Pochodna funkcji – definicja i interpretacja

Pochodna mierzy, jak szybko funkcja zmienia się w danym punkcie. Żeby ją zdefiniować, zaczynamy od średniej zmiany na krótkim odcinku. Dla funkcji $f$ i punktu $x_0$ weźmy drugi punkt $x_0 + h$, gdzie $h \neq 0$. Liczbę

nazywamy ilorazem różnicowym. To przyrost wartości funkcji podzielony przez przyrost argumentu. Geometrycznie jest to współczynnik kierunkowy siecznej – prostej przechodzącej przez punkty wykresu $(x_0, f(x_0))$ i $(x_0 + h, f(x_0 + h))$.

Gdy $h$ zbliża się do zera, drugi punkt zbliża się do pierwszego, a sieczna – do prostej, która tylko „dotyka" wykresu w punkcie $x_0$. Jeżeli iloraz różnicowy zbliża się wtedy do jednej, skończonej liczby, to ta liczba jest pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_0$ i oznaczamy ją $f'(x_0)$. Granice funkcji omawia hasło granica funkcji – tu wystarczy rozumieć ją jako „liczbę, do której iloraz się zbliża".

Co z tego wynika:

• interpretacja geometryczna – $f'(x_0)$ jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu w punkcie $(x_0, f(x_0))$; równanie stycznej jest w haśle styczna do wykresu funkcji,
• interpretacja fizyczna – jeśli $s(t)$ to droga w czasie $t$, to $s'(t_0)$ jest prędkością chwilową, czyli tempem zmiany drogi,
• funkcja pochodna – jeśli pochodna istnieje w każdym punkcie pewnego zbioru, to przypisanie $x \mapsto f'(x)$ jest nową funkcją $f'$; jej wzór wyprowadzamy raz, a potem podstawiamy kolejne punkty,
• pochodna nie zawsze istnieje – gdy iloraz różnicowy nie ma granicy (wykres ma „ostry róg", jak $\lvert x \rvert$ w zerze), funkcja nie ma w tym punkcie pochodnej.

Praktycznie rzadko liczy się pochodną z granicy – robią to gotowe reguły, które znajdziesz w hasłach pochodna funkcji potęgowej i wielomianu i pochodna sumy, iloczynu i ilorazu. Definicja jest potrzebna po to, żeby wiedzieć, czym pochodna jest – a to decyduje o tym, jak czytać zadania ze styczną, monotonicznością i optymalizacją.

Przykład 1 – pochodna w punkcie z definicji. Oblicz z definicji pochodną funkcji $f(x) = x^2 - 3x$ w punkcie $x_0 = 2$.

Mamy $f(2) = 4 - 6 = -2$ oraz $f(2 + h) = (2+h)^2 - 3(2+h) = 4 + 4h + h^2 - 6 - 3h = -2 + h + h^2$. Iloraz różnicowy to

Gdy $h \to 0$, wyrażenie $1 + h$ zbliża się do $1$. Zatem $f'(2) = 1$. Dla $h = 0{,}1$ iloraz wynosi $1{,}1$, a dla $h = 0{,}01$ – $1{,}01$.

Przykład 2 – funkcja pochodna. Wyprowadź z definicji wzór pochodnej funkcji $f(x) = x^2$ w dowolnym punkcie $x$.

Gdy $h \to 0$, otrzymujemy $f'(x) = 2x$. Dla $x = 1$ jest to $2$, czyli dokładnie to, do czego zbliżały się liczby w tabeli. Na wykresie widać to jako nachylenie stycznej $y = 2x - 1$, a sieczna dla $h = 2$ (nachylenie $4$) jest od niej znacznie bardziej stroma.

Przykład 3 – funkcja z ułamkiem. Oblicz z definicji pochodną funkcji $f(x) = \frac{1}{x}$ w punkcie $x_0 = 2$.

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

Skracamy przez $h \neq 0$ i dopiero wtedy przechodzimy do granicy: dla $h \to 0$ dostajemy $\frac{-1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}$. Zatem $f'(2) = -\frac{1}{4}$. Sprawdzenie: dla $h = 1$ iloraz wynosi $-\frac{1}{6}$, dla $h = 0{,}01$ – około $-0{,}2488$, czyli zbliża się do $-0{,}25$.

Podstawienie $h = 0$ od razu. W ilorazie $\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ po wstawieniu $h = 0$ wychodzi $\frac{0}{0}$. Najpierw trzeba uprościć licznik tak, żeby dało się skrócić $h$ (jak w przykładach wyżej), dopiero potem zbliżać $h$ do zera.

Pomylenie ilorazu z pochodną. Iloraz różnicowy zależy od $h$ i jest współczynnikiem siecznej. Pochodna to liczba – granica tych ilorazów – i opisuje styczną. Wynik „$2 + h$" nie jest odpowiedzią na pytanie o pochodną.

Błąd w rozwinięciu $f(x_0 + h)$. Zapis $(2+h)^2 = 4 + h^2$ gubi składnik $4h$, a $-3(2+h)$ bywa liczone jako $-6 + 3h$. Kontrola: licznik po uproszczeniu musi dawać wielokrotność $h$, bo inaczej nie da się skrócić – jeśli zostaje wyraz wolny, w rachunku jest błąd.

Brak pochodnej uznany za zero. Z tego, że funkcja nie ma pochodnej w punkcie (np. $\lvert x \rvert$ w zerze, gdzie iloraz dla $h > 0$ wynosi $1$, a dla $h < 0$ wynosi $-1$), nie wynika, że pochodna jest równa $0$. Pochodna po prostu nie istnieje.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: