Miejsca zerowe funkcji

Miejsce zerowe funkcji $f$ to taki argument $x_0$ z dziedziny funkcji, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero: $f(x_0) = 0$. Miejsce zerowe jest więc liczbą, a nie punktem. Jeżeli wykres funkcji przecina oś $x$ w punkcie $(2, 0)$, to miejscem zerowym jest liczba $2$ – zapis $(2, 0)$ opisuje punkt wykresu, a nie miejsce zerowe.

Miejsca zerowe to pierwsza rzecz, której szuka się w funkcji: mówią, gdzie wykres styka się z osią $x$, dzielą dziedzinę na kawałki, w których funkcja ma stały znak, i pojawiają się w zadaniach na każdym etapie – od odczytu z rysunku po równania z parametrem. Samo pojęcie funkcji, argumentu i wartości omawia hasło funkcja – pojęcie i sposoby opisu.

Miejsca zerowe znajdujemy na trzy sposoby, zależnie od tego, jak funkcja jest podana:

• ze wzoru – rozwiązujemy równanie $f(x) = 0$ i zostawiamy tylko te rozwiązania, które należą do dziedziny,
• z wykresu – odczytujemy pierwsze współrzędne punktów wspólnych wykresu z osią $x$,
• z tabeli – wybieramy te argumenty, przy których w wierszu wartości stoi $0$.

Najważniejsza zasada: dziedzina najpierw. Liczba, która spełnia równanie $f(x) = 0$, ale nie należy do dziedziny (zeruje mianownik, daje ujemną liczbę pod pierwiastkiem, leży poza przedziałem, w którym obowiązuje dany wzór), nie jest miejscem zerowym. Jak wyznaczać dziedzinę, wyjaśnia hasło dziedzina i zbiór wartości.

Funkcja może mieć dowolną liczbę miejsc zerowych: żadnego, jedno, kilka albo nieskończenie wiele (na przykład gdy na całym przedziale przyjmuje wartość $0$). Gotowe reguły dla najczęstszych funkcji mają własne hasła: funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ z $a \neq 0$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe (funkcja liniowa), a liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowej rozstrzyga wyróżnik $\Delta$ (funkcja kwadratowa).

Przykład 1 – iloczyn i liczba miejsc zerowych. Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x) = (2x - 6)(x^2 + 4)$.

Dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste, więc żadne rozwiązanie nie odpadnie. Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest zerem:

Z pierwszego równania $x = 3$. Drugie nie ma rozwiązań, bo $x^2 \geq 0$, więc $x^2 + 4 \geq 4$. Funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe: liczbę $3$. Mimo że wzór jest wielomianem trzeciego stopnia, miejsc zerowych nie musi być trzy.

Przykład 2 – rozwiązanie, które odpada. Wyznacz miejsca zerowe funkcji $g(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 1}$.

Najpierw dziedzina: mianownik $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ zeruje się dla $x = 1$ i $x = -1$, więc $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$. Teraz licznik:

Liczba $1$ nie należy do dziedziny, więc odpada. Funkcja $g$ ma jedno miejsce zerowe: $x = -3$. Sprawdzenie: $g(-3) = \frac{9 - 6 - 3}{9 - 1} = \frac{0}{8} = 0$. Kto nie wyznaczył dziedziny, poda dwie odpowiedzi i straci punkt. Więcej takich równań w haśle równania wymierne.

Ten sam mechanizm działa przy pierwiastku. Dla $h(x) = \sqrt{x - 1} \cdot (x + 2)$ dziedziną jest $[1, \infty)$. Z równania wychodzą $x = 1$ i $x = -2$, ale $-2$ leży poza dziedziną – jedynym miejscem zerowym jest $1$.

Przykład 3 – parametr z miejsca zerowego. Liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f(x) = x^3 + ax - 6$. Oblicz $a$.

Z definicji $f(2) = 0$, więc podstawiamy $x = 2$:

Nie trzeba rozwiązywać żadnego równania trzeciego stopnia – zdanie „liczba $2$ jest miejscem zerowym" to gotowe równanie $f(2) = 0$ z jedną niewiadomą $a$. Ten sam schemat działa dla funkcji liniowej, kwadratowej i każdej innej.

Wszystkie wiersze poza trzecim opisują w gruncie rzeczy te same liczby – różni się tylko zapis. Trzeci wiersz jest tu dlatego, że punkt przecięcia z osią $y$ to najczęstsza pomyłka przy pytaniu o miejsce zerowe.

Punkt zamiast liczby. Na pytanie „podaj miejsce zerowe" uczeń odpowiada $(2, 0)$. To punkt, w którym wykres przecina oś $x$, a miejscem zerowym jest sama liczba $2$. W zadaniach otwartych z lukami „Miejscem zerowym funkcji jest liczba ……" wpisuje się wyłącznie liczbę.

Liczenie $f(0)$ zamiast rozwiązania $f(x) = 0$. Podstawienie zera za $x$ daje punkt przecięcia z osią $y$ – dla funkcji z wykresu wychodzi $f(0) = 3$, a $3$ przypadkiem jest też miejscem zerowym, co tylko utrwala pomyłkę. Miejsce zerowe to argument, dla którego zerem jest wartość, a nie argument równy zero.

Pominięta dziedzina. Dla $g(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 1}$ licznik zeruje się w $-3$ i $1$, ale $1$ zeruje także mianownik. Kto nie sprawdzi dziedziny, poda $1$ jako miejsce zerowe funkcji, która w tym punkcie nie jest nawet określona.

Skracanie przed wyznaczeniem dziedziny. Funkcja $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}$ po skróceniu wygląda jak $x - 1$, więc kusi odpowiedź $x = 1$. Tymczasem $1$ nie należy do dziedziny – ta funkcja nie ma żadnego miejsca zerowego. Dziedzinę wyznacza się z wzoru przed skracaniem.

Rozwiązanie spoza przedziału we wzorze „klamrowym". Gdy funkcja ma różne wzory w różnych przedziałach, rozwiązanie równania z danego wzoru liczy się tylko wtedy, gdy leży w przedziale tego wzoru. Szczególnie zdradliwe są końce otwarte – przykład z arkusza CKE jest w komentarzu autora niżej. Więcej o takich funkcjach: funkcja określona różnymi wzorami w przedziałach.

Dzielenie przez $x$. Z równania $x^3 = 4x$ uczeń dzieli obie strony przez $x$ i dostaje $x^2 = 4$, czyli $x = -2$ albo $x = 2$. Zgubił $x = 0$. Poprawnie: $x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2) = 0$, więc funkcja $f(x) = x^3 - 4x$ ma trzy miejsca zerowe: $-2$, $0$ i $2$.

Puste kółko na osi. Jeżeli wykres kończy się na osi $x$ pustym kółkiem, ta liczba nie należy do dziedziny (albo funkcja ma tam inną wartość) i nie jest miejscem zerowym. Liczą się tylko punkty wykresu zaznaczone pełnym kółkiem albo leżące wewnątrz linii.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: