Granica funkcji w nieskończoności

Granica funkcji w nieskończoności odpowiada na pytanie: co się dzieje z wartościami $f(x)$, gdy $x$ rośnie bez ograniczenia (zapis $x \to +\infty$) albo maleje bez ograniczenia (zapis $x \to -\infty$). Jeżeli wartości zbliżają się do jednej liczby $g$, piszemy $\lim_{x \to +\infty} f(x) = g$. Jeżeli rosną ponad każdą liczbę, granica wynosi $+\infty$, a jeżeli maleją poniżej każdej liczby – $-\infty$. Symbol $\infty$ nie jest liczbą, tylko opisem zachowania funkcji.

Przykład z życia: lek podawany we wlewie, którego stężenie we krwi w modelu wynosi $C(t) = \frac{40t}{t + 8}$ mg/l po $t$ godzinach. Po $8$ godzinach stężenie to $20$, po $72$ godzinach $36$, po $392$ godzinach $39{,}2$. Stężenie nigdy nie przekroczy $40$, ale zbliża się do tej wartości: $\lim_{t \to +\infty} C(t) = 40$. Taką wartość ustaloną nazywamy granicą, a na wykresie odpowiada jej prosta pozioma – asymptota (jej własności omawia hasło asymptoty wykresu funkcji).

Granicę w nieskończoności liczysz zawsze według tego samego schematu: nie podstawiasz „nieskończoności", tylko przekształcasz wyrażenie tak, żeby zostały w nim składniki znikające. Cztery zasady, na których opiera się cały temat:

• $\frac{1}{x^k} \to 0$ dla $x \to \pm\infty$, gdy $k$ jest dodatnią liczbą naturalną – to jedyny „znikający" składnik, którego potrzebujesz,
• iloraz wielomianów: dziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ występującą w mianowniku (albo w całym ilorazie) – wynik zależy od porównania stopni,
• pierwiastek: $\sqrt{x^2} = \lvert x \rvert$, czyli dla $x \to -\infty$ jest to $-x$, a nie $x$,
• różnica $\infty - \infty$ nie jest zerem: sprowadź do wspólnego mianownika (albo pomnóż przez sprzężenie) i dopiero wtedy policz granicę.

Twierdzenia o granicy sumy, iloczynu i ilorazu działają jak dla ciągów (omawia je hasło twierdzenia o granicach ciągów), a samo pojęcie granicy w punkcie jest w haśle granica funkcji. Granica funkcji przy $x \to +\infty$ jest bliska granicy ciągu: ciąg to funkcja określona dla liczb naturalnych, więc te same schematy działają w obu miejscach.

Przykład 1 – iloraz wielomianów. Oblicz $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^3 - 2x + 1}{5x^3 + x^2}$.

Stopnie licznika i mianownika są równe ($3$), więc dzielimy oba przez $x^3$:

Dla $x \to -\infty$ rachunek jest identyczny (składniki $\frac{1}{x^k}$ też dążą do $0$), więc wynik to również $\frac{3}{5}$. Gdy zmienimy licznik na $x^3 + 1$ i mianownik na $x^2 + 5$, stopień licznika będzie większy: granica wynosi $+\infty$ przy $x \to +\infty$ i $-\infty$ przy $x \to -\infty$ (licznik zmienia znak, mianownik pozostaje dodatni).

Przykład 2 – pierwiastek i $x \to -\infty$. Oblicz $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{9x^2 + x}}{2x + 1}$.

Wyłączamy $x^2$ spod pierwiastka. Ponieważ $x < 0$, mamy $\sqrt{x^2} = \lvert x \rvert = -x$:

W mianowniku wyłączamy $x$: $2x + 1 = x\left(2 + \frac{1}{x}\right)$. Skracamy $x$ i dostajemy:

Dla $x \to +\infty$ wyszłoby $+\frac{3}{2}$, bo wtedy $\sqrt{x^2} = x$. Obie granice są skończone, ale różne – funkcja ma dwie różne asymptoty poziome.

Przykład 3 – różnica $\infty - \infty$. Oblicz $\lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x^2 + 1}{x - 1} - x\right)$.

Każdy składnik rośnie do $+\infty$, więc nie wolno wstawić „$\infty - \infty = 0$". Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

Teraz stopnie licznika i mianownika są równe ($1$), więc granica to iloraz współczynników przy $x$:

Granicę funkcji w punkcie omawia granica funkcji, a z jednej strony punktu – granice jednostronne. W tym haśle zmienna ucieka do nieskończoności, a nie do liczby.

Podstawianie nieskończoności jak liczby. Zapis $\frac{3\infty^2 + \infty}{\infty^2 + 1} = \frac{\infty}{\infty} = 1$ jest błędny: $\frac{\infty}{\infty}$ to symbol nieoznaczony, a nie jedynka. Wynik zależy od tempa wzrostu licznika i mianownika. Poprawnie: dziel przez najwyższą potęgę $x$, tu przez $x^2$, i dostajesz $\frac{3 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}} \to 3$.

Zły wniosek z porównania stopni. Dla $\frac{x^3 + 1}{x^2 + 5}$ łatwo odwrócić regułę i napisać granicę $0$. Reguła: stopień licznika mniejszy – granica $0$, równy – iloraz współczynników, większy – granica niewłaściwa. Tu licznik ma wyższy stopień ($3 > 2$), więc granicy skończonej nie ma.

Pominięty znak przy $x \to -\infty$. Dla $\frac{x^3 + 1}{x^2 + 5}$ granica przy $x \to +\infty$ to $+\infty$, ale przy $x \to -\infty$ to $-\infty$: licznik jest ujemny, mianownik dodatni. Zawsze sprawdzaj znak osobno dla każdej strony.

$\sqrt{x^2} = x$ dla ujemnych $x$. Przy $x \to -\infty$ wartość $\sqrt{x^2}$ jest dodatnia, czyli równa $-x$. Dla $\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$ błędne $\sqrt{x^2} = x$ daje $+1$, a poprawna granica to $-1$. Szybka kontrola: licznik jest zawsze dodatni, mianownik ujemny, więc wynik musi być ujemny.

Różnica $\infty - \infty$ równa zero. Zapis $\lim \left(\frac{x^2 + 1}{x - 1} - x\right) = \infty - \infty = 0$ daje inną liczbę niż poprawne $1$. Różnicę dwóch rosnących wyrażeń trzeba najpierw sprowadzić do jednego ułamka (albo, przy pierwiastkach, pomnożyć przez sprzężenie).

„Funkcja nie przecina asymptoty". Asymptota pozioma opisuje zachowanie dla bardzo dużych $\lvert x \rvert$, a nie zakazuje przecięcia dla małych. Funkcja z wykresu wyżej, $f(x) = \frac{3x^2 + x}{x^2 + 1}$, ma asymptotę $y = 3$ i przecina ją w punkcie $(3, 3)$, bo $f(x) - 3 = \frac{x - 3}{x^2 + 1}$ jest zerem dla $x = 3$.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: