Wszystkie zagadnienia: Liczby i algebra

podstawowy matura podstawowa z matematykimatura rozszerzona z matematykiukłady równańmetoda podstawianiametoda przeciwnych współczynników

Układ równań liniowych – metoda podstawiania i przeciwnych współczynników

Q: Jak sprawdzić, czy para liczb jest rozwiązaniem układu?

Podstaw x i y do pierwszego równania, a potem do drugiego. Para jest rozwiązaniem tylko wtedy, gdy w obu równaniach wyjdzie prawda. Dla układu 2x - y = 1, 3x + 2y = 12 para (3, 5) pasuje do pierwszego równania (6 - 5 = 1), ale w drugim wychodzi 19 zamiast 12, więc nie jest rozwiązaniem.

Q: Co zrobić, gdy w zadaniu jest układ z literami a i b, a rozwiązanie jest znane?

Nie rozwiązuj układu. Podstaw znane x i y do każdego równania – dostaniesz zwykłe równania z niewiadomymi a i b. Dla pary x = 2, y = -1 i równania ax + 2y = 4 wychodzi 2a - 2 = 4, czyli a = 3. Każde równanie zwykle daje jedną z szukanych liter.

Q: Czy w odpowiedzi trzeba podać parę, czy wystarczy jedna liczba?

Trzeba podać obie niewiadome, na przykład x = 2 i y = 3. Jeśli zadanie pyta o konkretną wielkość (na przykład iloczyn a · b albo liczbę a), podajesz właśnie ją, ale zwykle dopiero po policzeniu obu niewiadomych.

Opis

Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi to dwa warunki, które muszą być spełnione jednocześnie. Zapisujemy go klamrą, na przykład $\begin{cases} 2x - y = 1 \\ 3x + 2y = 12 \end{cases}$ . Rozwiązaniem jest para liczb $(x, y)$ , która po podstawieniu daje prawdę w obu równaniach naraz. Para, która pasuje tylko do jednego równania, nie jest rozwiązaniem układu.

Rozwiązanie układu sprowadza się do pozbycia się jednej niewiadomej, tak żeby zostało zwykłe równanie z jedną niewiadomą (jego zasady są w haśle równania liniowe). Robimy to na dwa sposoby:

metoda podstawiania – z jednego równania wyznaczasz $y$ (albo $x$ ) i wstawiasz to wyrażenie do drugiego równania; najwygodniejsza, gdy któraś niewiadoma ma współczynnik $1$ lub $-1$ ,
metoda przeciwnych współczynników – mnożysz równania tak, żeby przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne, i dodajesz równania stronami; niewiadoma znika; najwygodniejsza, gdy współczynniki są „brzydkie",
po znalezieniu jednej niewiadomej zawsze liczysz drugą i sprawdzasz parę w obu równaniach wyjściowych.

Zwykle układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Bywa jednak, że nie ma żadnego albo ma ich nieskończenie wiele – kiedy tak się dzieje i jak to wygląda na rysunku, opisuje hasło interpretacja geometryczna układu. Układanie układu z treści zadania (ceny, procenty, cyfry liczby) to z kolei temat hasła układy równań w zadaniach tekstowych. Tu zajmujemy się samym rozwiązywaniem.

Wzory

Postać ogólna układu

\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}

Współczynniki

a_1, b_1, a_2, b_2

i wyrazy wolne

c_1, c_2

to dane liczby.

Wyznaczenie niewiadomej

y = \frac{c_1 - a_1 x}{b_1}

Dla

b_1 \neq 0

. Pierwszy krok podstawiania: z równania ze współczynnikiem

\pm 1

wyznaczasz tę niewiadomą, a wyrażenie wstawiasz w nawiasie do drugiego równania.

Dodawanie stronami

(a_1 + a_2)x + (b_1 + b_2)y = c_1 + c_2

Równość pozostaje prawdziwa po dodaniu dwóch równości stronami. Dla przeciwnych współczynników przy

y

(

b_2 = -b_1

) niewiadoma

y

znika.

Mnożenie równania

k a_1 x + k b_1 y = k c_1

Mnożysz obie strony przez tę samą liczbę

k \neq 0

. Rozwiązania układu się nie zmieniają.

Sprawdzenie pary

a_1 x_0 + b_1 y_0 = c_1 \quad \text{i} \quad a_2 x_0 + b_2 y_0 = c_2

Para

(x_0, y_0)

jest rozwiązaniem tylko wtedy, gdy zachodzą obie równości.

Tabela

Które pary spełniają układ

2x - y = 1

3x + 2y = 12

Para $(x, y)$	$2x - y$	Pierwsze równanie ( $=1$ )	$3x + 2y$	Drugie równanie ( $=12$ )
$(1, 1)$	1	tak	5	nie
$(2, 3)$	1	tak	12	tak
$(3, 5)$	1	tak	19	nie
$(4, 0)$	8	nie	12	tak
$(0, -1)$	1	tak	$-2$	nie

Przykład

Cztery z pięciu par z tabeli powyżej spełniają pierwsze równanie, bo wszystkie leżą na jednej prostej $y = 2x - 1$ (takich par jest nieskończenie wiele). Układ spełnia dopiero ta jedna, która pasuje do obu równań naraz: $(2, 3)$ . Przykład 1 pokazuje, jak ją znaleźć.

Przykład 1 – metoda podstawiania. Rozwiąż układ $\begin{cases} 2x - y = 1 \\ 3x + 2y = 12 \end{cases}$ .

W pierwszym równaniu przy $y$ stoi $-1$ , więc łatwo je wyznaczyć: $y = 2x - 1$ . Wstawiamy to wyrażenie w nawiasie do drugiego równania:

3x + 2(2x - 1) = 12 \quad\Rightarrow\quad 3x + 4x - 2 = 12 \quad\Rightarrow\quad 7x = 14 \quad\Rightarrow\quad x = 2

Wracamy do wyznaczonego wzoru: $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ . Sprawdzenie: $2 \cdot 2 - 3 = 1$ oraz $3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12$ . Odpowiedź: $x = 2$ , $y = 3$ .

Przykład 2 – metoda przeciwnych współczynników. Rozwiąż układ $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 3x + 5y = 11 \end{cases}$ .

Żadna niewiadoma nie ma współczynnika $\pm 1$ , więc podstawianie byłoby kłopotliwe (ułamki). Wyrównujemy współczynniki przy $x$ : pierwsze równanie mnożymy przez $3$ , drugie przez $-2$ :

\begin{cases} 6x + 9y = 21 \\ -6x - 10y = -22 \end{cases}

Dodajemy równania stronami. Niewiadoma $x$ znika: $-y = -1$ , czyli $y = 1$ . Podstawiamy do pierwszego równania wyjściowego: $2x + 3 = 7$ , więc $x = 2$ . Sprawdzenie w drugim równaniu: $3 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 11$ . Odpowiedź: $x = 2$ , $y = 1$ .

Przykład 3 – znane rozwiązanie, nieznane współczynniki. Para $x = 2$ , $y = -1$ jest rozwiązaniem układu $\begin{cases} ax + 2y = 4 \\ 3x + by = 5 \end{cases}$ . Oblicz $a \cdot b$ .

Tu nie rozwiązujemy układu, tylko podstawiamy znaną parę. Z pierwszego równania: $2a + 2 \cdot (-1) = 4$ , więc $2a = 6$ i $a = 3$ . Z drugiego: $3 \cdot 2 + b \cdot (-1) = 5$ , więc $6 - b = 5$ i $b = 1$ . Zatem $a \cdot b = 3$ .

Porównanie

Metoda	Kiedy wygodna	Główny krok	Po angielsku
Podstawiania	niewiadoma ze współczynnikiem $\pm 1$	wyznaczyć i wstawić w nawiasie	substitution
Przeciwnych współczynników	współczynniki bez $\pm 1$ , układ „symetryczny"	pomnożyć i dodać stronami	elimination
Graficzna	tylko do oszacowania lub kontroli	punkt przecięcia dwóch prostych	graphing

Wszystkie trzy dają ten sam wynik. Na maturze liczy się poprawny rachunek i sprawdzenie, a nie wybór metody. Metodę graficzną rozwija hasło interpretacja geometryczna układu.

Typowe błędy

Brak nawiasu przy podstawianiu. Z $y = 2x - 1$ do równania $3x + 2y = 12$ uczeń wstawia $3x + 2 \cdot 2x - 1 = 12$ . Wychodzi $7x = 13$ i błędne $x$ . Wyrażenie wstawiasz w nawiasie: $3x + 2(2x - 1) = 12$ , i dopiero wtedy mnożysz przez $2$ oba składniki.

Mnożenie tylko jednej strony równania. Równanie $2x + 3y = 7$ mnożone przez $3$ daje $6x + 9y = 21$ . Zapis $6x + 9y = 7$ zmienia układ i wynik. Liczba $k$ trafia do wszystkich składników po obu stronach.

Błąd znaku przy odejmowaniu stronami. Odejmując $3x + 5y = 11$ od $3x + 2y = 7$ , uczeń zapomina zmienić znaki w całym odejmowanym równaniu. Bezpieczniej mnożyć przez liczbę ujemną (jak w przykładzie 2) i dodawać, bo wtedy znaki widać wprost.

Zatrzymanie się na jednej niewiadomej. Po znalezieniu $y = 1$ uczeń wpisuje odpowiedź „ $y = 1$ ". Zadanie pyta o parę $(x, y)$ . Po wyliczeniu pierwszej niewiadomej wracasz do dowolnego równania i liczysz drugą.

Para pasująca tylko do jednego równania. W tabeli powyżej para $(3, 5)$ spełnia pierwsze równanie, ale nie drugie. Przy sprawdzaniu odpowiedzi w zadaniu zamkniętym nie poprzestawaj na pierwszym równaniu, tylko podstaw do obu.

Pomylona kolejność w parze. Para $(x, y) = (-2, 1)$ to nie to samo co $(1, -2)$ . Przy wyborze odpowiedzi z listy sprawdź, czy wartość, którą policzyłeś jako $x$ , stoi na pierwszym miejscu.

Podstawienie do równania, z którego wyznaczono niewiadomą. Wstawiasz $y = 2x - 1$ z powrotem do $2x - y = 1$ i dostajesz $1 = 1$ , a stąd błędny wniosek, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Wyznaczone wyrażenie wstawiasz do drugiego równania.

Sprawdź się

Układ $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ y = x + 1 \end{cases}$ rozwiązujemy przez podstawienie. Uzupełnij tabelę.

$x$	$y = x + 1$	$2x + y$
0	1	1
1
2	3

Układ $\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 2 \end{cases}$ po dodaniu równań stronami daje $2x = 12$ , więc $x =$ .

W układzie $\begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ x + 2y = 4 \end{cases}$ po dodaniu równań stronami mamy $x =$ , a wtedy $y =$ .

Para $x = 1$ , $y = 3$ jest rozwiązaniem układu $ax + y = 5$ , $x + by = 10$ dla $a =$ i $b =$ .

Liczba dwucyfrowa ma sumę cyfr równą $14$ , a po zamianie cyfr miejscami jest o $18$ mniejsza. Ta liczba to .

W układzie $\begin{cases} 5x + 2y = 1 \\ 3x - 2y = 7 \end{cases}$ niewiadoma $y$ wynosi .

Najczęściej zadawane pytania

Którą metodę wybrać: podstawiania czy przeciwnych współczynników?

Obie dają ten sam wynik, więc to kwestia wygody. Gdy któraś niewiadoma ma współczynnik $1$ lub $-1$ , podstawianie jest szybkie i bez ułamków. Gdy współczynniki są „brzydkie" (na przykład $2x + 3y$ i $3x + 5y$ ), wygodniej wyrównać je mnożeniem i dodać równania stronami. Na maturze oceniany jest poprawny rachunek, nie metoda.

Jak sprawdzić, czy para liczb jest rozwiązaniem układu?

Podstaw $x$ i $y$ do pierwszego równania, a potem do drugiego. Para jest rozwiązaniem tylko wtedy, gdy w obu równaniach wyjdzie prawda. Dla układu $2x - y = 1$ , $3x + 2y = 12$ para $(3, 5)$ pasuje do pierwszego równania ( $6 - 5 = 1$ ), ale w drugim wychodzi $19$ zamiast $12$ , więc nie jest rozwiązaniem.

Co zrobić, gdy w zadaniu jest układ z literami a i b, a rozwiązanie jest znane?

Nie rozwiązuj układu. Podstaw znane $x$ i $y$ do każdego równania – dostaniesz zwykłe równania z niewiadomymi $a$ i $b$ . Dla pary $x = 2$ , $y = -1$ i równania $ax + 2y = 4$ wychodzi $2a - 2 = 4$ , czyli $a = 3$ . Każde równanie zwykle daje jedną z szukanych liter.

Dlaczego po dodaniu równań stronami niewiadoma znika?

Gdy przy jednej niewiadomej stoją liczby przeciwne, na przykład $+6x$ i $-6x$ , ich suma to $0$ i zostaje równanie z jedną niewiadomą. Dlatego przed dodaniem mnożysz równania przez takie liczby, żeby współczynniki przy wybranej niewiadomej były przeciwne. Mnożysz obie strony równania, więc rozwiązanie układu się nie zmienia.

Co oznacza wynik 0 = 0 albo 0 = 5 w trakcie rozwiązywania?

Obie sytuacje oznaczają, że układ nie ma jednego rozwiązania. Wynik $0 = 5$ to fałsz, więc układ jest sprzeczny (nie ma rozwiązań). Wynik $0 = 0$ jest zawsze prawdziwy, więc układ jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań). Obie sytuacje wyjaśnia hasło interpretacja geometryczna układu. Uwaga: $0 = 0$ dostaniesz też wtedy, gdy przez pomyłkę podstawisz wyrażenie do równania, z którego je wyznaczyłeś.

Czy w odpowiedzi trzeba podać parę, czy wystarczy jedna liczba?

Trzeba podać obie niewiadome, na przykład $x = 2$ i $y = 3$ . Jeśli zadanie pyta o konkretną wielkość (na przykład iloczyn $a \cdot b$ albo liczbę $a$ ), podajesz właśnie ją, ale zwykle dopiero po policzeniu obu niewiadomych.

Czy układ może mieć współczynniki ułamkowe albo dziesiętne?

Tak, jak w zadaniu z procentami, gdzie pojawia się równanie $0{,}08a = 0{,}075b$ . Można wtedy pomnożyć równanie przez $1000$ , żeby pozbyć się ułamków dziesiętnych: $80a = 75b$ . Metody rozwiązywania pozostają te same.

Komentarz Autora

Wzory z tego hasła nie leżą na karcie „Wybrane wzory matematyczne" – w rozdziałach karty nie ma wzorów na rozwiązywanie układów, więc cała metoda musi być w głowie, ale jest krótka.

W arkuszach Formuły 2023 zebranych na portalu układ równań występuje na poziomie podstawowym w dwóch odmianach, które trzeba umieć szybko rozpoznać. Pierwsza to wybór lub sprawdzenie pary. W grudniu 2023 (próbna matura, poziom podstawowy, zadanie 6, za 1 punkt) trzeba było wskazać rozwiązanie układu $x - 3y + 5 = 0$ , $2x + y + 3 = 0$ – poprawna jest odpowiedź C, $x = -2$ , $y = 1$ . Tu nie trzeba rozwiązywać układu: wystarczy podstawić pary z listy do obu równań, tak jak w tabeli wyżej, i odrzucić te, które nie pasują do któregokolwiek z nich.

Druga odmiana to podstawienie znanego rozwiązania do układu z literami, jak w przykładzie 3. W grudniu 2024 (próbna matura, poziom podstawowy, zadanie 7, za 1 punkt) para $x = -1$ , $y = 6$ rozwiązywała układ $ax + 3y = 20$ , $x + by = 5$ , a pytano o iloczyn $a \cdot b$ . Z klucza: odpowiedź A, wartość $-2$ (wychodzi $a = -2$ i $b = 1$ ). Jeszcze inaczej wygląda zadanie z marca 2026 (próbna matura, poziom podstawowy, zadanie 9, za 1 punkt): układ $20x + 20y = 1$ , $26x - 26y = 1$ i dwa zdania do oceny. Po podzieleniu równań przez $20$ i $26$ dostajemy $x + y = \frac{1}{20}$ oraz $x - y = \frac{1}{26}$ , stąd $x_0 = \frac{23}{520}$ i $y_0 = \frac{3}{520}$ . Obie liczby są dodatnie, więc i suma, i iloczyn są dodatnie – w kluczu oba stwierdzenia są prawdziwe (PP). Nie trzeba było liczyć $x_0$ i $y_0$ do końca: wystarczyło zauważyć, że $x_0 + y_0 > 0$ i $x_0 - y_0 > 0$ , więc obie współrzędne są dodatnie.

Zadania otwarte na układ (za 2 punkty) są w zbiorze zadań CKE dla poziomu podstawowego. Zadanie o liczbie dwucyfrowej, której suma cyfr to $14$ , a po zamianie cyfr maleje o $18$ , prowadzi do układu $x + y = 14$ , $y - x = -2$ i odpowiedzi $86$ . Zadanie o liczbach $a$ i $b$ z sumą $527$ oraz $8\%$ liczby $a$ równym $7{,}5\%$ liczby $b$ daje $a = 255$ i $b = 272$ . W zadaniu o liczbie dwucyfrowej jeden punkt przysługuje już za zapisanie postaci liczby i jednego z równań, a drugi – za oba równania i poprawne rozwiązanie układu. Jak układać takie równania, pokazuje hasło układy równań w zadaniach tekstowych.

Rada: wynik zawsze podstaw do obu równań. To kilkanaście sekund, a wyłapuje błąd znaku i zamienioną kolejność $x, y$ .

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Układ równań liniowego i kwadratowegoUkłady równań Układ dwóch równań kwadratowych – dwa okręgiUkłady równań Układ oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny – interpretacja geometrycznaUkłady równań Zadania tekstowe z układami równańUkłady równań