Suma ciągu geometrycznego

Suma $S_n$ to wynik dodania $n$ początkowych wyrazów ciągu: $S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$. W ciągu geometrycznym każdy wyraz powstaje z poprzedniego przez pomnożenie przez iloraz $q$ (pojęcie ilorazu i wzór na $n$-ty wyraz omawia hasło ciąg geometryczny). Dzięki temu sumy nie trzeba liczyć wyraz po wyrazie – wystarczą trzy liczby: pierwszy wyraz $a_1$, iloraz $q$ i liczba wyrazów $n$.

Skąd bierze się wzór? Zapisz sumę, a pod nią tę samą sumę pomnożoną przez $q$:

Po odjęciu drugiej równości od pierwszej prawie wszystko się skraca i zostaje $S_n - q S_n = a_1 - a_1 q^n$, czyli $S_n(1 - q) = a_1(1 - q^n)$. Dzielimy przez $1 - q$ – i właśnie tu pojawia się warunek $q \neq 1$, bo przez zero dzielić nie wolno.

Najważniejsze zasady:

• Dla $q \neq 1$ suma wynosi $S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$. Ten sam wynik daje zapis $a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ – to ten sam ułamek, w którym licznik i mianownik pomnożono przez $-1$.
• Dla $q = 1$ wszystkie wyrazy są równe $a_1$, więc $S_n = n \cdot a_1$. Ogólny wzór dałby tu wyrażenie $\frac{0}{0}$ – nie da się go użyć.
• W sumie występuje potęga $q^n$, a nie $q^{n-1}$ jak we wzorze na $n$-ty wyraz. Wykładnik równa się liczbie dodawanych wyrazów.
• Przy ujemnym ilorazie potęgę zawsze bierz w nawias: $(-2)^4 = 16$, a $-2^4 = -16$. Znak $q^n$ zależy od tego, czy $n$ jest parzyste, więc suma może wyjść ujemna, nawet gdy $a_1 > 0$.

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (dla $\lvert q \rvert < 1$) to osobne zagadnienie – omawia je hasło szereg geometryczny. Ten sam wzór na sumę pojawia się też w zadaniach o regularnych wpłatach na lokatę; sam mechanizm oprocentowania omawia hasło procent składany.

Przykład 1 – ujemny iloraz. Ciąg geometryczny ma pierwszy wyraz $a_1 = 5$ i iloraz $q = -3$. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów.

Podstawiamy do wzoru z karty, biorąc $-3$ w nawias. Szósta potęga jest parzysta, więc $(-3)^6 = 729$:

Sprawdzenie przez wypisanie wyrazów: $5 - 15 + 45 - 135 + 405 - 1215 = -910$. Suma jest ujemna, mimo że pierwszy wyraz jest dodatni – ostatni wyraz $-1215$ przeważa nad resztą.

Przykład 2 – ile wyrazów trzeba dodać? W ciągu geometrycznym $a_1 = 3$ i $q = 2$. Ile początkowych wyrazów tego ciągu trzeba dodać, żeby otrzymać $765$?

Iloraz jest większy od $1$, więc wygodniej użyć zapisu z $q^n - 1$ w liczniku:

Ponieważ $256 = 2^8$, mamy $n = 8$. Niewiadoma stoi w wykładniku, więc na koniec trzeba rozpoznać potęgę – dlatego w takich zadaniach liczby dobiera się tak, żeby wyszła pełna potęga ilorazu.

Przykład 3 – iloraz z sumy. Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy $4$, a suma trzech początkowych wyrazów wynosi $28$. Wyznacz iloraz.

Dla trzech wyrazów najprościej zapisać sumę wprost, bez wzoru z ułamkiem: $4 + 4q + 4q^2 = 28$. Po podzieleniu przez $4$:

Oba ilorazy są dobre: ciąg $4, 8, 16$ i ciąg $4, -12, 36$ mają sumę $28$. Gdyby treść dodawała warunek, na przykład „ciąg jest rosnący", zostałby tylko $q = 2$. Zapis bezpośredni ma tę zaletę, że nie trzeba osobno sprawdzać przypadku $q = 1$ (tu dałby on sumę $12$, a nie $28$).

Wszystkie trzy wzory są na karcie „Wybrane wzory matematyczne". Wzór na szereg to granica $S_n$, gdy $n$ rośnie – dlatego znika w nim $q^n$, które dla $\lvert q \rvert < 1$ dąży do zera.

Wykładnik $n - 1$ zamiast $n$. Wzór na $n$-ty wyraz ma $q^{n-1}$, wzór na sumę – $q^n$. Kto przepisze $q^{n-1}$ do sumy, dla $a_1 = 3$, $q = 2$, $n = 6$ dostanie $3 \cdot (2^5 - 1) = 93$, czyli sumę pięciu wyrazów zamiast sześciu ($189$). Kontrola: dla $n = 1$ wzór musi dać $S_1 = a_1$.

Ujemny iloraz bez nawiasu. Zapis $1 - -2^4$ łatwo policzyć jako $1 - (-16) = 17$. Poprawnie $(-2)^4 = 16$, więc $1 - (-2)^4 = -15$. Każdą ujemną liczbę podnoszoną do potęgi bierz w nawias jeszcze przed liczeniem.

Pomieszane zapisy wzoru. Wzór działa jako $\frac{1 - q^n}{1 - q}$ albo jako $\frac{q^n - 1}{q - 1}$. Zapis $\frac{1 - q^n}{q - 1}$ (licznik z jednej wersji, mianownik z drugiej) daje wynik z przeciwnym znakiem. Wybierz jedną wersję i trzymaj się jej do końca.

Ogólny wzór przy $q = 1$. Dla ciągu stałego $7, 7, 7, \ldots$ wzór z ułamkiem daje $\frac{0}{0}$, a nie wynik. Taki ciąg sumujemy wprost: $S_{10} = 10 \cdot 7 = 70$. Jeśli iloraz jest niewiadomą, przypadek $q = 1$ trzeba rozważyć osobno.

Iloraz sum zamiast ilorazu wyrazów. Gdy dane są $S_1$ i $S_2$, kusi napisanie $q = \frac{S_2}{S_1}$. To błąd: $S_2 = a_1 + a_2$, więc najpierw $a_2 = S_2 - S_1$, a dopiero potem $q = \frac{a_2}{a_1}$. W zasadach oceniania CKE za taką pomyłkę jest 0 punktów (szczegóły w komentarzu autora niżej).

Suma od złego wyrazu. Suma wyrazów od $a_4$ do $a_8$ to nie $S_8$ ani $S_5$. Albo liczysz $S_8 - S_3$, albo traktujesz $a_4$ jako nowy pierwszy wyraz i sumujesz $8 - 4 + 1 = 5$ wyrazów. Dla $a_1 = 3$, $q = 2$ obie drogi dają $744$.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: