Wszystkie zagadnienia: Rachunek różniczkowy

średni matura rozszerzona z matematykiciągłość funkcjigranica funkcjifunkcja przedziałami

Ciągłość funkcji

Q: Czy funkcja 1/x jest ciągła?

Jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny, czyli dla x ≠ 0. Punkt x = 0 do dziedziny nie należy, a przy zbliżaniu się do niego wartości rosną bez ograniczeń – to pionowa asymptota, a nie dziura ani skok.

Q: Czy funkcja ciągła ma zawsze pochodną?

Nie. Funkcja f(x) = | x | jest ciągła w każdym punkcie, ale w x = 0 nie ma pochodnej, bo wykres ma tam ostry załamek. Odwrotnie jest inaczej: funkcja mająca pochodną w punkcie jest w nim ciągła. Pojęcie pochodnej omawia hasło definicja pochodnej.

Opis

Funkcja jest ciągła w punkcie $x_0$ , gdy jej wykres nie ma tam dziury ani skoku: bliskie argumenty dają bliskie wartości. Precyzyjnie trzeba sprawdzić trzy rzeczy naraz:

funkcja jest określona w $x_0$ , czyli istnieje liczba $f(x_0)$ ,
istnieje granica $\lim_{x \to x_0} f(x)$ – a więc granice jednostronne (lewo- i prawostronna) są równe,
ta granica jest równa wartości funkcji: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ .

Gdy którykolwiek warunek zawodzi, funkcja jest w tym punkcie nieciągła. Liczenie samych granic, także jednostronnych, to osobne umiejętności – patrz granica funkcji i granice jednostronne. Tu zakładamy, że potrafisz je policzyć, i zajmujemy się pytaniem: czy granica zgadza się z wartością.

Funkcja jest ciągła na przedziale, gdy jest ciągła w każdym jego punkcie. Na końcu przedziału domkniętego $[a, b]$ wystarczy ciągłość jednostronna: prawostronna w $a$ i lewostronna w $b$ . Funkcję ciągłą w całej dziedzinie nazywamy po prostu ciągłą.

Rodzaje nieciągłości, które spotkasz w zadaniach:

usuwalna – granica istnieje, ale funkcja ma w tym punkcie inną wartość albo nie ma żadnej (dziura w wykresie); wystarczy zmienić jedną wartość i funkcja staje się ciągła,
skok – granice jednostronne są skończone, ale różne; żadna zmiana jednej wartości tego nie naprawi,
nieskończona – przynajmniej jedna granica jednostronna jest nieskończona (pionowa asymptota, patrz asymptoty wykresu funkcji).

Nie musisz za każdym razem liczyć granic od zera. Wielomiany są ciągłe w każdym punkcie. Funkcje wymierne, funkcje z pierwiastkiem i wartością bezwzględną oraz suma, różnica, iloczyn i złożenie funkcji ciągłych są ciągłe w każdym punkcie swojej dziedziny, a iloraz – tam, gdzie mianownik jest różny od zera. Kłopot pojawia się dopiero tam, gdzie wzór się zmienia (funkcja sklejona z kawałków) albo wartość w punkcie jest podana osobno.

Na poziomie rozszerzonym podstawa programowa nie wymienia ciągłości jako osobnego punktu. Pojawia się jednak jako założenie przy własności Darboux (uzasadnianie istnienia miejsca zerowego, patrz własność Darboux) i jako warunek w zadaniach z parametrem. Hasło jest więc narzędziem do tych zadań.

Wzory

Ciągłość w punkcie

\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

Zawiera trzy warunki:

f(x_0)

istnieje, granica istnieje, obie liczby są równe.

Ciągłość przez granice jednostronne

\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)

Wygodna postać dla funkcji sklejonych: trzy liczby muszą być równe.

Sklejenie dwóch kawałków

g(x_0) = h(x_0)

Dla

f(x) = g(x)

gdy

x \leq x_0

oraz

f(x) = h(x)

gdy

x > x_0

, jeśli

g

h

są ciągłe w

x_0

(wielomiany są).

Skok funkcji

\lim_{x \to x_0^+} f(x) - \lim_{x \to x_0^-} f(x)

Różnica granic jednostronnych; dla funkcji ciągłej wynosi

0

Tabela

Taryfa parkingowa: 4 zł za każdą rozpoczętą godzinę, koszt

K(t)

dla czasu

t

(w godzinach)

$t$	$0{,}5$	$0{,}99$	$1$	$1{,}01$	$1{,}5$	$2$
$K(t)$ w zł	4	4	4	8	8	8

Wykres

Dziura (nieciągłość usuwalna) w punkcie

x = 2

f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}

dla

x \neq 2

Wykres 2

Funkcja sklejona z przykładu 2 dla

a = 1

– wykres bez przerwy

x + 1

dla

x \leq 2

x^2 - 1

dla

x > 2

Przykład

Przykład 1 – dziura w wykresie. Funkcja jest określona wzorem $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ dla $x \neq 2$ oraz $f(2) = 1$ . Zbadaj ciągłość w punkcie $x = 2$ .

Wartość istnieje: $f(2) = 1$ . Granicę liczymy dla $x \neq 2$ , więc można skrócić ułamek:

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4

Granica istnieje, ale $4 \neq 1$ , więc funkcja jest w $x = 2$ nieciągła (nieciągłość usuwalna – widać ją na pierwszym wykresie). Gdyby przyjąć $f(2) = 4$ , funkcja byłaby ciągła w całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Przykład 2 – parametr w funkcji sklejonej. Dla jakiej wartości $a$ funkcja

f(x) = \begin{cases} ax + 1 & \text{dla } x \leq 2 \\ x^2 - a & \text{dla } x > 2 \end{cases}

jest ciągła w całym zbiorze liczb rzeczywistych?

Każdy kawałek jest wielomianem, więc kłopot może być tylko w punkcie sklejenia $x = 2$ . Wartość i granica lewostronna pochodzą z pierwszego wzoru, granica prawostronna – z drugiego:

f(2) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = 2a + 1, \qquad \lim_{x \to 2^+} f(x) = 4 - a

Warunek ciągłości: $2a + 1 = 4 - a$ , czyli $3a = 3$ i $a = 1$ . Sprawdzenie: dla $a = 1$ oba wzory dają w $x = 2$ wartość $3$ (drugi wykres).

Przykład 3 – dwa parametry. Dobierz $a$ i $b$ tak, aby funkcja była ciągła:

f(x) = \begin{cases} 2x + a & \text{dla } x < -1 \\ bx & \text{dla } -1 \leq x \leq 2 \\ x^2 - 2 & \text{dla } x > 2 \end{cases}

Są dwa punkty sklejenia, więc dwa równania. W punkcie $x = 2$ : $b \cdot 2 = 2^2 - 2 = 2$ , stąd $b = 1$ . W punkcie $x = -1$ : $2 \cdot (-1) + a = b \cdot (-1)$ , czyli $a - 2 = -1$ i $a = 1$ . Obie wartości wyszły z osobnych równań, nic nie trzeba uzgadniać dodatkowo.

Typowe błędy

Sprawdzenie tylko jednego warunku. Uczeń liczy granicę, widzi, że istnieje, i ogłasza ciągłość. W przykładzie 1 granica wynosi $4$ , ale $f(2) = 1$ – funkcja jest nieciągła. Odwrotnie też nie wystarczy: sama wartość $f(x_0)$ nic nie mówi o granicy. Zawsze porównaj trzy liczby: granicę lewostronną, prawostronną i wartość.

Granica jednostronna z niewłaściwego wzoru. Dla funkcji sklejonej granicę prawostronną w $x_0$ liczymy ze wzoru obowiązującego dla $x > x_0$ , a lewostronną – ze wzoru dla $x < x_0$ . Podstawienie $x_0$ do obu kawałków naraz („ $2a + 1 = 2a + 1$ ") daje równanie zawsze prawdziwe i brak informacji o parametrze. Wartość $f(x_0)$ bierzemy z tego kawałka, w którym nierówność jest nieostra ( $\leq$ lub $\geq$ ).

Ciągłość w punkcie spoza dziedziny. Funkcja $f(x) = \frac{1}{x}$ nie jest określona w $x = 0$ , więc pytanie o jej ciągłość w tym punkcie nie ma sensu. Jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny, a w $x = 0$ ma nieskończoną nieciągłość (asymptotę). Mówimy „nieciągła w zerze" tylko wtedy, gdy funkcja jest tam określona albo gdy dziedzina w treści zadania zawiera ten punkt.

Skracanie bez założenia. Przy $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ wolno skrócić tylko dla $x \neq 2$ . Zapis „ $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ dla każdego $x$ " jest fałszywy w punkcie $x = 2$ – i właśnie ten punkt jest przedmiotem zadania.

Pomylenie warunku z nierównością. Gdy w treści jest $x \leq 2$ i $x > 2$ , a uczeń zapisze obie nierówności ostre, zostaje punkt bez wartości. Funkcja musi być określona w każdym punkcie – sprawdź, który kawałek ma znak równości.

Sprawdź się

Uzupełnij tabelę: czy funkcja jest ciągła w punkcie $x_0$ ?

granica lewostronna	granica prawostronna	$f(x_0)$
3	3	3
3	3	1
3	5	3
2	2	brak

Funkcja $f(x) = 2x + a$ dla $x \leq 3$ i $f(x) = x^2 - 1$ dla $x > 3$ jest ciągła dla $a =$ .

Funkcja $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ dla $x \neq 3$ i $f(3) = b$ jest ciągła w $x = 3$ dla $b =$ .

Gdy granice jednostronne są skończone, ale różne, nieciągłość nazywamy . Gdy granica istnieje, ale różni się od wartości funkcji, nieciągłość nazywamy .

W taryfie „4 zł za każdą rozpoczętą godzinę" koszt przy $t = 1$ godzina skacze w prawo o zł.

Najczęściej zadawane pytania

Czy funkcja musi być określona w punkcie, żeby była w nim ciągła?

Tak. Pierwszy z trzech warunków ciągłości to istnienie liczby $f(x_0)$ . Jeżeli punkt nie należy do dziedziny, nie ma sensu pytać o ciągłość w tym punkcie – można za to badać granice jednostronne i opisać zachowanie funkcji przy zbliżaniu się do niego.

Czy funkcja

\frac{1}{x}

jest ciągła?

Jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny, czyli dla $x \neq 0$ . Punkt $x = 0$ do dziedziny nie należy, a przy zbliżaniu się do niego wartości rosną bez ograniczeń – to pionowa asymptota, a nie dziura ani skok.

Czym różni się nieciągłość usuwalna od skoku?

W nieciągłości usuwalnej granica w punkcie istnieje (obie granice jednostronne są równe), ale wartość funkcji jest inna albo jej nie ma. Zmiana lub dopisanie jednej wartości naprawia funkcję. Przy skoku granice jednostronne są różne, więc granica w punkcie nie istnieje i żadna zmiana jednej wartości nie pomoże.

Jak uzasadnić ciągłość wielomianu na maturze?

Wystarczy zdanie: funkcja jest ciągła, ponieważ jest funkcją wielomianową. Tak robią wzorcowe rozwiązania w Informatorze CKE. Podobnie uzasadniasz ciągłość funkcji wymiernej w każdym punkcie, w którym mianownik jest różny od zera.

Jak zbadać ciągłość funkcji sklejonej z parametrem?

Wskaż punkty, w których zmienia się wzór – tylko tam może być problem, bo każdy kawałek jest ciągły sam w sobie. W każdym takim punkcie zapisz równość: granica lewostronna $=$ granica prawostronna $= f(x_0)$ . Z jednego punktu sklejenia wychodzi jedno równanie, więc dwa parametry potrzebują dwóch punktów.

Czy funkcja ciągła ma zawsze pochodną?

Nie. Funkcja $f(x) = \lvert x \rvert$ jest ciągła w każdym punkcie, ale w $x = 0$ nie ma pochodnej, bo wykres ma tam ostry załamek. Odwrotnie jest inaczej: funkcja mająca pochodną w punkcie jest w nim ciągła. Pojęcie pochodnej omawia hasło definicja pochodnej.

Komentarz Autora

W arkuszach maturalnych zebranych na portalu fraza „ciągł" nie występuje w treści zadań (wyszukiwanie od roku 2015 – 0 trafień), więc nie ma tu zadania z arkusza do omówienia. Ciągłość wraca za to w schematach oceniania zadań na własność Darboux. W Informatorze CKE o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym (zadania 11, 14 i 16) oraz w zbiorze zadań CKE (zadanie 23) punkty przyznaje się m.in. za uzasadnienie, że funkcja jest ciągła, a wzorcowe rozwiązania robią to jednym zdaniem: funkcja jest ciągła, bo jest wielomianem. Same zadania omawia hasło własność Darboux.

Praktyczna rada: gdy w zadaniu pojawia się wielomian albo funkcja wymierna w jej dziedzinie, ciągłość uzasadniasz jednym zdaniem i nie liczysz żadnej granicy. Granice zaczynasz liczyć dopiero w punkcie, gdzie zmienia się wzór albo wartość jest podana osobno.

Przy zadaniu z parametrem narysuj sobie wykres kawałków i zaznacz punkt sklejenia. Zapisz trzy liczby w jednym wierszu: granica z lewej, granica z prawej, wartość. Z ich równości wynika równanie na parametr.

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Asymptoty wykresu funkcjiGranice i ciągłość funkcji Granica funkcji w punkcieGranice i ciągłość funkcji Granica funkcji w nieskończonościGranice i ciągłość funkcji Granice jednostronne i niewłaściweGranice i ciągłość funkcji Własność DarbouxGranice i ciągłość funkcji