Granice jednostronne i niewłaściwe

Granica jednostronna pyta, dokąd zmierzają wartości funkcji, gdy $x$ zbliża się do liczby $a$ tylko z jednej strony. Zapis $x \to a^{-}$ oznacza zbliżanie się z lewej, czyli przez wartości mniejsze od $a$, a $x \to a^{+}$ – z prawej, przez wartości większe od $a$. Granicę lewostronną zapisujemy $\lim_{x \to a^{-}} f(x)$, prawostronną $\lim_{x \to a^{+}} f(x)$. Sam punkt $a$ nie bierze udziału w tym ruchu: liczy się to, co dzieje się obok niego, a nie wartość $f(a)$.

Granica niewłaściwa to granica równa $+\infty$ albo $-\infty$: wartości funkcji rosną ponad każdą liczbę albo spadają poniżej każdej. Pojawia się najczęściej wtedy, gdy mianownik zbliża się do zera, a licznik nie. Podstawowe pojęcie granicy w punkcie, rozkład wielomianów i skracanie symbolu $\frac{0}{0}$ omawia hasło granica funkcji. Tutaj liczy się to, co robi się dalej: ustalenie znaku i rozstrzygnięcie, czy granice z obu stron się zgadzają.

Cztery zasady, na których opiera się całe hasło:

• Granica $\lim_{x \to a} f(x)$ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy granice jednostronne istnieją i są równe. Jeśli są różne (także gdy jedna to $+\infty$, a druga $-\infty$), granica w punkcie nie istnieje.
• Gdy licznik zmierza do liczby $c \neq 0$, a mianownik do zera, wynik jest niewłaściwy, a jego znak zależy od znaku $c$ i od tego, z której strony mianownik dochodzi do zera ($0^{+}$ – od dodatnich, $0^{-}$ – od ujemnych).
• Wartość bezwzględna w granicy jednostronnej ma jedno, konkretne rozwinięcie: dla $x$ po jednej stronie punktu $\lvert x - a \rvert$ to $x - a$, po drugiej $a - x$. Dlatego granice jednostronne trzeba często liczyć osobno.
• Jeśli choć jedna granica jednostronna w punkcie $a$ jest niewłaściwa, prosta $x = a$ jest asymptotą pionową wykresu (wnioski dla wykresu zbiera hasło asymptoty wykresu funkcji).

Granice jednostronne opisują też zjawiska ze skokiem. Opłata za przesyłkę paczki zależy od wagi schodkowo: do $1$ kg płacisz stałą kwotę, a tuż powyżej $1$ kg – wyższą. Przy wadze $1$ kg granica lewostronna opłaty jest inna niż prawostronna, więc zwykłej granicy tam nie ma. Z tego samego powodu funkcja ze skokiem nie jest ciągła (to wątek hasła ciągłość funkcji).

Przykład 1 – licznik do liczby, mianownik do zera. Oblicz $\lim_{x \to 1^{-}} \frac{x+2}{x^2-1}$ oraz $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{x+2}{x^2-1}$.

Licznik zmierza do $1 + 2 = 3 > 0$. Mianownik rozkładamy: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. Czynnik $x + 1$ zmierza do $2 > 0$, więc o znaku mianownika decyduje czynnik $x - 1$. Dla $x \to 1^{-}$ mamy $x < 1$, czyli $x - 1 < 0$ i cały mianownik zmierza do $0^{-}$. Dla $x \to 1^{+}$ mianownik zmierza do $0^{+}$:

Granice jednostronne są różne, więc granica $\lim_{x \to 1}$ nie istnieje, a prosta $x = 1$ jest asymptotą pionową. Kontrola liczbami: dla $x = 0{,}99$ wyrażenie wynosi około $-150{,}3$, a dla $x = 1{,}01$ około $149{,}8$.

Przykład 2 – wartość bezwzględna. Oblicz granice jednostronne $\frac{\lvert x-2 \rvert}{x^2-x-2}$ przy $x \to 2$.

Mianownik rozkładamy na czynniki: $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$. Dla $x \to 2^{-}$ mamy $x - 2 < 0$, więc $\lvert x - 2 \rvert = 2 - x = -(x-2)$ i po skróceniu zostaje $-\frac{1}{x+1}$. Dla $x \to 2^{+}$ jest $\lvert x - 2 \rvert = x - 2$ i zostaje $\frac{1}{x+1}$:

Granice są skończone, ale różne, więc granicy w punkcie $2$ nie ma. To skok, a nie asymptota.

Przykład 3 – najpierw $\frac{0}{0}$, potem znak. Oblicz $\lim_{x \to -1^{-}} \frac{x^3+1}{(x+1)^2}$.

Podstawienie $x = -1$ daje $\frac{0}{0}$, więc nie wolno jeszcze rozstrzygać znaku. Licznik rozkładamy ze wzoru na sumę sześcianów: $x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$ i skracamy jeden czynnik $x + 1$:

Teraz licznik zmierza do $(-1)^2 - (-1) + 1 = 3 > 0$, a mianownik – dla $x < -1$ – do $0^{-}$. Zatem

Po drugiej stronie ($x \to -1^{+}$) wyszłoby $+\infty$. Nawiasem: w wyrażeniu przed skróceniem mianownik $(x+1)^2$ jest zawsze dodatni, więc samo patrzenie na niego daje błędny znak.

Granica w punkcie, rozkład wielomianów i twierdzenia o działaniach na granicach mają własne hasło – granica funkcji. Granice przy $x \to \pm\infty$ to osobny temat: granice funkcji w nieskończoności.

Znak mianownika bez sprawdzenia strony. Przy $x \to 2^{-}$ uczeń pisze „mianownik $x - 2$ zmierza do $0$, więc wynik to $+\infty$". Dla $x < 2$ ten czynnik jest ujemny, więc zmierza do $0^{-}$. Dla licznika dodatniego wychodzi $-\infty$. Zawsze zapisz, czy mianownik dochodzi do zera od dodatnich, czy od ujemnych, i dopiero wtedy wybierz znak.

Kwadrat w mianowniku jako źródło znaku. W zadaniu z granicą $\frac{x^3 - 8}{(x-2)^2}$ przy $x \to 2^{-}$ kwadrat $(x-2)^2$ jest dodatni z obu stron, więc kto patrzy tylko na mianownik, dostaje $+\infty$. Poprawna granica to $-\infty$, bo po skróceniu zostaje mianownik $x - 2$ o znaku ujemnym, a licznik zmierza do $12$. Tabela wartości w tym haśle pokazuje to wprost: dla $x < 2$ wartości są ujemne.

Pominięcie $\frac{0}{0}$. Zdający podstawia punkt, widzi $\frac{0}{0}$ i wpisuje $0$, $1$ albo „nie istnieje". Sprawozdanie CKE za 2024 rok opisuje to jako pierwszy etap rozwiązania zadania o granicy $\frac{x^3 - 8}{(x-2)^2}$: trzeba ustalić, że jest symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$, i go usunąć (rozkład licznika na czynniki), a dopiero potem ocenić znak. Symbol $\frac{0}{0}$ to sygnał do rozkładu, a nie wynik.

Wartość bezwzględna bez rozbicia na przypadki. W granicy $\lim_{x \to 3^{-}} \frac{\lvert x-3 \rvert}{x^2-9}$ zapis $\lvert x - 3 \rvert = x - 3$ daje $\frac{1}{x+3} \to \frac{1}{6}$. Dla $x < 3$ jest jednak $\lvert x - 3 \rvert = 3 - x$ i poprawnie wychodzi $-\frac{1}{6}$. Znak wyniku zależy tu wyłącznie od tego, z której strony podchodzisz do $a$.

Granica istnieje, bo istnieje wartość. „Funkcja ma w $a$ wartość $f(a)$, więc granica istnieje" i odwrotnie: „funkcja nie jest określona w $a$, więc nie ma granicy". Oba wnioski są fałszywe. Granica zależy od wartości obok punktu: wykres z dziurą może mieć granicę, a wykres ze skokiem nie ma jej, mimo że $f(a)$ istnieje.

Granice jednostronne $+\infty$ i $-\infty$ uznane za „równe". Zapis typu $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1} = \infty$ jest błędny, bo granice jednostronne mają przeciwne znaki. Granica obustronna istnieje tylko wtedy, gdy obie strony dają to samo, także ze znakiem. Dla $\frac{1}{(x-1)^2}$ obie strony dają $+\infty$ i wtedy granica jest równa $+\infty$.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: