy wartości. Kąt $\alpha$ jest rozwarty i $\sin\alpha \approx 0{,}8090$. Podaj $\alpha$ oraz przybliżone $\cos\alpha$.

W tablicy z karty szukamy w kolumnie sinusa liczby $0{,}8090$ – leży w wierszu $54°$. To kąt ostry, a nas interesuje rozwarty o tym samym sinusie, czyli $180° - 54° = 126°$. Cosinus kąta rozwartego jest ujemny: z tablicy $\cos54° \approx 0{,}5878$, więc $\cos126° \approx -0{,}5878$.

Tabela zbiera w jednym miejscu rzeczy, które najłatwiej pomylić: który z trzech stosunków jest którą funkcją i jaki ma znak po przejściu do kąta rozwartego. Zależność między nimi, czyli $\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$, opisuje hasło jedynka trygonometryczna.

Zamienione wartości sinusa i cosinusa dla $30°$ i $60°$. Uczeń pisze $\sin30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Wartości $\frac{1}{2}$ i $\frac{\sqrt{3}}{2}$ są dobrze zapamiętane, ale przypisane do złego kąta. Sprawdź intuicją: sinus rośnie od $0$ do $1$, więc dla mniejszego kąta $30°$ jest mniejszy – $\sin30° = \frac{1}{2}$, a $\sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87$. Cosinus zachowuje się odwrotnie.

Sinus jako funkcja „liniowa". Zapis $\sin60° = 2\sin30°$ daje $\sqrt{3}/2 = 1$, co jest fałszem – lewa strona to około $0{,}87$, prawa to $1$. Funkcje trygonometryczne nie rozdzielają się na sumę ani nie wychodzą ze współczynnikiem przed nawias: $\sin30° + \sin30° = 1$, ale $\sin60° \neq 1$.

Znak cosinusa dla kąta rozwartego. Zapis $\cos120° = \frac{1}{2}$ pochodzi z mechanicznego przeniesienia wartości kąta $60°$. Poprawnie: $\cos120° = \cos(180° - 60°) = -\cos60° = -\frac{1}{2}$. Przed podaniem wyniku zapytaj siebie, w której ćwiartce leży kąt – dla rozwartego $x < 0$, więc cosinus i tangens muszą wyjść ujemne.

Odwrócony iloraz w tangensie z punktu. Dla punktu $M(-3, 1)$ uczeń liczy $\operatorname{tg}\alpha = \frac{x}{y} = -3$. Tangens to $\frac{y}{x}$, czyli $\frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$. Skojarzenie, które pomaga: sinus ma $y$ w liczniku, tangens także – cosinus jest jedyny z $x$.

Zamiast $r$ w mianowniku – $x$ albo $y$. Dla $M(-3, 1)$ zapis $\sin\alpha = \frac{1}{3}$ jest błędny, bo mianownikiem jest odległość $r = \sqrt{(-3)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}$. Poprawnie: $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$ i $\cos\alpha = -\frac{3}{\sqrt{10}}$. Tylko tangens obywa się bez $r$.

Pominięty drugi kąt przy odczycie z wartości sinusa. Z równania $\sin\alpha = \frac{1}{2}$ dla $\alpha \in (0°, 180°)$ wychodzą dwa kąty: $30°$ i $150°$. Kto zapisze tylko $30°$, gubi rozwiązanie. Cosinus i tangens takiego problemu nie mają – ich wartość określa kąt z przedziału $(0°, 180°)$ jednoznacznie.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: