Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz – od drugiego począwszy – dostajemy, mnożąc poprzedni wyraz przez tę samą liczbę. Ta liczba to iloraz ciągu, oznaczany literą $q$. W ciągu $5, 15, 45, 135, \ldots$ każdy wyraz jest trzy razy większy od poprzedniego, więc $q = 3$.

Iloraz liczymy jednym sposobem: wyraz następny podzielony przez wyraz poprzedni, czyli $q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$. Odwrócenie ułamka daje $\frac{1}{q}$ zamiast $q$ – w ciągu $48, 24, 12, \ldots$ iloraz to $\frac{24}{48} = \frac{1}{2}$, a nie $2$. Iloraz może być ułamkiem i może być ujemny. Przy $q < 0$ znaki wyrazów się przeplatają: $2, -6, 18, -54, \ldots$ to ciąg geometryczny o ilorazie $q = -3$.

Ciąg geometryczny wyznaczają dwie liczby: pierwszy wyraz $a_1$ i iloraz $q$. Z nich wzór $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ daje dowolny wyraz bez liczenia wszystkich poprzednich. Najważniejsze zasady:

• iloraz to zawsze następny wyraz przez poprzedni, a od wyrazu $a_k$ do wyrazu $a_n$ mnożymy przez $q$ dokładnie $n - k$ razy,
• trzy kolejne wyrazy $a, b, c$ ciągu geometrycznego spełniają warunek $b^2 = a \cdot c$,
• z warunku $b^2 = a \cdot c$ środkowy wyraz wychodzi z dokładnością do znaku: dla $a = 2$ i $c = 18$ mamy $b^2 = 36$, czyli $b = 6$ albo $b = -6$; oba ciągi, $(2, 6, 18)$ i $(2, -6, 18)$, są geometryczne,
• to, czy ciąg rośnie, czy maleje, zależy od obu liczb: od $q$ i od znaku $a_1$.

Ostatnia zasada jest źródłem wielu pomyłek. Dla $a_1 \neq 0$ wygląda to tak (ogólna metoda badania w haśle monotoniczność ciągu):

• $q > 1$ – ciąg rośnie, gdy $a_1 > 0$, i maleje, gdy $a_1 < 0$,
• $0 < q < 1$ – odwrotnie: maleje, gdy $a_1 > 0$, i rośnie, gdy $a_1 < 0$,
• $q = 1$ – ciąg jest stały,
• $q < 0$ – znaki wyrazów się zmieniają, więc ciąg nie jest ani rosnący, ani malejący.

Zostaje przypadek $q = 0$: ciąg $a_1, 0, 0, 0, \ldots$ nie jest ani rosnący, ani malejący. Czy taki ciąg w ogóle nazywa się geometrycznym, zależy od przyjętej definicji – piszemy o tym w FAQ.

Przykład 1 – dwa wyrazy dane, szukany trzeci. W ciągu geometrycznym $a_3 = 12$ i $a_6 = 96$. Oblicz $a_8$.

Od wyrazu trzeciego do szóstego są trzy mnożenia przez $q$, więc $a_6 = a_3 \cdot q^3$:

Wykładnik jest nieparzysty, więc $q = 2$ to jedyne rozwiązanie. Do ósmego wyrazu brakuje jeszcze dwóch mnożeń:

Kontrola przez pierwszy wyraz: $a_1 = \frac{a_3}{q^2} = 3$, a $3 \cdot 2^7 = 384$.

Przykład 2 – trzy wyrazy z niewiadomą i dwa rozwiązania. Ciąg $(x,\ 6,\ x + 5)$ jest geometryczny. Oblicz $x$.

Środkowy wyraz podniesiony do kwadratu równa się iloczynowi skrajnych:

Równanie ma dwa pierwiastki: $x = 4$ albo $x = -9$. Oba są dobre. Dla $x = 4$ ciąg to $(4,\ 6,\ 9)$ o ilorazie $\frac{3}{2}$, a dla $x = -9$ ciąg $(-9,\ 6,\ -4)$ o ilorazie $-\frac{2}{3}$. Gdyby treść dodała „ciąg jest rosnący", zostałoby tylko $x = 4$ – drugi ciąg ma wyrazy o przemiennych znakach.

Przykład 3 – iloraz i monotoniczność ze wzoru. Ciąg jest określony wzorem $a_n = -3 \cdot 2^n$. Wyznacz iloraz i zbadaj, czy ciąg jest rosnący.

Dzielimy wyraz następny przez poprzedni:

Iloraz nie zależy od $n$, więc ciąg jest geometryczny. Pierwszy wyraz to $a_1 = -3 \cdot 2 = -6$. Mamy $q > 1$ i $a_1 < 0$, więc ciąg jest malejący: $-6, -12, -24, -48, \ldots$ Mimo że iloraz jest większy od $1$, wyrazy maleją, bo każde mnożenie przez $2$ oddala je od zera w stronę liczb ujemnych.

Po angielsku ciąg geometryczny to geometric sequence (progression), a iloraz – common ratio. Tabela dotyczy ciągów z $a_1 \neq 0$; ciąg zerowy $0, 0, 0, \ldots$ jest stały przy każdym $q$. Porównanie z ciągiem arytmetycznym (różnica zamiast ilorazu, $2b = a + c$ zamiast $b^2 = ac$) jest w haśle ciąg arytmetyczny.

Iloraz liczony odwrotnie. W ciągu $27, 9, 3, \ldots$ zapis $q = \frac{27}{9} = 3$ robi z ciągu malejącego rosnący, a każdy kolejny wyraz wychodzi za duży. Poprawnie: $q = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$, więc czwarty wyraz to $1$, a nie $729$.

Dzielenie przez liczbę kroków zamiast pierwiastka. Z $a_2 = 2$ i $a_5 = 54$ wynika $q^3 = 27$. Kto „rozkłada" liczbę $27$ na trzy kroki dzieleniem, dostaje $q = 9$ – a to dokładnie jedna z błędnych odpowiedzi w zadaniu CKE. Trzy kroki to trzy mnożenia, więc trzeba wyciągnąć pierwiastek trzeciego stopnia: $q = 3$.

Zgubiony minus przy pierwiastku parzystego stopnia. Z $q^2 = \frac{1}{25}$ wynikają dwie wartości: $q = \frac{1}{5}$ albo $q = -\frac{1}{5}$. Tak samo z $b^2 = 36$ wychodzi $b = 6$ albo $b = -6$. O tym, która wartość zostaje, decyduje dodatkowy warunek z treści (ciąg malejący, wyrazy dodatnie). Bez takiego warunku obie odpowiedzi są poprawne.

$q^n$ zamiast $q^{n-1}$. Wzór $a_n = a_1 \cdot q^n$ dla $n = 1$ daje $a_1 \cdot q$, czyli drugi wyraz zamiast pierwszego. Kontrola jest ta sama co w ciągu arytmetycznym: podstaw $n = 1$ i sprawdź, czy wychodzi $a_1$.

„Iloraz większy od 1, więc ciąg rośnie". To prawda tylko dla $a_1 > 0$. Ciąg $-6, -12, -24, \ldots$ ma $q = 2$ i maleje. Tak samo „ujemny iloraz, więc ciąg maleje" jest fałszem – przy $q < 0$ i $a_1 \neq 0$ ciąg nie jest monotoniczny, bo jego wyrazy skaczą między liczbami dodatnimi i ujemnymi.

Potęga liczby ujemnej bez nawiasu. Zapis $-2^4$ oznacza $-16$, a $(-2)^4 = 16$. Przy $q = -2$ czwarty wyraz ciągu o $a_1 = 1$ to $a_4 = 1 \cdot (-2)^3 = -8$. Ujemny iloraz zawsze bierz w nawias, zanim podniesiesz go do potęgi.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: