Ciąg liczbowy – wzór ogólny i wyrazy ciągu

Ciąg liczbowy to funkcja, której argumentami są kolejne liczby naturalne dodatnie $1, 2, 3, \ldots$, a wartościami – liczby rzeczywiste. Argument nazywamy numerem wyrazu i oznaczamy literą $n$, a wartość dla numeru $n$ to $n$-ty wyraz ciągu, zapisywany $a_n$ zamiast $f(n)$. Cały ciąg zapisujemy w nawiasie: $(a_n)$. Na maturze ta definicja pojawia się w stałej formułce: „ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem … dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$".

Wzór ogólny (wzór na $n$-ty wyraz) to przepis, który z numeru $n$ od razu daje wyraz $a_n$ – bez liczenia wyrazów poprzednich. Dla $a_n = n^2 - 6n + 5$ wyraz trzeci to $a_3 = 9 - 18 + 5 = -4$, a wyraz setny to $a_{100} = 10000 - 600 + 5 = 9405$. Ciąg można też opisać inaczej, na przykład podając pierwszy wyraz i regułę tworzenia następnego – to wzór rekurencyjny, który ma osobne hasło.

Z tego, że ciąg jest funkcją określoną tylko na liczbach naturalnych dodatnich, wynikają cztery zasady, na których opiera się większość zadań:

• Numer wyrazu to zawsze liczba naturalna, co najmniej $1$. Nie istnieje wyraz $a_0$, $a_{-2}$ ani $a_{2{,}5}$ (chyba że treść wprost mówi o ciągu określonym od $n = 0$).
• Wyraz obliczasz przez podstawienie numeru w miejsce każdego $n$ we wzorze. Dotyczy to też wyrażeń: $a_{n+1}$ powstaje przez wstawienie $n + 1$ w nawiasie.
• „Który wyraz jest równy $b$?" to równanie z niewiadomą $n$. Rozwiązanie liczy się tylko wtedy, gdy jest liczbą naturalną $n \geq 1$. Wynik ujemny, zero albo ułamek odrzucasz – a jeśli nie zostaje nic, liczba $b$ nie jest wyrazem ciągu.
• „Ile wyrazów jest dodatnich (ujemnych)?" to nierówność z niewiadomą $n$. Rozwiązujesz ją jak zwykłą nierówność, a na końcu liczysz tylko liczby naturalne dodatnie, które należą do zbioru rozwiązań.

Wykresem ciągu nie jest linia, tylko osobne punkty $(1, a_1), (2, a_2), (3, a_3), \ldots$ – po jednym nad każdą liczbą naturalną. Między nimi nic nie ma, bo ciąg nie jest określony dla $n = 1{,}5$. Ciągi szczególne – arytmetyczny i geometryczny – oraz badanie, czy ciąg rośnie, czy maleje (monotoniczność ciągu), mają własne hasła. Tu zajmujemy się tym, co jest wspólne dla wszystkich ciągów: wzorem ogólnym i obliczaniem wyrazów.

Przykład 1 – wyrazy ze wzoru, także $a_{n+1}$. Ciąg jest określony wzorem $a_n = n^2 - 2n$ dla $n \geq 1$. Oblicz $a_1$, $a_4$, $a_{10}$ i zapisz wzór na $a_{n+1}$.

Podstawiamy numer w miejsce każdego $n$: $a_1 = 1 - 2 = -1$, $a_4 = 16 - 8 = 8$, $a_{10} = 100 - 20 = 80$. Przy $a_{n+1}$ wstawiamy całe wyrażenie $n + 1$ w nawiasie:

Kontrola: dla $n = 3$ wzór daje $a_4 = 9 - 1 = 8$ – tyle samo, ile policzyliśmy wprost.

Przykład 2 – który wyraz jest równy danej liczbie? Ciąg jest określony wzorem $a_n = n^2 + 2n - 7$ dla $n \geq 1$. Który wyraz tego ciągu jest równy $8$? Czy liczba $20$ jest wyrazem tego ciągu?

Przyrównujemy wzór do $8$ i rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Równanie ma dwa rozwiązania: $n = -5$ i $n = 3$. Numer wyrazu musi być liczbą naturalną dodatnią, więc $n = -5$ odrzucamy. Odpowiedź: $8$ to trzeci wyraz ciągu, $a_3 = 9 + 6 - 7 = 8$.

Dla liczby $20$ dostajemy $n^2 + 2n - 27 = 0$, a wyróżnik $\Delta = 4 + 108 = 112$ nie jest kwadratem liczby całkowitej. Rozwiązania są niewymierne (dodatnie wynosi około $4{,}29$), więc żadne nie jest liczbą naturalną – $20$ nie jest wyrazem ciągu. Widać to też z sąsiednich wyrazów: $a_4 = 17$, a $a_5 = 28$, więc ciąg „przeskakuje" liczbę $20$.

Przykład 3 – ile wyrazów jest dodatnich? Ciąg jest określony wzorem $a_n = -n^2 + 9n - 14$ dla $n \geq 1$. Ile wyrazów tego ciągu jest dodatnich?

Rozkładamy wzór na czynniki: $a_n = -(n - 2)(n - 7)$. Szukamy $n$, dla których $a_n > 0$ – to nierówność kwadratowa:

Liczby naturalne w przedziale $(2, 7)$ to $3, 4, 5, 6$ – dodatnie są cztery wyrazy: $a_3 = 4$, $a_4 = 6$, $a_5 = 6$, $a_6 = 4$. Wyrazy $a_2$ i $a_7$ są równe zero, więc do dodatnich się nie liczą. Ujemnych wyrazów jest nieskończenie wiele: $a_1 = -6$ oraz wszystkie od $a_8 = -6$ w górę.

Najczęstsza pomyłka to $n$ wzięte za $a_n$: w pytaniu „który wyraz?" odpowiedzią jest numer, a w pytaniu „jaki jest wyraz?" – wartość. Druga para to ciąg i funkcja: wzór $n^2 - 6n + 5$ wygląda jak funkcja kwadratowa, ale ciąg bierze z niej tylko wartości w punktach $1, 2, 3, \ldots$ – samą funkcję opisuje hasło pojęcie funkcji.

Rozwiązanie ujemne zostawione w odpowiedzi. Z równania $n^2 + 2n - 15 = 0$ wychodzą $n = -5$ i $n = 3$, a uczeń pisze „wyrazy o numerach $-5$ i $3$". Wyraz o numerze $-5$ nie istnieje. Po rozwiązaniu równania zawsze sprawdź każde $n$: zostaje tylko liczba naturalna $n \geq 1$.

Ułamek przyjęty za numer wyrazu. Z równania $4n - 2 = 10$ wychodzi $n = 3$, ale z $3n = 10$ wychodzi $n = \frac{10}{3}$. Kto zapisze „$10$ jest wyrazem obu ciągów", pomija, że $\frac{10}{3}$ nie jest liczbą naturalną. Poprawnie: $10$ jest wyrazem ciągu $4n - 2$ (to $a_3$) i nie jest wyrazem ciągu $3n$.

$a_{n+1}$ policzone jako $a_n + 1$. Dla $a_n = n^2 - 2n$ zapis $a_{n+1} = n^2 - 2n + 1$ jest błędny – dodaje jedynkę do wyrazu zamiast zmieniać numer. Poprawnie wstawiamy $n + 1$ w każde miejsce $n$: $a_{n+1} = (n+1)^2 - 2(n+1) = n^2 - 1$. Kontrola: podstaw $n = 1$ do swojego wzoru i porównaj z $a_2$ policzonym wprost ($a_2 = 0$).

Potęga $2^n$ odczytana jako $2n$. W maju 2023 (poziom podstawowy, zadanie 15) wzór miał postać $a_n = 2^n \cdot (n + 1)$. Odczytanie go jako $2n \cdot (n + 1)$ daje $a_4 = 40$ – i ta liczba stała wśród odpowiedzi. Poprawnie $a_4 = 2^4 \cdot 5 = 80$. Gdy wykładnik jest mały, sprawdź, czy $n$ stoi w indeksie górnym, czy obok.

Zero liczone jako wyraz dodatni albo ujemny. Dla $a_n = -(n - 2)(n - 7)$ wyrazy $a_2$ i $a_7$ są równe $0$. Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne. Jeśli pytanie brzmi „ile wyrazów jest niedodatnich", zera trzeba doliczyć; jeśli „ile jest ujemnych" – nie.

Zła liczba wyrazów w przedziale. Z nierówności wychodzi $n < 32$, a uczeń odpowiada „$32$ wyrazy". Liczby naturalne $n \geq 1$ spełniające $n < 32$ to $1, 2, \ldots, 31$ – jest ich $31$. Przy nierówności ostrej sprawdź końce przedziału osobno, a liczbę wyrazów od $a_k$ do $a_m$ licz jako $m - k + 1$.

Zgubiony minus przy $(-1)^n$. Dla $a_n = (-1)^n \cdot \frac{n + 1}{2}$ wyraz trzeci to $(-1)^3 \cdot 2 = -2$, a nie $2$. Nieparzysty wykładnik daje $-1$, parzysty daje $1$. Zanim pomnożysz, policz osobno znak, a osobno resztę wzoru.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: