Wszystkie zagadnienia: Funkcje i ciągi

średni matura podstawowa z matematykimatura rozszerzona z matematykiciągitrzy kolejne wyrazyzadania praktyczne

Zadania z ciągami – własności i kontekst praktyczny

Q: Czy ciąg może być jednocześnie arytmetyczny i geometryczny?

Tak, ale tylko ciąg stały. Dla trzech liczb z warunków 2b = a + c i b^2 = ac wynika (a - c)^2 = 0, czyli a = c, a stąd także b = a. Na przykład ciąg (7, 7, 7) jest arytmetyczny o różnicy 0 i geometryczny o ilorazie 1.

Q: Jak rozpoznać w zadaniu z treścią, który to ciąg?

Szukaj słów opisujących zmianę. „O 3 więcej", „o 0,5 km dłużej" – wielkość rośnie o stałą liczbę, więc to ciąg arytmetyczny. „Dwa razy więcej", „o 20\% więcej niż poprzednio" – rośnie stałą liczbę razy, więc to ciąg geometryczny. Potem ustal, który wyraz opisuje chwilę startu: pierwszy dzień to n = 1.

Opis

To hasło nie wprowadza nowego pojęcia. Zbiera metodę na zadania, w których pojawiają się naraz ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny, oraz na zadania, w których ciąg trzeba dopiero wyczytać z opisu sytuacji – kolejnych rzędów, dni czy pomiarów. Wzory na pojedyncze wyrazy mieszkają w hasłach o obu ciągach; tutaj chodzi o to, jak z kilku zdań treści zrobić układ równań, rozwiązać go i nie zgubić punktów na końcu.

Typowa treść brzmi tak: „trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, a po zmianie jednej z nich – ciąg arytmetyczny". Każde takie zdanie to jedno równanie. Dla trzech kolejnych wyrazów $a, b, c$ ciągu arytmetycznego zapisujesz $2b = a + c$ , a dla ciągu geometrycznego $b^2 = ac$ . Resztę daje treść: suma, różnica dwóch wyrazów, numer wyrazu w dłuższym ciągu.

Metoda w czterech krokach:

Nazwij niewiadome oszczędnie. Zamiast trzech liczb $x, y, z$ wyraź wszystko przez dwie: $a_1$ i $r$ (albo środek $b$ i $r$ ) dla ciągu arytmetycznego, $y$ i $q$ dla geometrycznego.
Przetłumacz każde zdanie na równanie – słownik takich tłumaczeń jest w tabeli niżej.
Rozwiąż układ przez podstawianie aż do równania z jedną niewiadomą, zwykle kwadratowego (o jego rozwiązywaniu – hasło równanie kwadratowe).
Odrzuć i sprawdź. Każde rozwiązanie podstaw z powrotem i odrzuć to, które łamie warunek z treści: wyrazy dodatnie, ciąg rosnący, liczba wyrazów większa od 6.

Zadania z kontekstem praktycznym działają tak samo, tylko pierwszy krok jest trudniejszy. Trzeba rozpoznać, czy wielkość rośnie o tyle samo (ciąg arytmetyczny), czy tyle samo razy (ciąg geometryczny), i ustalić, który wyraz odpowiada pierwszemu dniu, rzędowi czy pomiarowi. Procent składany na lokatach ma osobne hasło – procent składany, lokaty i kredyty.

Na poziomie rozszerzonym metoda jest ta sama, ale warunków jest więcej i zadania są otwarte za 4–5 punktów. Do dwóch ciągów dochodzi często suma wyrazów albo liczba wyrazów do wyznaczenia, a punkty za ostatni krok przyznaje się dopiero po odrzuceniu niewłaściwych rozwiązań.

Wzory

Trzy wyrazy ciągu arytmetycznego przez środek

(b - r,\ b,\ b + r)

Suma tych wyrazów to

3b

– gdy treść podaje sumę, środek masz od razu.

Trzy wyrazy ciągu geometrycznego przez środek

\left(\frac{y}{q},\ y,\ yq\right)

Dla

q \neq 0

. Iloczyn tych wyrazów to

y^3

Stosunek odstępów w ciągu arytmetycznym

\frac{a_m - a_k}{a_l - a_k} = \frac{m - k}{l - k}

Dla

r \neq 0

l \neq k

. Dla wyrazów pierwszego, drugiego i szóstego:

z - x = 5(y - x)

Ciąg jednocześnie arytmetyczny i geometryczny

a = b = c

2b = a + c

b^2 = ac

wynika

(a - c)^2 = 0

, więc trzy takie liczby są równe.

Tabela

Słownik „zdanie z treści → równanie" dla zadań łączących oba ciągi

Zdanie w treści	Co zapisujesz	Na co uważać
Ciąg $(a, b, c)$ jest arytmetyczny	$2b = a + c$	środkowy wyraz razy $2$
Ciąg $(a, b, c)$ jest geometryczny	$b^2 = ac$	nie $b = \sqrt{ac}$ – środek może być ujemny
Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny o sumie $S$	$b = \frac{S}{3}$ , wyrazy $b - r,\ b,\ b + r$	jedna niewiadoma $r$ zamiast trzech
$x, y, z$ to pierwszy, drugi i szósty wyraz ciągu arytmetycznego	$y = x + r$ , $z = x + 5r$	kroków jest o jeden mniej niż numer wyrazu
$a_2, a_3, a_6$ ciągu arytmetycznego tworzą ciąg geometryczny	$(a_1 + 2r)^2 = (a_1 + r)(a_1 + 5r)$	wszystko przez $a_1$ i $r$
Trzeci wyraz pomniejszamy o $4$	nowy ciąg $(x, y, z - 4)$	pozostałe wyrazy bez zmian
Ciąg ma wyrazy dodatnie	sprawdzasz każdy wyraz	odpada rozwiązanie z ujemnym wyrazem
Ciąg jest rosnący	$r > 0$ albo $x < y < z$	odpada ciąg stały ( $r = 0$ , $q = 1$ )

Przykład

Przykład 1 – suma i zmiana wyrazów. Trzy liczby tworzą rosnący ciąg arytmetyczny o sumie $15$ . Jeżeli do drugiej dodamy $1$ , a do trzeciej $5$ , otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.

Suma trzech wyrazów ciągu arytmetycznego to trzy razy środek, więc $3b = 15$ i $b = 5$ . Liczby zapisujemy jako $5 - r,\ 5,\ 5 + r$ . Po zmianie dostajemy ciąg $(5 - r,\ 6,\ 10 + r)$ , który ma być geometryczny:

6^2 = (5 - r)(10 + r)

Po wymnożeniu $36 = 50 - 5r - r^2$ , czyli $r^2 + 5r - 14 = 0$ . Stąd $r = 2$ albo $r = -7$ . Ciąg ma być rosnący, więc $r = -7$ odpada (dawałby liczby $12, 5, -2$ ). Zostaje $r = 2$ i liczby $3, 5, 7$ . Sprawdzenie: suma $15$ , a ciąg $(3,\ 6,\ 12)$ jest geometryczny o ilorazie $2$ .

Przykład 2 – zadanie z matury (maj 2024, poziom rozszerzony, zadanie 7). Trzywyrazowy ciąg $(x, y, z)$ jest geometryczny i rosnący, a suma jego wyrazów wynosi $105$ . Liczby $x, y, z$ są – odpowiednio – pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz $x$ , $y$ oraz $z$ .

Przez $r$ oznaczamy różnicę ciągu arytmetycznego. Drugi wyraz to jeden krok od pierwszego, szósty – pięć kroków, więc $y = x + r$ i $z = x + 5r$ . Suma daje $3x + 6r = 105$ , czyli $x = 35 - 2r$ . Stąd $y = 35 - r$ i $z = 35 + 3r$ . Warunek ciągu geometrycznego:

(35 - r)^2 = (35 - 2r)(35 + 3r)

Po wymnożeniu $1225 - 70r + r^2 = 1225 + 35r - 6r^2$ , czyli $7r^2 - 105r = 0$ i $7r(r - 15) = 0$ . Tu jest pułapka: nie wolno podzielić obu stron przez $r$ bez zapisu $r \neq 0$ . Rozkład na czynniki daje oba rozwiązania, $r = 0$ albo $r = 15$ , i dopiero teraz sprawdzamy je z treścią:

$r$	$(x, y, z)$	geometryczny?	rosnący?	suma
$0$	$(35,\ 35,\ 35)$	tak, $q = 1$	nie – stały	$105$
$15$	$(5,\ 20,\ 80)$	tak, $q = 4$	tak	$105$

Ciąg stały nie jest rosnący, więc zostaje $x = 5$ , $y = 20$ , $z = 80$ – to odpowiedź z klucza. Ostatnie sprawdzenie: ciąg arytmetyczny o $a_1 = 5$ i $r = 15$ ma $a_2 = 20$ i $a_6 = 5 + 5 \cdot 15 = 80$ . Klucz dopuszcza też drogę przez iloraz: $y = xq$ , $z = xq^2$ , a z ciągu arytmetycznego $z - y = 4(y - x)$ , co daje $x(q - 1)(q - 4) = 0$ . Wtedy $q = 1$ odpada z tego samego powodu co $r = 0$ .

Przykład 3 – kontekst praktyczny. Dwa plany treningowe zaczynają się od $2$ km pierwszego dnia. W planie A każdego kolejnego dnia biegnie się o $0{,}5$ km więcej, w planie B – o $20\%$ więcej niż poprzedniego dnia. Od którego dnia plan B daje dłuższy dystans?

Plan A rośnie o tyle samo, więc to ciąg arytmetyczny $a_n = 2 + 0{,}5(n - 1)$ . Plan B rośnie tyle samo razy, więc to ciąg geometryczny o ilorazie $1{,}2$ : $b_n = 2 \cdot 1{,}2^{n-1}$ . Nierówności $b_n > a_n$ nie rozwiążemy przekształceniami, ale wystarczy porównać kolejne wyrazy (wartości $b_n$ zaokrąglone do tysięcznych):

dzień $n$	plan A: $a_n$	plan B: $b_n$	który dłuższy
1	2	2	równe
2	2,5	2,4	A
3	3	2,88	A
4	3,5	3,456	A
5	4	4,147	B
6	4,5	4,977	B

Od piątego dnia plan B jest dłuższy i przewaga już tylko rośnie, bo przyrosty w planie B są coraz większe, a w planie A stałe. Zwróć uwagę na numerację: pierwszy dzień to $n = 1$ , więc wykładnik w $b_n$ to $n - 1$ , a nie $n$ .

Porównanie

Sposób	Wyrazy	Kiedy wygodny	Pułapka
Przez $a_1$ i $r$	$a_1,\ a_1 + r,\ a_1 + 2r$	wyrazy o dalekich numerach ( $a_2, a_6$ )	łatwo o złą liczbę kroków
Przez środek	$b - r,\ b,\ b + r$	treść podaje sumę trzech liczb	działa tylko dla trzech kolejnych wyrazów
Przez $x$ i $q$	$x,\ xq,\ xq^2$	warunki dotyczą ciągu geometrycznego	dzielenie przez $x$ albo $q - 1$ bez zastrzeżenia
Przez środek i $q$	$\frac{y}{q},\ y,\ yq$	treść podaje iloczyn trzech liczb	ułamki – trzeba założyć $q \neq 0$

Po angielsku ciąg arytmetyczny to „arithmetic sequence", a geometryczny – „geometric sequence". Wybór sposobu nie wpływa na wynik, tylko na długość rachunków – klucze CKE do zadań z tego hasła wymieniają zwykle kilka równoprawnych dróg (w maju 2024 – cztery).

Typowe błędy

Zamienione warunki obu ciągów. Uczeń zapisuje $b^2 = ac$ dla ciągu arytmetycznego albo $2b = a + c$ dla geometrycznego. Wychodzą liczby, które nie spełniają treści, a w zasadach oceniania CKE (np. maj 2026, poziom rozszerzony, zadanie 6) taka pomyłka oznacza 0 punktów za całe zadanie. Przed pierwszym równaniem dopisz przy każdym ciągu, który to typ.

Pierwiastek zamiast kwadratu. Zapis $y = \sqrt{xz}$ zakłada, że środek ciągu geometrycznego jest dodatni, i gubi rozwiązania z ujemnym środkiem, takie jak ciąg $(1, -2, 4)$ . Zasady oceniania z czerwca 2026 (poziom rozszerzony, zadanie 8) przewidują za taki zapis co najwyżej 3 punkty z 4. Pisz zawsze $y^2 = xz$ .

Dzielenie przez niewiadomą. Z równania $7r^2 = 105r$ uczeń dzieli przez $r$ i dostaje tylko $r = 15$ . Przypadek $r = 0$ znika bez śladu, a z nim uzasadnienie, dlaczego odpada. W maju 2024 (poziom rozszerzony, zadanie 7) za dzielenie bez zapisu, że dzielnik jest różny od zera, można było dostać co najwyżej 3 punkty z 4. Przenieś wszystko na jedną stronę i wyłącz czynnik przed nawias: $7r(r - 15) = 0$ .

Nieodrzucone rozwiązanie. Równanie kwadratowe daje dwa wyniki, a treść dopuszcza jeden. W czerwcu 2023 (poziom rozszerzony, zadanie 11) ciąg miał wyrazy dodatnie, więc rozwiązanie z $a = -\frac{49}{2}$ trzeba było odrzucić – kto podał dwie trójki liczb, mógł dostać najwyżej 4 punkty z 5. Po rozwiązaniu równania przeczytaj treść jeszcze raz i wypisz wszystkie warunki.

Odrzucenie za dużo. Odwrotny błąd: uczeń zostawia jedno rozwiązanie „dla porządku", choć treść nie daje powodu, by odrzucić drugie. W czerwcu 2026 (poziom rozszerzony, zadanie 8) poprawne są obie trójki: $(1, 3, 9)$ i $\left(\frac{1}{9}, \frac{7}{9}, \frac{49}{9}\right)$ . Odrzucasz tylko wtedy, gdy umiesz wskazać warunek, który rozwiązanie łamie.

Zła liczba kroków. Szósty wyraz ciągu arytmetycznego to $a_1 + 5r$ , a nie $a_1 + 6r$ . Podobnie odstęp między wyrazem drugim a szóstym to cztery różnice: $z - y = 4(y - x)$ , a nie odwrotnie. W maju 2024 zapis $y - x = 4(z - y)$ ograniczał wynik do 2 punktów z 4.

Przesunięty numer w kontekście. Kultura bakterii liczy $500$ sztuk i podwaja się co godzinę. Stan początkowy to pierwszy wyraz, więc liczebność po $3$ godzinach to czwarty wyraz: $500 \cdot 2^3 = 4000$ , a nie $500 \cdot 2^2 = 2000$ . Zanim zapiszesz wzór, ustal, który wyraz opisuje chwilę startu.

Sprawdź się

Uzupełnij tabelę: dla każdego ciągu podaj $x$ , przy którym ciąg jest arytmetyczny, i $x$ , przy którym jest geometryczny.

Ciąg	arytmetyczny: $x =$	geometryczny: $x =$
$(3, 6, x)$
$(x, 4, 8)$
$(2, x, 18)$ , wyrazy dodatnie

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny o sumie $24$ . Środkowa z nich jest równa .

Liczby $x, y, z$ są pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wtedy $z - x = k(y - x)$ dla $k =$ .

Równanie dało $r = 0$ albo $r = 4$ , a ciąg ma być rosnący. Zostaje $r =$ .

Ciąg $(7, b, c)$ jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny. Wtedy $c =$ .

W pierwszym rzędzie widowni stoi $12$ krzeseł, a w każdym następnym o $2$ więcej. W dziesiątym rzędzie jest krzeseł.

Kultura liczy $500$ bakterii i podwaja się co godzinę. Po $3$ godzinach liczy bakterii.

Najczęściej zadawane pytania

Jak zacząć zadanie, w którym są dwa ciągi naraz?

Wypisz wszystkie warunki z treści, każdy w osobnej linii, i przy każdym ciągu zaznacz, czy jest arytmetyczny, czy geometryczny. Potem wyraź wyrazy przez dwie niewiadome – na przykład $a_1$ i $r$ – i zamień każdy warunek na równanie: $2b = a + c$ dla ciągu arytmetycznego, $b^2 = ac$ dla geometrycznego. Podstawianie prowadzi zwykle do równania kwadratowego z jedną niewiadomą.

Którą niewiadomą wybrać: różnicę r czy iloraz q?

Tę, która daje prostsze wyrażenia. Gdy treść mówi o wyrazach ciągu arytmetycznego o dalekich numerach (drugi, szósty), wygodniej liczyć przez $a_1$ i $r$ . Gdy podaje sumę trzech liczb ciągu arytmetycznego, najkrócej jest przez środek: $b - r,\ b,\ b + r$ . Gdy podaje iloczyn wyrazów ciągu geometrycznego, wygodny jest zapis $\frac{y}{q},\ y,\ yq$ . Wynik jest ten sam w każdym przypadku.

Dlaczego nie wolno podzielić równania przez niewiadomą?

Bo niewiadoma może być równa zero, a dzielenie przez zero gubi to rozwiązanie. Z $7r^2 = 105r$ po podzieleniu przez $r$ zostaje tylko $r = 15$ , a $r = 0$ znika. Poprawnie: $7r(r - 15) = 0$ , więc $r = 0$ albo $r = 15$ , i dopiero warunki z treści rozstrzygają, który wynik zostaje. Zasady oceniania CKE obniżają ocenę za dzielenie bez zapisu, że dzielnik jest różny od zera.

Kiedy odrzucić jedno z rozwiązań?

Tylko wtedy, gdy łamie konkretny warunek z treści: wyrazy miały być dodatnie, ciąg rosnący albo malejący, liczba wyrazów naturalna i większa od podanej. Ciąg stały (różnica $0$ albo iloraz $1$ ) nie jest ani rosnący, ani malejący, więc odpada przy każdym takim warunku. Jeżeli treść żadnego warunku nie stawia, obie odpowiedzi są poprawne i trzeba podać obie.

Czy ciąg może być jednocześnie arytmetyczny i geometryczny?

Tak, ale tylko ciąg stały. Dla trzech liczb z warunków $2b = a + c$ i $b^2 = ac$ wynika $(a - c)^2 = 0$ , czyli $a = c$ , a stąd także $b = a$ . Na przykład ciąg $(7, 7, 7)$ jest arytmetyczny o różnicy $0$ i geometryczny o ilorazie $1$ .

Czy warunek b² = ac zawsze oznacza ciąg geometryczny?

Gdy wszystkie trzy liczby są różne od zera – tak. Gdy pojawia się zero, trzeba uważać: trójka $(0, 0, 5)$ spełnia $b^2 = ac$ , a ciągiem geometrycznym nie jest, bo z pierwszego wyrazu $0$ mnożenie przez iloraz daje same zera. Dlatego po rozwiązaniu zawsze wypisz wyrazy i sprawdź iloraz.

Jak rozpoznać w zadaniu z treścią, który to ciąg?

Szukaj słów opisujących zmianę. „O $3$ więcej", „o $0{,}5$ km dłużej" – wielkość rośnie o stałą liczbę, więc to ciąg arytmetyczny. „Dwa razy więcej", „o $20\%$ więcej niż poprzednio" – rośnie stałą liczbę razy, więc to ciąg geometryczny. Potem ustal, który wyraz opisuje chwilę startu: pierwszy dzień to $n = 1$ .

Czy wzory potrzebne w tych zadaniach są na karcie wzorów?

Tak. Na karcie „Wybrane wzory matematyczne" (rozdział 8, „Ciągi") są wzory na $n$ -ty wyraz obu ciągów i związki sąsiednich wyrazów: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ dla arytmetycznego i $(a_n)^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$ dla geometrycznego. Na karcie nie ma metody układania równań ani listy warunków do sprawdzenia – to trzeba przećwiczyć.

Komentarz Autora

Oba warunki, na których stoi ta metoda, są na karcie „Wybrane wzory matematyczne" (rozdział 8, „Ciągi"), tylko w innym zapisie: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ dla ciągu arytmetycznego i $(a_n)^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$ dla geometrycznego. Na karcie nie ma natomiast metody – tego, jak z trzech zdań treści zrobić układ równań.

Na poziomie podstawowym zadanie łączące oba ciągi to zwykle krótki test. W czerwcu 2024 (zadanie 18, za 1 punkt) ciąg $(-1, 2, x)$ był arytmetyczny, a $(-1, 2, y)$ geometryczny; z $x = 5$ i $y = -4$ wynika odpowiedź B ( $x > 0$ i $y < 0$ ). W sierpniu 2025 (zadanie 18) ten sam schemat dostał liczby $(\sqrt{5}, 1, x)$ i $(\sqrt{5}, 1, y)$ : $x = 2 - \sqrt{5} < 0$ i $y = \frac{1}{\sqrt{5}} > 0$ , odpowiedź znów B. W maju 2026 (zadanie 15, za 3 punkty) ciąg $a_n = 3n + 5$ jest arytmetyczny, a $(a_1, a_9, a_k)$ geometryczny: z $(8, 32, 128)$ wychodzi $k = 41$ . Kontekst praktyczny pojawił się w czerwcu 2025 (zadanie 24, za 4 punkty): krawędzie prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $4$ , pole powierzchni wynosi $94{,}5$ , a objętość z klucza to $27$ . Zasady oceniania ograniczają tam do 2 punktów rozwiązanie, które bierze krawędzie $a, a + 4, a + 8$ – czyli myli ciągi.

Na poziomie rozszerzonym to stały typ zadania otwartego. W czerwcu 2023 (zadanie 11, za 5 punktów) z ciągu geometrycznego $(a, b, c)$ o wyrazach dodatnich, arytmetycznego $(2a, 2b, c + 1)$ i warunku $c - b = 6$ wychodzi $a = 1$ , $b = 3$ , $c = 9$ . W maju 2024 (zadanie 7, za 4 punkty) – rozwiązane wyżej – odpowiedź to $5, 20, 80$ . W maju 2026 (zadanie 6, za 4 punkty) wyrazy $a_2, a_3, a_6$ ciągu arytmetycznego od $1$ do $-2025$ tworzą ciąg geometryczny; równanie daje $r = 0$ albo $r = -2$ , przy czym $r = 0$ odpada (ciąg stały nie skończy się na $-2025$ ). Stąd $n = 1014$ wyrazów i suma $-1\,026\,168$ . W czerwcu 2026 (zadanie 8, za 4 punkty) są dwa poprawne ciągi: $(1, 3, 9)$ oraz $\left(\frac{1}{9}, \frac{7}{9}, \frac{49}{9}\right)$ .

Z kluczy wynika jedna praktyczna rzecz: punkt za ostatni krok przyznaje się za wynik po odrzuceniu niewłaściwych rozwiązań, a nie za samo rozwiązanie równania. Dlatego na koniec zrób małą tabelkę – każdy kandydat w osobnym wierszu, a w kolumnach warunki z treści. Zajmuje minutę, a od razu widać, który wiersz zostaje i dlaczego.

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Ciąg arytmetycznyCiągi Ciąg geometrycznyCiągi Ciąg liczbowy – wzór ogólny i wyrazy ciąguCiągi Ciąg określony rekurencyjnieCiągi Granica ciąguCiągi Monotoniczność ciąguCiągi