Jak znaleźć punkt B, gdy znam A i wektor AB?

Dodaj współrzędne wektora do współrzędnych A: B = (x_A + a,\ y_A + b) dla AB = [a, b]. Dla A = (1, 5) i AB = [4, -3] mamy B = (5, 2). To przekształcenie odwrotne do liczenia współrzędnych wektora.

Wszystkie zagadnienia: Geometria i trygonometria

średni matura rozszerzona z matematykiwektorywspółrzędne wektoradziałania na wektorach

Wektory na płaszczyźnie

Q: Jak sprawdzić, czy dwa wektory są równe?

Porównaj obie współrzędne. u = [u_1, u_2] jest równy v = [v_1, v_2] dokładnie wtedy, gdy u_1 = v_1 i u_2 = v_2. Dlatego warunek wektorowy w zadaniu zamienia się na dwa równania, które rozwiązujesz osobno, a niewiadome z nich wychodzą jednoznacznie.

Q: Co oznacza warunek AM = kAC?

Punkt M leży na prostej AC. Dla 0 1 leży za punktem C, a dla k < 0 po drugiej stronie A. Współrzędne M dostajesz z M = A + k · AC.

Q: Czy długość wektora może być ujemna?

Nie. Długość √(u_1^2 + u_2^2) jest nieujemna, a równa 0 tylko dla wektora zerowego [0, 0]. Mnożenie wektora przez liczbę ujemną zmienia jego zwrot, ale długość mnoży się przez wartość bezwzględną tej liczby: | au | = | a | · | u |.

Opis

Wektor na płaszczyźnie to uporządkowana para liczb, która mówi, o ile przesunąć się w prawo (lub w lewo) i o ile w górę (lub w dół). Zapisujemy go w nawiasach kwadratowych: $\vec{u} = [4, 3]$ oznacza „4 w prawo i 3 w górę". Nawiasy kwadratowe odróżniają wektor od punktu: $(4, 3)$ to miejsce na płaszczyźnie, a $[4, 3]$ to przesunięcie, które można zacząć w dowolnym miejscu.

Wektor $\overrightarrow{AB}$ prowadzi od punktu $A$ do punktu $B$ . Jego współrzędne to współrzędne końca minus współrzędne początku. Dwa wektory są równe, gdy mają równe obie współrzędne, nawet jeśli zaczynają się w różnych punktach. Wektory $\vec{u}$ i $-\vec{u}$ nazywamy przeciwnymi: mają te same długości i przeciwne współrzędne.

Na tym poziomie potrzebujesz czterech umiejętności:

policzyć współrzędne $\overrightarrow{AB}$ z punktów $A$ i $B$ (i odwrotnie – znaleźć punkt, gdy znasz wektor),
policzyć długość wektora,
dodać wektory i pomnożyć wektor przez liczbę,
zamienić warunek w treści („ $AM$ to jedna trzecia $AC$ ", „ $ABCD$ jest równoległobokiem") na równość wektorów.

Hasło dotyczy wyłącznie poziomu rozszerzonego. Iloczyn skalarny wektorów jest poza wymaganiami egzaminu 2026/2027, więc go tu nie omawiamy. Wzór na długość wektora to ten sam wzór co na długość odcinka, opisany w haśle odległość i środek odcinka.

Wzory

Współrzędne wektora karta CKE

\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A]

Koniec minus początek. Wektor

\overrightarrow{BA}

ma przeciwne współrzędne.

Suma wektorów karta CKE

\vec{u} + \vec{v} = [u_1 + v_1,\ u_2 + v_2]

Dodajemy współrzędne o tych samych numerach. Odejmowanie to dodanie wektora przeciwnego.

Mnożenie przez liczbę karta CKE

a \cdot \vec{u} = [a \cdot u_1,\ a \cdot u_2]

Dla

a < 0

wektor zmienia zwrot na przeciwny.

Długość wektora karta CKE

\lvert \vec{u} \rvert = \sqrt{u_1^{2} + u_2^{2}}

Zawsze liczba nieujemna.

Wektory równe

\vec{u} = \vec{v} \iff u_1 = v_1 \ \text{oraz} \ u_2 = v_2

Równość wektorów to dwie równości liczb.

Punkt na odcinku

\overrightarrow{AM} = k \cdot \overrightarrow{AC}

Dla

0 < k < 1

punkt

M

leży wewnątrz odcinka

AC

, w

k

-tej części jego długości od

A

. Współrzędne:

M = A + k \cdot \overrightarrow{AC}

Równoległobok

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

W równoległoboku

ABCD

przeciwległe boki są równymi wektorami. Stąd

D = A + C - B

Tabela

Wektor

\overrightarrow{AB}

dla

A = (2, 1)

B = (7, 13)

oraz działania na nim

Co liczymy	Zapis	Wynik
współrzędne $\overrightarrow{AB}$	$[7 - 2,\ 13 - 1]$	$[5, 12]$
współrzędne $\overrightarrow{BA}$	$[2 - 7,\ 1 - 13]$	$[-5, -12]$
długość $\lvert \overrightarrow{AB} \rvert$	$\sqrt{5^{2} + 12^{2}}$	$13$
$2 \cdot \overrightarrow{AB}$	$[2 \cdot 5,\ 2 \cdot 12]$	$[10, 24]$
$-\overrightarrow{AB}$	$[-5, -12]$	to samo co $\overrightarrow{BA}$
długość $\lvert 2 \cdot \overrightarrow{AB} \rvert$	$\sqrt{10^{2} + 24^{2}}$	$26$

Przykład

Przykład 1 – długość wektora z działań. Dane są wektory $\vec{u} = [4, 2]$ i $\vec{v} = [3, -8]$ . Oblicz długość wektora $2\vec{u} - \vec{v}$ .

Najpierw współrzędne, dopiero potem długość:

2\vec{u} - \vec{v} = [2 \cdot 4 - 3,\ 2 \cdot 2 - (-8)] = [5, 12]

\lvert 2\vec{u} - \vec{v} \rvert = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt{169} = 13

Przykład 2 – punkt dzielący odcinek. Dane są punkty $A = (1, 2)$ i $C = (10, 8)$ . Punkt $M$ leży na odcinku $AC$ i spełnia $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ . Wyznacz współrzędne $M$ .

Wektor $\overrightarrow{AC} = [10 - 1,\ 8 - 2] = [9, 6]$ , więc $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3} \cdot [9, 6] = [3, 2]$ . Współrzędne $M$ to współrzędne $A$ powiększone o ten wektor:

M = (1 + 3,\ 2 + 2) = (4, 4)

Przykład 3 – czwarty wierzchołek równoległoboku. Punkty $A = (0, 0)$ , $B = (6, 1)$ , $C = (8, 5)$ są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$ . Wyznacz $D$ .

W równoległoboku $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ . Mamy $\overrightarrow{AB} = [6, 1]$ , a $D = (x, y)$ daje $\overrightarrow{DC} = [8 - x,\ 5 - y]$ . Porównujemy współrzędne: $8 - x = 6$ i $5 - y = 1$ , więc $x = 2$ , $y = 4$ i $D = (2, 4)$ . Sprawdzenie: $\overrightarrow{AD} = [2, 4]$ i $\overrightarrow{BC} = [8 - 6,\ 5 - 1] = [2, 4]$ – drugie dwa boki też są równe.

Typowe błędy

Odejmowanie w złą stronę. Dla $A = (2, 1)$ i $B = (7, 13)$ uczeń liczy $\overrightarrow{AB} = [2 - 7,\ 1 - 13] = [-5, -12]$ , czyli wektor $\overrightarrow{BA}$ . Wynik ma właściwą długość, ale przeciwny zwrot, więc dalsze kroki (punkt $M$ , wierzchołek $D$ ) wychodzą po złej stronie. Zasada: koniec minus początek, a kolejność liter w $\overrightarrow{AB}$ mówi, który jest który.

Długość bez pierwiastka albo ze złym znakiem. Zapis $\lvert [5, 12] \rvert = 5 + 12 = 17$ albo $5^{2} + 12^{2} = 169$ to dwa częste skróty. Długość to $\sqrt{5^{2} + 12^{2}} = 13$ . Przy mnożeniu przez liczbę ujemną długość też nie jest ujemna: $\lvert -3\vec{u} \rvert = 3 \lvert \vec{u} \rvert$ , a nie $-3 \lvert \vec{u} \rvert$ .

Długość sumy jako suma długości. Dla $\vec{u} = [3, 0]$ i $\vec{v} = [0, 4]$ mamy $\lvert \vec{u} + \vec{v} \rvert = \lvert [3, 4] \rvert = 5$ , a nie $3 + 4 = 7$ . Najpierw dodaj współrzędne, dopiero potem licz długość.

Wektor wzięty za punkt. Warunek $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ nie oznacza, że $M = \frac{1}{3}C$ . Wektor $\overrightarrow{AM}$ to przesunięcie od $A$ , więc $M = A + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ . Podobnie $\overrightarrow{DC} = [x_C - x_D,\ y_C - y_D]$ – niewiadomy punkt $D$ jest początkiem wektora, więc odejmujemy go na końcu; pomylenie kolejności daje inny punkt niż szukany.

Sprawdź się

Dla punktów $P = (-1, 2)$ i $Q = (5, -6)$ uzupełnij tabelę.

Co liczymy	Wynik
pierwsza współrzędna $\overrightarrow{PQ}$
druga współrzędna $\overrightarrow{PQ}$

Jeżeli $\vec{u} = [2, -3]$ i $\vec{v} = [-1, 4]$ , to pierwsza współrzędna wektora $3\vec{u} - \vec{v}$ jest równa , a druga .

Dla $\vec{u} = [3, 4]$ długość wektora $-3\vec{u}$ wynosi .

Wektor $\overrightarrow{AB} = [4, -3]$ ma początek w $A = (1, 5)$ . Druga współrzędna punktu $B$ jest równa .

Wektory $[m, 3]$ i $[-2, n]$ są przeciwne dla $m =$ i $n =$ .

Najczęściej zadawane pytania

Czym różni się wektor

[4, 3]

od punktu

(4, 3)

Punkt wskazuje konkretne miejsce na płaszczyźnie. Wektor opisuje przesunięcie: „4 w prawo, 3 w górę" – od dowolnego punktu. Wektor $[4, 3]$ jest równy wektorowi $\overrightarrow{AB}$ dla $A = (0, 0)$ , $B = (4, 3)$ , ale również dla $A = (1, 1)$ , $B = (5, 4)$ .

Jak sprawdzić, czy dwa wektory są równe?

Porównaj obie współrzędne. $\vec{u} = [u_1, u_2]$ jest równy $\vec{v} = [v_1, v_2]$ dokładnie wtedy, gdy $u_1 = v_1$ i $u_2 = v_2$ . Dlatego warunek wektorowy w zadaniu zamienia się na dwa równania, które rozwiązujesz osobno, a niewiadome z nich wychodzą jednoznacznie.

Jak znaleźć punkt

B

, gdy znam

A

i wektor

\overrightarrow{AB}

Dodaj współrzędne wektora do współrzędnych $A$ : $B = (x_A + a,\ y_A + b)$ dla $\overrightarrow{AB} = [a, b]$ . Dla $A = (1, 5)$ i $\overrightarrow{AB} = [4, -3]$ mamy $B = (5, 2)$ . To przekształcenie odwrotne do liczenia współrzędnych wektora.

Co oznacza warunek

\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AC}

Punkt $M$ leży na prostej $AC$ . Dla $0 < k < 1$ leży na odcinku $AC$ , w odległości $k \cdot \lvert AC \rvert$ od $A$ ; dla $k = \frac{1}{2}$ jest środkiem odcinka. Dla $k > 1$ leży za punktem $C$ , a dla $k < 0$ po drugiej stronie $A$ . Współrzędne $M$ dostajesz z $M = A + k \cdot \overrightarrow{AC}$ .

Czy długość wektora może być ujemna?

Nie. Długość $\sqrt{u_1^{2} + u_2^{2}}$ jest nieujemna, a równa $0$ tylko dla wektora zerowego $[0, 0]$ . Mnożenie wektora przez liczbę ujemną zmienia jego zwrot, ale długość mnoży się przez wartość bezwzględną tej liczby: $\lvert a\vec{u} \rvert = \lvert a \rvert \cdot \lvert \vec{u} \rvert$ .

Komentarz Autora

Wzory na współrzędne wektora, sumę, mnożenie przez liczbę i długość są na karcie „Wybrane wzory matematyczne" (rozdział 11, „Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej"). Wzoru na punkt dzielący odcinek (ani warunku na równoległobok) na karcie nie ma – wynikają z definicji wektora.

W arkuszach Formuły 2023 zebranych na portalu zadania na wektory występują w rozszerzeniu jako część większych zadań z geometrii analitycznej, a nie jako osobny temat. Te zadania mają inne domy: prostą z parabolą lub okręgiem omawia hasło układ równań liniowy i kwadratowy, a prostopadłość i równoległość – położenie prostych. Czyste zadania na wektory są w arkuszach rozszerzonych starszej formuły. W maju 2023 (poziom rozszerzony, arkusz w formule 2015, zadanie 2, zamknięte) dane są $\vec{u} = [4, -5]$ i $\vec{v} = [-1, -5]$ , a pytanie dotyczy długości $\vec{u} - 4\vec{v} = [8, 15]$ – odpowiedź $17$ (C). W czerwcu 2022 (poziom rozszerzony, zadanie 3) suma wektorów $[2 + 2m,\ \frac{2}{3}n + 1]$ i $[n + 1,\ m + 2]$ ma być wektorem zerowym, co daje $m = 3$ i $n = -9$ (C). W maju 2017 (zadanie 4) dla $B = (-4, 7)$ i $\vec{u} = [-3, 5]$ szukano punktu $A$ z warunkiem $\overrightarrow{AB} = -3\vec{u}$ – odpowiedź $A = (-13, 22)$ (B).

Informator CKE o egzaminie na poziomie rozszerzonym (od roku szkolnego 2024/2025) zawiera zadanie 24 za 4 punkty: w równoległoboku $ABCD$ dane są $\overrightarrow{BD} = [-21, -7]$ i $\overrightarrow{DC} = [15, 8]$ i trzeba obliczyć pole. Pierwszy krok w rozwiązaniu z informatora to wektory: $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC} = [-6, 1]$ . Pole równoległoboku wynosi $63$ . Do obliczenia pola z samych współrzędnych służy hasło pole trójkąta.

Zadania z wektorami w kluczu opłaca się zaczynać od zapisania współrzędnych każdego wektora z treści. Dopiero gdy masz je wszystkie, podstawiasz do działań – błąd kolejności w odejmowaniu wychodzi wtedy od razu.

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Długość i środek odcinka w układzie współrzędnychGeometria analityczna Odległość punktu od prostejGeometria analityczna Prosta i okrąg – punkty wspólneGeometria analityczna Proste równoległe i prostopadłe – punkt przecięciaGeometria analityczna Równanie okręguGeometria analityczna Równanie prostejGeometria analityczna