Monotoniczność funkcji a pochodna

Pochodna mówi, jak szybko zmienia się funkcja, więc jej znak mówi, w którą stronę. Jeżeli w całym przedziale $f'(x) > 0$, to wykres idzie w górę i funkcja jest rosnąca. Jeżeli $f'(x) < 0$, wykres opada i funkcja jest malejąca. To pozwala wyznaczyć przedziały monotoniczności bez rysowania wykresu: wystarczy zbadać znak pochodnej. Samo pojęcie monotoniczności i jej definicję z nierównością $f(x_1) < f(x_2)$ omawia hasło monotoniczność funkcji.

Zasady, które trzeba znać:

• $f' > 0$ w przedziale – funkcja rosnąca w tym przedziale,
• $f' < 0$ w przedziale – funkcja malejąca,
• $f' = 0$ w całym przedziale – funkcja stała,
• odwrotnie tylko słabiej: funkcja rosnąca ma $f' \geq 0$, a niekoniecznie $f' > 0$. Pochodna może zerować się w pojedynczych punktach, a funkcja nadal rośnie – na przykład $f(x) = x^3$ ma $f'(0) = 0$, ale rośnie na całej prostej.

Schemat pracy jest zawsze ten sam: dziedzina, pochodna, miejsca zerowe pochodnej, znak pochodnej w każdym przedziale, wniosek. Miejsca, w których pochodna zmienia znak, są granicami przedziałów monotoniczności. Gdy funkcja jest ciągła na końcu przedziału, końce można dołączyć: funkcja $x^3 - 3x^2$ jest malejąca w przedziale $[0, 2]$, a nie tylko w $(0, 2)$.

Do liczenia pochodnych potrzebne są reguły z haseł pochodna sumy, iloczynu i ilorazu oraz pochodna funkcji potęgowej. Punkty, w których pochodna zmienia znak, to kandydaci na ekstrema – to osobne hasło, ekstrema lokalne funkcji.

Przykład 1 – przedziały monotoniczności wielomianu. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = x^3 - 3x^2$.

Dziedzina to $\mathbb{R}$. Pochodna: $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$, więc zeruje się w $x = 0$ i $x = 2$. To parabola ramionami do góry, dodatnia na zewnątrz miejsc zerowych i ujemna między nimi. Stąd funkcja jest rosnąca w przedziałach $(-\infty, 0]$ oraz $[2, \infty)$ i malejąca w $[0, 2]$ – tak jak w tabeli i na wykresie wyżej.

Przykład 2 – funkcja z dziedziną z dziurą. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = x + \frac{4}{x}$.

Dziedzina: $x \neq 0$. Pochodna:

Mianownik jest dodatni dla każdego $x \neq 0$, więc o znaku decyduje licznik: $f' > 0$ dla $x < -2$ i $x > 2$, a $f' < 0$ dla $x \in (-2, 0) \cup (0, 2)$. Funkcja rośnie w $(-\infty, -2]$ i $[2, \infty)$, a maleje osobno w $[-2, 0)$ i osobno w $(0, 2]$. Nie wolno pisać, że maleje w sumie $[-2, 0) \cup (0, 2]$: dla $x_1 = -1$ i $x_2 = 1$ mamy $x_1 < x_2$, ale $f(-1) = -5 < 5 = f(1)$, czyli wartości rosną.

Przykład 3 – parametr. Dla jakich wartości $m$ funkcja $f(x) = x^3 + mx^2 + 3x$ jest rosnąca w całym zbiorze liczb rzeczywistych?

Pochodna to $f'(x) = 3x^2 + 2mx + 3$ – parabola ramionami do góry. Ma być $f'(x) \geq 0$ dla każdego $x$, więc wyróżnik nie może być dodatni: $\Delta = 4m^2 - 36 \leq 0$, czyli $m \in [-3, 3]$. Punkty końcowe zostają: dla $m = 3$ mamy $f'(x) = 3(x + 1)^2$, zero tylko w $x = -1$, więc funkcja nadal rośnie. Dlatego warunek to $\Delta \leq 0$, a nie $\Delta < 0$.

Zero pochodnej uznane za zmianę monotoniczności. Dla $f(x) = x^3$ jest $f'(0) = 0$ i uczeń kończy „w zerze funkcja przestaje rosnąć". Funkcja rośnie na całej prostej. Znak pochodnej musi się naprawdę zmienić po obu stronach punktu, żeby zmieniła się monotoniczność.

Zakładanie, że znaki się zawsze przeplatają. Pochodna $f'(x) = (x - 1)^2(x + 2)$ ma pierwiastki $-2$ i $1$, ale w $x = 1$ znak się nie zmienia: $f'(0) = 2$ i $f'(2) = 4$. Znak sprawdzaj w każdym przedziale podstawieniem liczby, nie zgaduj z liczby pierwiastków.

Łączenie przedziałów przez lukę w dziedzinie. Dla $x + \frac{4}{x}$ zapis „maleje w $[-2, 2]$" jest błędny, bo $0$ nie należy do dziedziny, a wartości po obu stronach zera rosną. Przedziały monotoniczności zapisuj osobno dla każdej składowej dziedziny.

Monotoniczność pochodnej zamiast jej znaku. Pochodna $3x^2 - 6x$ jest malejąca w $(-\infty, 1)$, ale to nic nie mówi o $f$. O funkcji $f$ decyduje, czy $f'$ jest dodatnia lub ujemna, a nie czy sama rośnie.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: