Długość i środek odcinka w układzie współrzędnych

Gdy znamy współrzędne dwóch punktów, możemy policzyć dwie rzeczy: jak daleko są od siebie (długość odcinka $AB$) i gdzie leży punkt dokładnie pośrodku (środek odcinka). Oba wzory są prostymi zastosowaniami tego, co już znasz: długość to twierdzenie Pitagorasa w układzie współrzędnych, a środek to średnia arytmetyczna współrzędnych.

Skąd wzór na długość? Poziome przesunięcie od $A$ do $B$ wynosi $x_B - x_A$, pionowe – $y_B - y_A$. Te dwie liczby to przyprostokątne trójkąta prostokątnego, a odcinek $AB$ jest jego przeciwprostokątną. Stąd pierwiastek z sumy kwadratów różnic. Środek odcinka to punkt, którego każda współrzędna leży w połowie drogi między współrzędnymi końców – bierzemy więc średnią osobno dla $x$ i osobno dla $y$.

Na maturze te dwa wzory rzadko występują same. Prawie zawsze są pierwszym krokiem w zadaniu o figurze:

• kwadrat – z dwóch przeciwległych wierzchołków liczysz przekątną, a z niej bok i pole,
• trójkąt równoboczny – długość boku z dwóch wierzchołków, potem pole,
• równoległobok – przekątne dzielą się na połowy, więc punkt ich przecięcia jest środkiem każdej z nich,
• trójkąt prostokątny – środek okręgu opisanego leży w środku przeciwprostokątnej.

Zasada, która łączy te zadania: najpierw przepisz z treści, co wiesz o punktach (który jest środkiem, który końcem, który wierzchołkiem), i dopiero wtedy wybierz wzór. Równanie symetralnej odcinka (prosta przez środek, prostopadła do odcinka) to już temat hasła położenie prostych, a równanie okręgu zbudowanego na odcinku jako średnicy – hasła równanie okręgu.

Przykład 1 – długość i środek. Dane są punkty $A = (1, 2)$ i $B = (7, 6)$. Oblicz długość odcinka $AB$ i współrzędne jego środka.

Przesunięcie poziome wynosi $7 - 1 = 6$, pionowe $6 - 2 = 4$. Podstawiamy do wzoru:

Środek to średnia współrzędnych:

Punkty z tego przykładu widać na wykresie powyżej.

Przykład 2 – brakujący koniec odcinka. Punkt $S = (-1, 3)$ jest środkiem odcinka $AB$, gdzie $A = (2, -5)$. Wyznacz $B$.

Jeśli $S$ jest średnią końców, to $x_S = \frac{x_A + x_B}{2}$, więc $x_B = 2x_S - x_A$. Liczymy osobno obie współrzędne:

Zatem $B = (-4, 11)$. Sprawdzenie: średnia $\frac{2 + (-4)}{2} = -1$ i $\frac{-5 + 11}{2} = 3$, czyli dostajemy $S$.

Przykład 3 – trójkąt prostokątny i okrąg opisany. Punkty $A = (-1, -2)$, $B = (3, 1)$, $C = (0, 5)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego z kątem prostym przy $B$. Podaj środek okręgu opisanego i jego promień.

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej, a tą jest odcinek $AC$ (leży naprzeciw kąta prostego). Stąd:

Promień to połowa przeciwprostokątnej, a jej kwadrat jest łatwy do policzenia: $\lvert AC \rvert^2 = 1^2 + 7^2 = 50$. Zatem $R^2 = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$, czyli $R = \frac{5\sqrt{2}}{2}$. Kontrola: $\lvert SB \rvert^2 = \left(3 + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(1 - \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{49}{4} + \frac{1}{4} = \frac{25}{2}$ – punkt $B$ leży na okręgu o środku $S$, jak powinien.

Te cztery pojęcia używają tych samych różnic współrzędnych, ale znaczą co innego. Wektory omawia hasło wektory, a odległość punktu od prostej – odległość punktu od prostej.

Brak pierwiastka albo kwadratu. Dla $A = (1, 2)$ i $B = (7, 6)$ uczeń zostawia $36 + 16 = 52$ jako długość albo liczy $\sqrt{6 + 4}$ bez podnoszenia do kwadratu. Długość to $\sqrt{52}$. Pilnuj, że pod pierwiastkiem stoją kwadraty różnic, a pierwiastek obejmuje całą sumę.

Zły znak przy ujemnej współrzędnej. Dla $A = (-3, 1)$ i $B = (2, -4)$ różnica $x_B - x_A$ to $2 - (-3) = 5$, a nie $-1$. Zawsze wpisuj ujemną współrzędną w nawiasie: $(2 - (-3))^2 + (-4 - 1)^2 = 25 + 25 = 50$.

Różnica zamiast sumy w środku odcinka. Wzór na środek to średnia, więc współrzędne się dodaje, a dopiero potem dzieli przez $2$. Dla $A = (2, -5)$ i $B = (-4, 11)$ środek ma współrzędne $(-1, 3)$; zapis $\frac{x_B - x_A}{2}$ dałby $-3$, czyli połowę przesunięcia, a nie położenie środka.

Przekątna kwadratu potraktowana jak bok. W zadaniu z czerwca 2023 (przeciwległe wierzchołki $A = (-1, 5)$ i $C = (3, -3)$) jedna z odpowiedzi to $80$, czyli właśnie $d^2$. Pole kwadratu to połowa tej liczby: $\frac{d^2}{2} = 40$. Kto zatrzyma się na $\lvert AC \rvert^2$, wybierze wynik za duży dwukrotnie. Gdy dane są przeciwległe wierzchołki, szukany bok to $\frac{d}{\sqrt{2}}$, a nie $d$.

Długość boku zamiast jej kwadratu w polu trójkąta równobocznego. Dla boku $\lvert KL \rvert = 6\sqrt{2}$ wzór $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ wymaga $a^2 = 72$. Podstawienie $a = 6\sqrt{2}$ bez kwadratu daje $\frac{6\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$, czyli liczbę, której nie ma wśród odpowiedzi w zadaniu zamkniętym. To dobra wskazówka, że gdzieś zgubiło się podnoszenie do kwadratu.

Przekątne równoległoboku uznane za prostopadłe. Sprawozdanie CKE z matury 2024 opisuje zdającego, który w zadaniu o równoległoboku przyjął, że przekątne przecinają się pod kątem prostym. To prawda tylko dla rombu (i kwadratu). W każdym równoległoboku przekątne dzielą się na połowy – i tylko ta własność jest do zadania potrzebna.

Środek dowolnego boku zamiast przeciwprostokątnej. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku boku naprzeciw kąta prostego. Zanim policzysz środek, ustal, przy którym wierzchołku jest kąt prosty: sprawdź, czy suma kwadratów dwóch krótszych boków równa się kwadratowi najdłuższego.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: