Granica funkcji w punkcie

Granica funkcji w punkcie mówi, do jakiej liczby zbliżają się wartości $f(x)$, gdy argument $x$ zbliża się do liczby $a$. Pytamy o zachowanie funkcji w pobliżu punktu $a$, a nie o to, ile wynosi $f(a)$. Dlatego granica może istnieć nawet wtedy, gdy funkcja w punkcie $a$ w ogóle nie jest określona. Zapisujemy ją jako $\lim_{x \to a} f(x) = g$.

Są dwie równoważne definicje i warto znać obie. Definicja Heinego (językiem ciągów): $\lim_{x \to a} f(x) = g$, gdy dla każdego ciągu argumentów $x_n$ z dziedziny, o wyrazach różnych od $a$ i zbieżnego do $a$, ciąg wartości $f(x_n)$ jest zbieżny do $g$. Dzięki niej granice funkcji sprowadzają się do granic ciągów, opisanych w haśle granica ciągu. Definicja Cauchy'ego (językiem odległości): dla każdej liczby $\varepsilon > 0$ istnieje taka liczba $\delta > 0$, że jeśli $0 < \lvert x - a \rvert < \delta$, to $\lvert f(x) - g \rvert < \varepsilon$. W słowach: wartości $f(x)$ da się zmieścić w dowolnie wąskim pasie wokół $g$, o ile $x$ jest dość blisko $a$ (ale różny od $a$).

W obu definicjach ważne jest, że sam punkt $a$ jest wykluczony. Granica nie zależy od tego, co dzieje się w $a$.

Zasady, na których opiera się liczenie granic:

• jeżeli granice $\lim_{x \to a} f(x)$ i $\lim_{x \to a} h(x)$ istnieją i są skończone, to granica sumy, różnicy i iloczynu jest sumą, różnicą i iloczynem granic; iloraz też, o ile granica mianownika jest różna od $0$,
• dla wielomianu i dla funkcji wymiernej w punkcie, w którym jest określona, granica to po prostu wartość: podstawiamy $x = a$,
• gdy po podstawieniu wychodzi $\frac{0}{0}$, nie wiemy jeszcze nic – trzeba przekształcić wyrażenie (najczęściej rozłożyć licznik i mianownik na czynniki i skrócić),
• gdy w mianowniku jest $0$, a w liczniku liczba różna od $0$, funkcja nie ma granicy skończonej – takie przypadki (granice jednostronne, $\pm\infty$) omawia hasło granice jednostronne.

Granice przy $x \to \pm\infty$ mają osobne hasło: granice funkcji w nieskończoności. Związek granicy z ciągłością (granica równa wartości funkcji) opisuje ciągłość funkcji.

Przykład 1 – podstawienie wystarcza. Oblicz $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 3x - 1}{x + 1}$.

Mianownik w punkcie $x = 2$ wynosi $3$, czyli jest różny od $0$, więc wystarczy podstawić:

Przykład 2 – symbol $\frac{0}{0}$ i rozkład na czynniki. Oblicz $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}$.

Po podstawieniu $x = 3$ dostajemy $\frac{0}{0}$, więc licznik i mianownik mają czynnik $(x - 3)$. Rozkładamy: licznik ze wzoru na różnicę kwadratów, mianownik przez pierwiastki $x_1 = 2$, $x_2 = 3$:

Dla $x \neq 3$ (a tylko takie $x$ są w definicji granicy) możemy skrócić czynnik $(x - 3)$. Zostaje wyrażenie $\frac{x + 3}{x - 2}$, w którym podstawienie już działa:

Kontrola liczbowa: dla $x = 3{,}01$ wyrażenie wynosi około $5{,}95$, a dla $x = 2{,}99$ około $6{,}05$ – po obu stronach zbliża się do $6$.

Przykład 3 – pierwiastek i sprzężenie. Oblicz $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$.

Znów wychodzi $\frac{0}{0}$, ale licznika nie rozłożymy zwykłym rozkładem. Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie licznika, $\sqrt{x} + 2$, i używamy wzoru $(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - 4$:

Teraz podstawiamy: $\lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{4}$. To zgadza się z tabelą powyżej: wartości zbliżają się do $0{,}25$ z obu stron.

Granica w punkcie i wartość funkcji to dwie niezależne liczby. Gdy są równe (i skończone), funkcja jest w tym punkcie ciągła.

Wpisanie $\frac{0}{0} = 0$ albo "granica nie istnieje". Po podstawieniu wychodzi $\frac{0}{0}$ i uczeń pisze wynik $0$ albo kończy rozwiązanie. Symbol $\frac{0}{0}$ jest nieoznaczony: granica może wynosić dowolną liczbę. W przykładzie 2 jest to $6$, w przykładzie 3 – $\frac{1}{4}$. Zawsze przekształć wyrażenie.

Skracanie składników zamiast czynników. W wyrażeniu $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ nie wolno "skrócić $x$" i napisać $x - 2$. Skracać można tylko czynniki całego licznika i całego mianownika, więc najpierw rozkład: $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$.

Błąd znaku przy rozkładzie mianownika. Mianownik $-x^2 + 2x + 15$ ma współczynnik przy $x^2$ równy $-1$ i rozkłada się na $-(x + 3)(x - 5)$, a nie $(x + 3)(x - 5)$. Opuszczony minus zmienia wynik na przeciwny: zamiast $\frac{1}{16}$ wychodzi $-\frac{1}{16}$. Sprawdź rozkład, mnożąc czynniki z powrotem.

Rozkład bez czynnika z pierwiastkiem granicy. Jeśli $x \to a$ daje $\frac{0}{0}$, licznik i mianownik muszą mieć czynnik $(x - a)$. Gdy po rozkładzie go nie widzisz, rozkład jest błędny albo trzeba go dokończyć (np. podzielić wielomian przez $(x - a)$ schematem Hornera).

Mylenie granicy z wartością funkcji. W funkcji $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ nie ma wartości $f(2)$, a mimo to $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$. I odwrotnie: gdy funkcję zdefiniujemy tak, że $f(2) = 7$, granica nadal wynosi $4$. Granica ignoruje to, co dzieje się w samym punkcie.

Liczba przez zero jako "$\infty$ albo $0$". Gdy mianownik zmierza do $0$, a licznik do liczby różnej od $0$ (np. $\frac{1}{x - 2}$ przy $x \to 2$), granica obustronna może nie istnieć – zależy od strony, z której zbliżamy się do $a$. To przypadek dla granic jednostronnych, nie dla skracania.

Wynik z podstawienia po jednej stronie. Przy $\frac{0}{0}$ uczeń czasem liczy wartość tylko dla jednego $x$ blisko $a$ i podaje ją jako granicę. Jedna wartość niczego nie dowodzi. Do kontroli sprawdź dwa $x$ po obu stronach $a$ (jak w tabeli powyżej), a wynik uzyskaj z przekształcenia.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: