Wszystkie zagadnienia: Liczby i algebra

średni matura rozszerzona z matematykiukłady równańokrągodejmowanie równań

Układ dwóch równań kwadratowych – dwa okręgi

Q: Dlaczego odejmowanie równań dwóch okręgów daje prostą?

Oba równania zawierają ten sam składnik x^2 + y^2, więc po odjęciu stronami znika on i zostają same wyrazy liniowe: (a - d)x + (b - e)y = c - f. Każdy punkt wspólny okręgów spełnia oba równania, a więc i ich różnicę – leży na tej prostej. Prosta przechodzi przez oba punkty przecięcia (zawiera cięciwę wspólną), a gdy okręgi są styczne, jest ich wspólną styczną w punkcie styczności.

Q: Co zrobić, gdy po odjęciu wychodzi sprzeczność typu 0 = 5?

To znaczy, że okręgi mają współczynniki a = d i b = e – są współśrodkowe, ale mają różne promienie. Nie mają wspólnych punktów, więc układ jest sprzeczny. Gdyby wyszło 0 = 0, to okręgi się pokrywają i każdy punkt okręgu jest rozwiązaniem.

Q: Czy trzeba doprowadzać okręgi do postaci kanonicznej?

Nie przy metodzie z odejmowaniem. Wystarczy wymnożyć nawiasy (jeśli okręgi są podane w postaci kanonicznej) i odjąć równania. Postać kanoniczna przydaje się w drugim sposobie: odczytujesz środki i promienie i sprawdzasz położenie okręgów. Pomaga to ocenić, ile powinno wyjść rozwiązań, ale samo rozwiązanie wymaga i tak rachunków.

Q: Czy ten sposób działa, gdy jedno z równań to parabola albo hiperbola?

Odejmowanie, które zeruje wspólne wyrazy kwadratowe, działa tylko wtedy, gdy oba równania je mają w tej samej postaci, jak dwa okręgi. Dla paraboli lub hiperboli z prostą stosuje się podstawienie – opisuje je hasło układ równań liniowy i kwadratowy.

Q: Skąd wiadomo, ile rozwiązań wyjdzie?

Liczba rozwiązań to liczba pierwiastków równania kwadratowego po podstawieniu: Δ > 0 – dwa punkty wspólne, Δ = 0 – jeden (okręgi styczne), Δ < 0 – żadnego. Z wcześniejszą oceną, bez rachunków, pomaga porównanie odległości środków z sumą i różnicą promieni, co opisuje hasło wzajemne położenie dwóch okręgów.

Opis

Układ dwóch równań kwadratowych w tym haśle to dwa równania postaci $x^2 + y^2 + ax + by = c$ i $x^2 + y^2 + dx + ey = f$ . Każde z nich opisuje okrąg, więc rozwiązanie układu to wspólne punkty dwóch okręgów: para $(x, y)$ spełniająca oba równania naraz jest punktem leżącym na obu okręgach. Taki układ obowiązuje wyłącznie na poziomie rozszerzonym (wymaganie IV.R oraz IX.R2 – znajdowanie punktów wspólnych dwóch okręgów).

Dwa równania kwadratowe z dwiema niewiadomymi wyglądają groźnie, ale w tej postaci mają jedną wygodną cechę: w obu występuje ten sam składnik $x^2 + y^2$ . Po odjęciu równań stronami znika, a zostaje równanie liniowe – prosta, na której leżą wszystkie wspólne punkty obu okręgów. Dalej postępujesz jak w układzie liniowo-kwadratowym (więcej w haśle układ równań liniowy i kwadratowy).

Schemat składa się z czterech kroków:

odejmij równania stronami – wszystkie wyrazy drugiego równania, z ich znakami – i otrzymaj równanie prostej,
wyznacz z niego jedną niewiadomą, np. $y$ przez $x$ ,
podstaw do któregokolwiek z równań wyjściowych i rozwiąż równanie kwadratowe z jedną niewiadomą,
dla każdego pierwiastka oblicz drugą współrzędną z równania prostej i zapisz pary.

Samo równanie okręgu, jego środek i promień opisuje hasło równanie okręgu, a to, kiedy okręgi są styczne albo rozłączne – hasło wzajemne położenie dwóch okręgów.

Wzory

Układ dwóch okręgów

x^2 + y^2 + ax + by = c \quad \text{oraz} \quad x^2 + y^2 + dx + ey = f

Postać z wymagania IV.R. Każde równanie to okrąg (o ile prawa strona po doprowadzeniu do postaci kanonicznej jest dodatnia).

Prosta z odjęcia stronami

(a - d)x + (b - e)y = c - f

Odejmujemy drugie równanie od pierwszego. Gdy

a = d

b = e

, zostaje

0 = c - f

: okręgi są współśrodkowe i nie ma prostej.

Tabela

Cztery układy dwóch okręgów – ten sam schemat, różna liczba rozwiązań

Okręgi	Prosta po odjęciu	Równanie kwadratowe	Rozwiązania
$x^2 - 2x + y^2 = 24$ oraz $x^2 - 10x + y^2 - 8y + 40 = 0$	$y = 8 - x$	$x^2 - 9x + 20 = 0$ , $\Delta = 1$	$(4, 4)$ i $(5, 3)$
$(x-1)^2 + (y+3)^2 = 5$ oraz $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 45$	$x + 7y = -15$	$5y^2 + 23y + 26 = 0$ , $\Delta = 9$	$(-1, -2)$ i $\left(\frac{16}{5}, -\frac{13}{5}\right)$
$x^2 + y^2 = 25$ oraz $(x-8)^2 + y^2 = 9$	$x = 5$	$y^2 = 0$	jedno: $(5, 0)$
$x^2 + y^2 = 25$ oraz $(x-8)^2 + y^2 = 4$	$x = \frac{85}{16}$	$y^2 = -\frac{825}{256}$	brak

Przykład

Przykład 1 – układ w postaci ogólnej. Rozwiąż układ równań $x^2 - 2x + y^2 = 24$ oraz $x^2 - 10x + y^2 - 8y + 40 = 0$ .

Odejmujemy drugie równanie od pierwszego, wyraz po wyrazie:

(x^2 - 2x + y^2) - (x^2 - 10x + y^2 - 8y + 40) = 24 - 0 \quad\Rightarrow\quad 8x + 8y = 64

Stąd $y = 8 - x$ . Podstawiamy do pierwszego równania:

x^2 - 2x + (8 - x)^2 = 24 \quad\Rightarrow\quad 2x^2 - 18x + 40 = 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 - 9x + 20 = 0

Pierwiastki to $x = 4$ i $x = 5$ . Drugą współrzędną bierzemy z prostej: $y = 8 - 4 = 4$ oraz $y = 8 - 5 = 3$ . Rozwiązania układu: $(4, 4)$ i $(5, 3)$ . Sprawdzenie dla $(5, 3)$ : $25 - 10 + 9 = 24$ oraz $25 - 50 + 9 - 24 + 40 = 0$ . Okręgi mają środki $(1, 0)$ i $(5, 4)$ oraz promienie $5$ i $1$ , a odległość środków $\sqrt{32}$ mieści się między $5 - 1 = 4$ a $5 + 1 = 6$ , więc faktycznie się przecinają.

Przykład 2 – okręgi w postaci kanonicznej, krok z zadania maturalnego. Okręgi $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 5$ i $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 45$ przecinają się w punktach $A$ i $B$ , przy czym $A$ ma dodatnią pierwszą współrzędną. Wyznacz $A$ i $B$ .

Po wymnożeniu nawiasów dostajemy $x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5 = 0$ oraz $x^2 + y^2 - 4x - 8y - 25 = 0$ . Odejmujemy drugie od pierwszego:

2x + 14y + 30 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -7y - 15

Podstawiamy do pierwszego okręgu: $(-7y - 16)^2 + (y + 3)^2 = 5$ , czyli $50y^2 + 230y + 260 = 0$ , a po podzieleniu przez $10$ :

5y^2 + 23y + 26 = 0, \qquad \Delta = 529 - 520 = 9, \qquad y = \frac{-23 \pm 3}{10}

Mamy $y = -2$ albo $y = -\frac{13}{5}$ . Z prostej $x = -7y - 15$ wychodzi odpowiednio $x = -1$ oraz $x = \frac{16}{5}$ . Warunek z treści (pierwsza współrzędna $A$ jest dodatnia) rozstrzyga o nazwach punktów: $A = \left(\frac{16}{5}, -\frac{13}{5}\right)$ , $B = (-1, -2)$ . W zadaniu maturalnym dalej szukano jeszcze punktu $M$ z równości wektorowej $\overrightarrow{AM} = -2 \cdot \overrightarrow{BM}$ , z której wynika $M = \frac{A + 2B}{3}$ .

Przykład 3 – okręgi styczne. Rozwiąż układ $x^2 + y^2 = 25$ oraz $(x - 8)^2 + y^2 = 9$ .

Rozwijamy drugie równanie: $x^2 - 16x + 64 + y^2 = 9$ . Po odjęciu go od pierwszego zostaje $16x - 64 = 16$ , więc $x = 5$ . Podstawiamy do pierwszego: $25 + y^2 = 25$ , czyli $y = 0$ . Układ ma jedno rozwiązanie $(5, 0)$ – okręgi o promieniach $5$ i $3$ i środkach oddalonych o $8$ stykają się z zewnątrz. Jedno rozwiązanie oznacza tu podwójny pierwiastek ( $\Delta = 0$ ), a nie pomyłkę.

Typowe błędy

Odjęcie niepełnych wyrażeń. W układzie z przykładu 1 uczeń odejmuje $-10x$ od $-2x$ i dostaje $-12x$ , bo zapomina, że odejmuje się cały drugi wiersz, ze zmianą znaków. Poprawnie: $-2x - (-10x) = 8x$ , a $0 - 40$ i $0 - (-8y)$ wchodzą do równania prostej ( $8y$ po lewej stronie). Łatwo to sprawdzić na wyniku: obie znalezione pary muszą spełniać prostą.

Druga współrzędna z równania kwadratowego. Po znalezieniu $x = 4$ i $x = 5$ uczeń podstawia je z powrotem do równania okręgu, dostaje dla każdego $x$ dwie wartości $y$ i zapisuje cztery punkty. Dwa z nich nie leżą na drugim okręgu. Drugą współrzędną liczymy zawsze z równania prostej, bo ono jest liniowe i daje jedną wartość.

Brak sprawdzenia i warunku z treści. Zasady oceniania zadania ze zbioru CKE dopuszczają pełne rozwiązanie z zapisanym sprawdzeniem rachunkiem, a w zadaniu maturalnym nazwy $A$ i $B$ trzeba przypisać według warunku o pierwszej współrzędnej. Kto poda parę punktów bez rozstrzygnięcia, który jest który, nie ma dobrej odpowiedzi.

Założenie, że okręgi zawsze się przecinają. Odjęcie równań zawsze daje „jakąś prostą", ale nie gwarantuje punktów wspólnych. Gdy $\Delta < 0$ (ostatni wiersz tabeli), okręgi są rozłączne albo jeden leży wewnątrz drugiego i układ jest sprzeczny. Gdy równania okręgów mają te same współczynniki $a, b$ i $d, e$ , odjęcie daje fałszywą równość – okręgi są współśrodkowe.

Sprawdź się

Dane są okręgi $x^2 + y^2 = 25$ oraz $x^2 + y^2 - 6x = 7$ . Po odjęciu drugiego równania od pierwszego zostaje $6x = 18$ , więc $x =$ . Dla dodatniej wartości $y$ mamy $y =$ , a liczba wspólnych punktów tych okręgów wynosi .

Okręgi $x^2 + y^2 = 25$ oraz $(x - 8)^2 + y^2 = 9$ mają wspólny punkt o pierwszej współrzędnej $x =$ . Wspólnych punktów jest .

Dla układu z maja 2025 równanie $5y^2 + 23y + 26 = 0$ ma wyróżnik $\Delta =$ .

W układzie $x^2 - 2x + y^2 = 24$ oraz $x^2 - 10x + y^2 - 8y + 40 = 0$ prosta ma równanie $y = 8 - x$ , więc dla $x = 5$ mamy $y =$ .

Okręgi $x^2 + y^2 = 4$ i $x^2 + y^2 = 9$ mają wspólnych punktów: .

Najczęściej zadawane pytania

Dlaczego odejmowanie równań dwóch okręgów daje prostą?

Oba równania zawierają ten sam składnik $x^2 + y^2$ , więc po odjęciu stronami znika on i zostają same wyrazy liniowe: $(a - d)x + (b - e)y = c - f$ . Każdy punkt wspólny okręgów spełnia oba równania, a więc i ich różnicę – leży na tej prostej. Prosta przechodzi przez oba punkty przecięcia (zawiera cięciwę wspólną), a gdy okręgi są styczne, jest ich wspólną styczną w punkcie styczności.

Co zrobić, gdy po odjęciu wychodzi sprzeczność typu

0 = 5

To znaczy, że okręgi mają współczynniki $a = d$ i $b = e$ – są współśrodkowe, ale mają różne promienie. Nie mają wspólnych punktów, więc układ jest sprzeczny. Gdyby wyszło $0 = 0$ , to okręgi się pokrywają i każdy punkt okręgu jest rozwiązaniem.

Czy trzeba doprowadzać okręgi do postaci kanonicznej?

Nie przy metodzie z odejmowaniem. Wystarczy wymnożyć nawiasy (jeśli okręgi są podane w postaci kanonicznej) i odjąć równania. Postać kanoniczna przydaje się w drugim sposobie: odczytujesz środki i promienie i sprawdzasz położenie okręgów. Pomaga to ocenić, ile powinno wyjść rozwiązań, ale samo rozwiązanie wymaga i tak rachunków.

Czy ten sposób działa, gdy jedno z równań to parabola albo hiperbola?

Odejmowanie, które zeruje wspólne wyrazy kwadratowe, działa tylko wtedy, gdy oba równania je mają w tej samej postaci, jak dwa okręgi. Dla paraboli lub hiperboli z prostą stosuje się podstawienie – opisuje je hasło układ równań liniowy i kwadratowy.

Skąd wiadomo, ile rozwiązań wyjdzie?

Liczba rozwiązań to liczba pierwiastków równania kwadratowego po podstawieniu: $\Delta > 0$ – dwa punkty wspólne, $\Delta = 0$ – jeden (okręgi styczne), $\Delta < 0$ – żadnego. Z wcześniejszą oceną, bez rachunków, pomaga porównanie odległości środków z sumą i różnicą promieni, co opisuje hasło wzajemne położenie dwóch okręgów.

Komentarz Autora

Układ dwóch okręgów jest w arkuszach rozszerzonych krokiem w zadaniu z geometrii analitycznej, a nie osobnym zadaniem. Wyszukiwanie wymagania IX.R2 („znajduje punkty wspólne dwóch okręgów") w kluczach arkuszy zebranych na portalu daje jedno zadanie: maj 2025, poziom rozszerzony, zadanie 8, za 5 punktów (wymagania IX.R2 i IX.R3). Okręgi były podane równaniami w postaci kanonicznej, a odpowiedź z klucza to $A = \left(\frac{16}{5}, -\frac{13}{5}\right)$ , $B = (-1, -2)$ i $M = \left(\frac{2}{5}, -\frac{11}{5}\right)$ . Zadanie wykonało 23% zdających. Za samo wyznaczenie równania prostej $AB$ (np. $2x + 14y = -30$ ) klucz dawał 1 punkt, za równanie z jedną niewiadomą (np. $(-7y - 15 - 2)^2 + (y - 4)^2 = 45$ ) – 2 punkty, a za obliczenie $A$ i $B$ – 3 punkty. Same punkty przecięcia to więc większa część punktów.

Układ „czystych" okręgów w postaci ogólnej, takich jak w przykładzie 1, pochodzi ze zbioru zadań CKE (zadanie 13, za 3 punkty, wymaganie IV.R), gdzie rozwiązanie dzieli się na odejmowanie równań i alternatywnie na odczytanie środków i promieni z rysunku. Wspólne punkty prostej i okręgu z zadania maturalnego z czerwca 2020 (poziom rozszerzony, zadanie 12) omawia hasło prosta i okrąg.

W arkuszach zebranych na portalu nie znalazłem zadania z kodem IV.R o treści „rozwiąż układ równań". Ćwicz więc ten krok jako element dłuższego zadania, w którym punkty przecięcia są tylko początkiem. Rada: po znalezieniu pary od razu podstaw ją do obu pierwotnych równań – to kilkanaście sekund, a wychwytuje błąd znaku z pierwszego kroku.

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Układ oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny – interpretacja geometrycznaUkłady równań Układ równań liniowego i kwadratowegoUkłady równań Układ równań liniowych – metoda podstawiania i przeciwnych współczynnikówUkłady równań Zadania tekstowe z układami równańUkłady równań