Funkcja – pojęcie i sposoby opisu

Funkcja to przyporządkowanie, które każdemu elementowi jednego zbioru przypisuje dokładnie jeden element drugiego zbioru. Elementy pierwszego zbioru nazywamy argumentami (zwykle oznaczamy je literą $x$), a to, co funkcja im przypisuje – wartościami (zwykle $y$). Zbiór wszystkich argumentów to dziedzina funkcji – jak ją wyznaczać, opisuje hasło dziedzina i zbiór wartości.

Zapis $f(3) = 5$ czytamy „wartość funkcji $f$ dla argumentu $3$ jest równa $5$". Litera $f$ to nazwa funkcji, a $f(x)$ to liczba – wartość dla konkretnego argumentu. Zamiast $y = f(x)$ można też powiedzieć „funkcja $f$ przyporządkowuje liczbie $x$ liczbę $f(x)$".

W definicji są dwa warunki i oba trzeba sprawdzić:

• każdy argument z dziedziny ma wartość – żaden nie zostaje „bez pary",
• ta wartość jest jedna – argument nie może mieć dwóch różnych wartości,
• natomiast różne argumenty mogą mieć tę samą wartość – to funkcji nie przeszkadza (na przykład $f(-1) = f(3) = 0$ dla funkcji z tabeli niżej).

Tę samą funkcję można opisać na kilka sposobów:

• wzorem, na przykład $f(x) = x^2 - 2x - 3$ dla $x \in \mathbb{R}$ – wartość liczymy, podstawiając argument,
• tabelą – wypisujemy argumenty i odpowiadające im wartości; funkcja zadana samą tabelą ma tylko te argumenty, które są w tabeli,
• wykresem – rysujemy wszystkie punkty $(x, f(x))$ w układzie współrzędnych,
• grafem (diagramem strzałkowym) – strzałki prowadzą od każdego argumentu do jego wartości; z każdego argumentu wychodzi dokładnie jedna strzałka,
• słownie – na przykład „każdej liczbie naturalnej dodatniej przyporządkowujemy resztę z dzielenia jej przez $4$".

Wykres funkcji to zbiór wszystkich punktów postaci $(x, f(x))$. Stąd najważniejsza zasada tego hasła: punkt $(a, b)$ należy do wykresu funkcji $f$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ jest w dziedzinie i $f(a) = b$. Pierwsza współrzędna to zawsze argument, druga – wartość.

Z warunku „dokładnie jedna wartość" wynika test pionowej prostej: krzywa w układzie współrzędnych jest wykresem funkcji (zmiennej $x$) tylko wtedy, gdy każda pionowa prosta $x = a$ przecina ją co najwyżej raz. Okrąg tego testu nie przechodzi – prosta $x = 0$ przecina okrąg $x^2 + y^2 = 9$ w dwóch punktach $(0, 3)$ i $(0, -3)$, więc argument $0$ miałby dwie wartości. Okrąg nie jest wykresem żadnej funkcji zmiennej $x$.

Pozostałe własności funkcji mają osobne hasła: miejsca zerowe, monotoniczność i odczytywanie własności z wykresu. Ciąg liczbowy to też funkcja – o dziedzinie złożonej z liczb naturalnych dodatnich (hasło pojęcie ciągu).

Przykład 1 – wartość ze wzoru dla argumentu ujemnego. Funkcja $g$ jest określona wzorem $g(x) = 3x^2 - 5x + 1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Oblicz $g(-2)$.

W miejsce każdego $x$ wstawiamy $-2$ – w nawiasie:

Bez nawiasu wyszłoby $3 \cdot (-4) + 10 + 1 = -1$, bo $-2^2 = -4$, a nie $4$.

Przykład 2 – czy punkt należy do wykresu? Funkcja $h$ jest określona wzorem $h(x) = 2x^2 - 3x + 1$. Sprawdź, czy do wykresu funkcji $h$ należą punkty $A = (2, 3)$ i $B = (-1, 5)$.

Dla punktu $A$ argumentem jest $2$, a wartością ma być $3$. Liczymy $h(2) = 2 \cdot 4 - 6 + 1 = 3$ – zgadza się, więc $A$ należy do wykresu. Dla punktu $B$ liczymy:

Wyszło $6$, a druga współrzędna punktu $B$ to $5$. Ponieważ $6 \neq 5$, punkt $B$ do wykresu nie należy.

Przykład 3 – nieznany współczynnik z punktu na wykresie. Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = x^2 + bx - 2$. Punkt $P = (3, 4)$ należy do wykresu funkcji $f$. Oblicz $b$.

Skoro $P$ leży na wykresie, to $f(3) = 4$. Podstawiamy argument $3$ do wzoru i przyrównujemy do wartości $4$:

Sprawdzenie: dla $f(x) = x^2 - x - 2$ mamy $f(3) = 9 - 3 - 2 = 4$.

Przykład 4 – odczyt z tabeli w obie strony. Dla funkcji z tabeli powyżej wartość dla argumentu $1$ odczytujemy w kolumnie $x = 1$ – to $f(1) = -4$. Pytanie odwrotne „dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość $5$?" wymaga przejrzenia wiersza wartości: $5$ pojawia się dwa razy, więc odpowiedź to $x = -2$ i $x = 4$. Funkcja może mieć wiele argumentów o tej samej wartości – nie może mieć argumentu o dwóch wartościach.

Liczba ujemna podstawiona bez nawiasu. Przy $f(x) = x^2 - 2x - 3$ zapis $f(-2) = -2^2 - 2 \cdot 2 - 3$ (minus zgubiony w obu miejscach) daje $-4 - 4 - 3 = -11$ zamiast $5$. Potęga obejmuje tylko to, co stoi tuż przed nią, więc $-2^2 = -4$. Zawsze pisz $(-2)^2$ i $-2 \cdot (-2)$.

Zamienione współrzędne punktu. Sprawdzając, czy $(2, 3)$ należy do wykresu, uczeń liczy $f(3)$ i porównuje z $2$. W parze $(a, b)$ pierwsza liczba idzie do nawiasu funkcji, druga jest wynikiem: sprawdzamy, czy $f(2) = 3$.

$f(0)$ pomylone z miejscem zerowym. $f(0)$ to wartość dla argumentu $0$ – w tym punkcie wykres przecina oś $Oy$. Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość jest równa $0$ – tam wykres przecina oś $Ox$. Dla funkcji z tabeli $f(0) = -3$, a miejsca zerowe to $-1$ i $3$.

Odczyt z wykresu po złej osi. Szukając $f(3)$, uczeń znajduje na osi $Oy$ liczbę $3$ i idzie poziomo. Tak odpowiada się na inne pytanie – „dla jakiego argumentu wartość jest równa $3$". Wartość $f(3)$ czytamy, idąc od liczby $3$ na osi $Ox$ pionowo do wykresu, a potem poziomo na oś $Oy$.

Argument wzięty za wartość w tabeli. W tabeli z argumentami od $-2$ do $2$ najmniejszą liczbą w ogóle jest $-2$, ale stoi w wierszu $x$. Najmniejsza wartość to najmniejsza liczba w wierszu wartości. Zanim odpowiesz, sprawdź, z którego wiersza bierzesz liczbę.

„Dwa argumenty z tą samą wartością – to nie funkcja". To odwrócenie definicji. Funkcja zabrania jednemu argumentowi mieć dwie wartości, ale wiele argumentów może dzielić jedną wartość. Wykres $f(x) = x^2 - 2x - 3$ przecina prostą $y = 5$ dwa razy i jest wykresem funkcji; okrąg przecina pionową prostą dwa razy i wykresem funkcji nie jest.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: