Obliczanie granic ciągów

Gdy wiesz już, czym jest granica ciągu (to omawia hasło granica ciągu), pozostaje pytanie praktyczne: jak ją policzyć, nie wypisując setek wyrazów. Służą do tego twierdzenia o granicach – reguły, które pozwalają złożyć granicę skomplikowanego wyrażenia z granic prostych kawałków, takich jak $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.

Najważniejsze twierdzenie mówi: jeżeli ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ są zbieżne, $\lim a_n = a$ i $\lim b_n = b$, to granica sumy, różnicy i iloczynu jest odpowiednio sumą, różnicą i iloczynem granic, a granica ilorazu – ilorazem granic, pod warunkiem że $b_n \neq 0$ i $b \neq 0$. Dzięki temu $\lim \left(3 + \frac{1}{n}\right)\left(2 - \frac{5}{n^2}\right) = 3 \cdot 2 = 6$.

Kłopot polega na tym, że w zadaniach maturalnych twierdzenia prawie nigdy nie da się użyć od razu. Ciąg $\frac{2n^2 + 3n - 5}{4n^2 - n + 1}$ ma licznik i mianownik dążące do nieskończoności – to nie są ciągi zbieżne, więc twierdzenie o ilorazie nie obowiązuje. Najpierw trzeba wyrażenie przekształcić tak, żeby składało się z ciągów zbieżnych, a dopiero potem liczyć. Cała sztuka tego hasła to te przekształcenia:

• iloraz wielomianów – dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n$ w mianowniku; wynik zależy od porównania stopni licznika i mianownika,
• pierwiastek w ilorazie – wyłączamy $n$ spod pierwiastka: $\sqrt{4n^2 + 3} = n\sqrt{4 + \frac{3}{n^2}}$ dla $n \geq 1$,
• różnica z pierwiastkiem – mnożymy i dzielimy przez sprzężenie, żeby pozbyć się odejmowania,
• różnica ułamków – sprowadzamy do wspólnego mianownika i dostajemy jeden iloraz.

Te przekształcenia są potrzebne wtedy, gdy wyrażenie wygląda jak symbol nieoznaczony: $\infty - \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \cdot \infty$ albo $\frac{0}{0}$. Nazwa mówi wszystko – sam typ wyrażenia nie wyznacza wyniku. Na przykład $(n + 1) - n$ dąży do $1$, $n^2 - n$ do $+\infty$, a $n - n^2$ do $-\infty$, choć wszystkie trzy wyglądają jak „nieskończoność minus nieskończoność". Dlatego takiego wyrażenia nie wolno „liczyć wprost", wpisując w miejsce składników nieskończoność.

Zanim zaczniesz liczyć, rozpoznaj typ wyrażenia. Od typu zależy metoda, a od metody – czy w ogóle wolno użyć twierdzeń o granicach.

Przy pierwiastku pomaga liczenie „stopnia": $\sqrt{4n^2 + 3}$ zachowuje się jak $\sqrt{4}\,n = 2n$, czyli ma stopień $1$. W przykładzie z ilorazem licznik i mianownik mają więc ten sam stopień, a granica to $\frac{6}{2} = 3$.

Przykład 1 – iloraz wielomianów tego samego stopnia. Oblicz $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 3n - 5}{4n^2 - n + 1}$.

Licznik i mianownik dążą do $+\infty$, więc to symbol $\frac{\infty}{\infty}$ – twierdzenia o ilorazie nie wolno jeszcze użyć. Najwyższa potęga w mianowniku to $n^2$. Dzielimy przez nią licznik i mianownik (to tak, jakby pomnożyć ułamek przez $\frac{1/n^2}{1/n^2} = 1$):

Teraz licznik i mianownik to sumy ciągów zbieżnych: $\frac{3}{n} \to 0$, $\frac{5}{n^2} \to 0$, $\frac{1}{n} \to 0$. Mianownik dąży do $4 \neq 0$, więc twierdzenie o ilorazie działa:

Zgadza się to z regułą stopni: przy równych stopniach granica to iloraz współczynników przy $n^2$, czyli $\frac{2}{4}$. Kolumna $a_n$ w tabeli wyżej pokazuje, jak wyrazy zbliżają się do $0{,}5$.

Przykład 2 – różnica z pierwiastkiem. Oblicz $\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 + 4n} - n\right)$.

Oba składniki dążą do $+\infty$, więc to symbol $\infty - \infty$. Mnożymy i dzielimy przez sprzężenie $\sqrt{n^2 + 4n} + n$ – w liczniku powstaje różnica kwadratów i pierwiastek znika:

Teraz mamy iloraz. Dzielimy licznik i mianownik przez $n$; pod pierwiastkiem oznacza to dzielenie przez $n^2$, bo $\frac{\sqrt{n^2 + 4n}}{n} = \sqrt{1 + \frac{4}{n}}$ dla $n > 0$:

Gdyby ktoś „policzył wprost" $\infty - \infty = 0$, dostałby wynik, któremu przeczy już $b_{10} \approx 1{,}83$.

Przykład 3 – różnica ułamków. Oblicz $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2}{n + 1} - n\right)$.

Pierwszy składnik zachowuje się jak $n$, drugi to $n$ – znowu $\infty - \infty$. Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

Licznik i mianownik mają stopień $1$, więc granica to iloraz współczynników: $\frac{-1}{1} = -1$. Uwaga na znak – w liczniku odejmujemy cały iloczyn $n(n + 1) = n^2 + n$, a nie tylko $n^2$.

Symbol nieoznaczony to po angielsku „indeterminate form", a twierdzenia o granicach – „limit laws". Oznaczone wyrażenia z nieskończonością (pierwsze dwa wiersze) wynikają z definicji granic niewłaściwych; ich dom to hasło granica ciągu.

„Nieskończoność minus nieskończoność to zero". Zapis $\sqrt{n^2 + 4n} - n \to \infty - \infty = 0$ daje zły wynik – poprawna granica wynosi $2$. Symbolu nieoznaczonego nie liczy się wprost; najpierw sprzężenie albo wspólny mianownik, potem granica.

„Nieskończoność przez nieskończoność to jeden". Ciąg $\frac{2n^2 + 3n - 5}{4n^2 - n + 1}$ dąży do $\frac{1}{2}$, a $\frac{n^2}{n}$ do $+\infty$ – choć oba są typu $\frac{\infty}{\infty}$. Wynik zależy od stopni i współczynników, więc zawsze dziel przez najwyższą potęgę.

Dzielenie przez zbyt niską potęgę. Kto w ułamku $\frac{2n^2 + 3n - 5}{4n^2 - n + 1}$ podzieli tylko przez $n$, dostanie $\frac{2n + 3 - \frac{5}{n}}{4n - 1 + \frac{1}{n}}$ – nadal $\frac{\infty}{\infty}$. Dziel przez najwyższą potęgę $n$ występującą w mianowniku.

Twierdzenie o ilorazie przy mianowniku dążącym do zera. Ciąg $\frac{1/n}{1/n^2}$ ma licznik i mianownik dążące do $0$; wpisanie $\frac{0}{0}$ albo „$0$" jako wyniku jest błędem, bo po skróceniu ciąg to po prostu $n \to +\infty$. Twierdzenie o ilorazie wymaga granicy mianownika różnej od zera.

$n^2$ wyjęte spod pierwiastka bez pierwiastkowania. $\sqrt{4n^2 + 3}$ to $n\sqrt{4 + \frac{3}{n^2}}$, a nie $n^2\sqrt{4 + \frac{3}{n^2}}$. Z błędnym zapisem granica $\frac{6n + 1}{\sqrt{4n^2 + 3}}$ wychodzi $0$ zamiast $3$.

Rozbijanie granicy na granice rozbieżnych składników. Zapis $\lim \left(\sqrt{n^2 + 4n} - n\right) = \lim \sqrt{n^2 + 4n} - \lim n$ jest niepoprawny: twierdzenie o granicy różnicy zakłada, że oba ciągi są zbieżne, a tu żaden nie jest. Rozbijać wolno dopiero wtedy, gdy każdy kawałek ma skończoną granicę.

Zgubiony minus po wspólnym mianowniku. W przykładzie $\frac{n^2}{n + 1} - n$ łatwo napisać w liczniku $n^2 - n^2 + n = n$ i dostać granicę $1$. Iloczyn $n(n + 1)$ odejmujemy w całości: $n^2 - n^2 - n = -n$, więc granica to $-1$. Wynik łatwo sprawdzić, licząc jeden wyraz, np. $c_{100} \approx -0{,}99$.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: