Wszystkie zagadnienia: Liczby i algebra

średni matura rozszerzona z matematykiukłady równańmetoda podstawianiaprosta i parabola

Układ równań liniowego i kwadratowego

Q: Z której niewiadomej wyznaczać, żeby podstawić?

Z równania liniowego i najlepiej tę niewiadomą, przy której stoi współczynnik 1 albo -1, na przykład y = 8 - 2x. Wstawiasz ją do równania kwadratowego, bo wtedy zostaje jedno równanie z jedną niewiadomą. Wyznaczanie niewiadomej z równania kwadratowego wprowadza pierwiastek i dwa znaki, a to niepotrzebnie komplikuje rachunek.

Q: Ile rozwiązań może mieć układ prostej i paraboli albo okręgu?

Najwyżej dwa, bo po podstawieniu dostajesz równanie stopnia drugiego, które ma co najwyżej dwa pierwiastki. Zero, jedno albo dwa rozwiązania odpowiadają znakowi wyróżnika Δ tego równania: ujemny, równy zero, dodatni.

Q: Co zrobić, gdy prosta jest pionowa?

Prosta x = c nie ma postaci y = mx + n. Wstaw x = c do równania kwadratowego i rozwiąż je względem y. Dla okręgu x^2 + y^2 = 25 i prostej x = 3 dostajesz y^2 = 16, czyli punkty (3, 4) i (3, -4). Dla paraboli y = ax^2 + bx + c prosta pionowa daje zawsze dokładnie jeden punkt wspólny.

Q: Czy metoda działa też dla hiperboli?

Tak, tylko trzeba pamiętać o dziedzinie. W układzie y = 6/x, y = x + 1 mnożysz przez x (przy x ≠ 0) i dostajesz x^2 + x - 6 = 0, czyli x = -3 lub x = 2, a stąd punkty (-3, -2) i (2, 3). Hiperbola jest jednak poza zakresem tego hasła – wymagania egzaminu mówią o prostej z okręgiem i prostej z parabolą.

Q: Czym różni się ten układ od układu dwóch okręgów?

Przy prostej i krzywej podstawiasz wprost. Przy dwóch okręgach oba równania są kwadratowe, więc najpierw odejmujesz je stronami, żeby dostać równanie prostej, a dalej postępujesz jak tutaj. Tę metodę opisuje hasło układ równań kwadratowych.

Opis

Układ liniowo-kwadratowy to dwa równania z niewiadomymi $x$ i $y$ : jedno pierwszego stopnia (prosta), drugie drugiego stopnia – najczęściej równanie paraboli $y = ax^2 + bx + c$ albo okręgu $(x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2$ . Rozwiązaniem jest para liczb $(x, y)$ , która spełnia oba równania naraz. Geometrycznie to punkty wspólne prostej i krzywej, więc taki układ pojawia się w geometrii analitycznej zawsze wtedy, gdy trzeba znaleźć punkty przecięcia.

Metoda jest zawsze ta sama – podstawianie, znane z układu równań liniowych:

z równania liniowego wyznaczasz jedną niewiadomą, np. $y = mx + n$ ,
wstawiasz to wyrażenie do równania kwadratowego i dostajesz jedno równanie kwadratowe z jedną niewiadomą $x$ ,
rozwiązujesz je (równanie kwadratowe), a każde $x$ wstawiasz z powrotem do równania liniowego, żeby dostać $y$ .

Liczba rozwiązań układu to liczba pierwiastków tego równania, więc rozstrzyga ją wyróżnik $\Delta$ : dla $\Delta > 0$ prosta i krzywa mają dwa punkty wspólne, dla $\Delta = 0$ jeden (prosta styka się z krzywą), dla $\Delta < 0$ żadnego. Gdy prosta jest pionowa ( $x = c$ ), nie ma postaci $y = mx + n$ – wtedy podstawiasz $x = c$ do równania kwadratowego i liczysz $y$ . Zwykły układ dwóch prostych (bez równania kwadratowego) opisuje hasło interpretacja geometryczna układu.

Wzory

Prosta i parabola

ax^2 + (b - m)x + (c - n) = 0

Wynik podstawienia

y = mx + n

y = ax^2 + bx + c

. Odejmujemy od siebie prawe strony.

Prosta i okrąg

(1 + m^2)x^2 + 2\bigl(m(n - q) - p\bigr)x + p^2 + (n - q)^2 - r^2 = 0

Wynik podstawienia

y = mx + n

do okręgu o środku

(p, q)

i promieniu

r

. Współczynnik przy

x^2

1 + m^2

, nie

1

Wyróżnik karta CKE

\Delta = b^2 - 4ac

Liczony dla równania po podstawieniu, nie dla wyjściowej paraboli.

Liczba rozwiązań układu karta CKE

\Delta > 0 \Rightarrow 2,\quad \Delta = 0 \Rightarrow 1,\quad \Delta < 0 \Rightarrow 0

Liczba miejsc zerowych zależy od

\Delta

(rozdział 7 karty). Tu: liczba punktów wspólnych prostej

y = mx + n

z krzywą.

Równanie okręgu karta CKE

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Środek

(a, b)

, promień

r > 0

. Szerzej: równanie okręgu.

Wykres

Parabola

f(x) = x^2 - 2x - 3

i trzy proste: dwa punkty wspólne, jeden i żadnego

y = x^2 - 2x - 3

y = x + 1

(

\Delta = 25

)

y = -4

(

\Delta = 0

)

y = -6

(

\Delta = -8

)

Przykład

Przykład 1 – prosta i parabola. Rozwiąż układ równań $y = x^2 - 4x + 5$ i $2x + y = 8$ .

Z drugiego równania $y = 8 - 2x$ . Wstawiamy do pierwszego i przenosimy wszystko na jedną stronę:

8 - 2x = x^2 - 4x + 5 \quad\Rightarrow\quad x^2 - 2x - 3 = 0

Tu $\Delta = 4 + 12 = 16$ , więc $x = -1$ lub $x = 3$ . Drugą współrzędną liczymy z prostej: $y = 8 + 2 = 10$ oraz $y = 8 - 6 = 2$ .

(x, y) = (-1, 10) \quad\text{lub}\quad (x, y) = (3, 2)

Przykład 2 – prosta i okrąg. Znajdź punkty wspólne okręgu $x^2 + y^2 = 25$ i prostej $x + y = 7$ .

Z prostej $y = 7 - x$ . Podstawiamy do okręgu i dostajemy równanie, w którym współczynnik przy $x^2$ wynosi $2$ :

x^2 + (7 - x)^2 = 25 \quad\Rightarrow\quad 2x^2 - 14x + 24 = 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 - 7x + 12 = 0

Stąd $x = 3$ lub $x = 4$ , a $y = 7 - x$ daje $y = 4$ oraz $y = 3$ . Punkty wspólne: $(3, 4)$ i $(4, 3)$ . Oba leżą na okręgu, bo $9 + 16 = 25$ .

Przykład 3 – liczba rozwiązań z parametrem. Dla jakich $m$ układ $y = x^2$ , $y = x + m$ ma dokładnie jedno rozwiązanie?

Po podstawieniu: $x^2 - x - m = 0$ . Wyróżnik tego równania to $\Delta = 1 + 4m$ . Jedno rozwiązanie jest wtedy, gdy $\Delta = 0$ , czyli $m = -\frac{1}{4}$ . Przy okazji: dla $m > -\frac{1}{4}$ są dwa rozwiązania, a dla $m < -\frac{1}{4}$ ani jednego.

Typowe błędy

Zatrzymanie się na odciętych. Po rozwiązaniu równania kwadratowego uczeń podaje samo $x = 3$ lub $x = 4$ . Rozwiązaniem układu jest para $(x, y)$ – brakującą współrzędną liczysz z równania liniowego.

Obliczanie $y$ z równania kwadratowego. Dla okręgu $x^2 + y^2 = 25$ i $x = 3$ dostajesz $y = 4$ albo $y = -4$ , ale na prostej $x + y = 7$ leży tylko $(3, 4)$ . Punkt $(3, -4)$ do prostej nie należy. Zawsze podstawiaj do równania pierwszego stopnia.

Kwadrat sumy bez podwójnego iloczynu. Zapis $(7 - x)^2 = 49 + x^2$ gubi składnik $-14x$ . Wychodzi wtedy $2x^2 + 24 = 25$ , czyli zupełnie inne rozwiązania. Poprawnie: $(7 - x)^2 = 49 - 14x + x^2$ .

Wyróżnik policzony dla złego równania. W układzie $y = x^2$ , $y = x + m$ uczeń bierze $\Delta$ paraboli $y = x^2$ (współczynniki $1, 0, 0$ ) i dostaje $0$ . O liczbie rozwiązań decyduje wyróżnik równania po podstawieniu, $x^2 - x - m = 0$ , czyli $1 + 4m$ .

Sprawdź się

Układ $y = x^2$ , $y = 3x - 2$ prowadzi do równania $x^2 - 3x + 2 = 0$ . Jego rozwiązania mają pierwsze współrzędne $1$ i .

Prosta $y = 2x - 1$ ma z parabolą $y = x^2$ dokładnie jeden punkt wspólny. Jego pierwsza współrzędna wynosi .

Układ $y = x^2$ , $y = x - 1$ ma rozwiązań.

Okrąg $x^2 + y^2 = 25$ i prosta $y = x + 1$ przecinają się w punktach o pierwszych współrzędnych $-4$ i $3$ . Dla $x = 3$ druga współrzędna wynosi $y =$ .

Okrąg $x^2 + y^2 = 25$ i prosta pionowa $x = 3$ mają dwa punkty wspólne. Ten z dodatnią drugą współrzędną ma $y =$ .

Po podstawieniu $y = 2x + 1$ do $x^2 + y^2 = 9$ współczynnik przy $x^2$ w równaniu kwadratowym wynosi .

Układ $y = x^2$ , $y = x + m$ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla $m =$ .

Gdy po podstawieniu wyróżnik równania wynosi $0$ , prosta jest do paraboli .

Najczęściej zadawane pytania

Z której niewiadomej wyznaczać, żeby podstawić?

Z równania liniowego i najlepiej tę niewiadomą, przy której stoi współczynnik $1$ albo $-1$ , na przykład $y = 8 - 2x$ . Wstawiasz ją do równania kwadratowego, bo wtedy zostaje jedno równanie z jedną niewiadomą. Wyznaczanie niewiadomej z równania kwadratowego wprowadza pierwiastek i dwa znaki, a to niepotrzebnie komplikuje rachunek.

Ile rozwiązań może mieć układ prostej i paraboli albo okręgu?

Najwyżej dwa, bo po podstawieniu dostajesz równanie stopnia drugiego, które ma co najwyżej dwa pierwiastki. Zero, jedno albo dwa rozwiązania odpowiadają znakowi wyróżnika $\Delta$ tego równania: ujemny, równy zero, dodatni.

Co zrobić, gdy prosta jest pionowa?

Prosta $x = c$ nie ma postaci $y = mx + n$ . Wstaw $x = c$ do równania kwadratowego i rozwiąż je względem $y$ . Dla okręgu $x^2 + y^2 = 25$ i prostej $x = 3$ dostajesz $y^2 = 16$ , czyli punkty $(3, 4)$ i $(3, -4)$ . Dla paraboli $y = ax^2 + bx + c$ prosta pionowa daje zawsze dokładnie jeden punkt wspólny.

Czy metoda działa też dla hiperboli?

Tak, tylko trzeba pamiętać o dziedzinie. W układzie $y = \frac{6}{x}$ , $y = x + 1$ mnożysz przez $x$ (przy $x \neq 0$ ) i dostajesz $x^2 + x - 6 = 0$ , czyli $x = -3$ lub $x = 2$ , a stąd punkty $(-3, -2)$ i $(2, 3)$ . Hiperbola jest jednak poza zakresem tego hasła – wymagania egzaminu mówią o prostej z okręgiem i prostej z parabolą.

Czym różni się ten układ od układu dwóch okręgów?

Przy prostej i krzywej podstawiasz wprost. Przy dwóch okręgach oba równania są kwadratowe, więc najpierw odejmujesz je stronami, żeby dostać równanie prostej, a dalej postępujesz jak tutaj. Tę metodę opisuje hasło układ równań kwadratowych.

Komentarz Autora

Wzór na wyróżnik i równanie okręgu są na karcie „Wybrane wzory matematyczne" (rozdział 7 „Funkcja kwadratowa" i rozdział 11 „Geometria analityczna"). Wzoru na wynik podstawienia do okręgu na karcie nie ma – wyprowadzasz go za każdym razem, więc ćwicz rachunek z kwadratem sumy.

W arkuszach rozszerzonych zebranych na portalu kod IX.R3 w kluczu (punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli) ma cztery zadania, po jednym z maja 2023, czerwca 2024, maja 2025 i maja 2026. W dwóch z nich prosta przecina parabolę, a układ jest pierwszym etapem dłuższego zadania. W czerwcu 2024 (poziom rozszerzony, zadanie 11, za 6 punktów) prosta $3x + y + 2 = 0$ przecinała parabolę $y = x^2 - 2x - 8$ w punktach $A$ i $B$ będących wierzchołkami równoległoboku. Po podstawieniu wychodzi $x^2 + x - 6 = 0$ , czyli $A = (-3, 7)$ i $B = (2, -8)$ , a długość boku $BC$ to $2\sqrt{13}$ . Klucz przyznawał 2 punkty za same współrzędne $A$ i $B$ , w tym 1 punkt za zapisanie równania z jedną niewiadomą. W maju 2023 (zadanie 13, za 6 punktów) prosta $x - y - 2 = 0$ przecinała parabolę $y = 4x^2 - 7x + 1$ w punktach $A = (\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ i $B = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ ; odcinek $AB$ był średnicą okręgu, a szukano punktu $C = (\frac{11}{10}, -\frac{3}{10})$ . Klucz dawał już 5 punktów za zapisanie jednego równania pierwszego i jednego drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi – to właśnie układ liniowo-kwadratowy, tym razem prostej i okręgu.

Zadanie z czerwca 2020 (poziom rozszerzony, zadanie 12), w którym punkty przecięcia prostej z okręgiem są krokiem do jednokładności, omawia hasło prosta i okrąg, a przecięcie dwóch okręgów z maja 2025 – hasło układ równań kwadratowych.

Ten krok jest tani i mechaniczny, a w zadaniu za 6 punktów daje jedną trzecią punktów. Zrób go starannie i sprawdź wynik: oba punkty muszą spełniać oba równania. Dopiero potem zajmij się resztą zadania.

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Układ równań liniowych – metoda podstawiania i przeciwnych współczynnikówUkłady równań Układ dwóch równań kwadratowych – dwa okręgiUkłady równań Układ oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny – interpretacja geometrycznaUkłady równań Zadania tekstowe z układami równańUkłady równań