Wszystkie zagadnienia: Rachunek różniczkowy

średni matura rozszerzona z matematykipochodnafunkcja potęgowawielomiany

Pochodna funkcji potęgowej i wielomianu

Q: Czy wzór (x^r)' = r x^(r-1) działa dla każdego wykładnika?

Działa dla dowolnej liczby rzeczywistej r, o ile funkcja x^r jest określona w rozważanym punkcie. Dla wykładników ułamkowych rozważamy x > 0, dla ujemnych całkowitych x ≠ 0. Przypadek r = 0 daje funkcję stałą, a jej pochodna wynosi 0.

Q: Jaka jest pochodna funkcji f(x) = x?

Wynosi 1, bo x = x^1 i (x^1)' = 1 · x^0 = 1. Stąd też (ax + b)' = a.

Q: Czy muszę pamiętać pochodne 1/x i √(x), skoro znam wzór na x^r?

Nie, wystarczy przepisać do postaci potęgowej i podstawić r = -1 lub r = 1/2. Oba wzory są zresztą na karcie wzorów, ale znajomość schematu pozwala poradzić sobie też z 1/(x^4), 3√(x) czy x√(x), których na karcie nie ma.

Q: Dlaczego pochodna wielomianu stopnia n jest wielomianem stopnia n - 1?

Każdy wyraz ax^k przechodzi w kax^(k-1), więc najwyższa potęga obniża się o jeden. Wyraz o stopniu najwyższym nie znika, bo jego współczynnik na ≠ 0. Dlatego pochodna wielomianu stopnia 3 jest trójmianem kwadratowym, a jej miejsca zerowe da się znaleźć wzorami na funkcję kwadratową.

Opis

Funkcja potęgowa to funkcja postaci $f(x) = x^r$ , gdzie $r$ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Mieszczą się w niej same potęgi ( $x^2$ , $x^5$ ), ułamki ( $\frac{1}{x} = x^{-1}$ , $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$ ) i pierwiastki ( $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ ). Pochodna każdej z nich liczy się jednym schematem: wykładnik schodzi przed $x$ , a w wykładniku zostaje o jeden mniej.

(x^r)' = r \cdot x^{r-1}

Do liczenia pochodnych wielomianów wystarczą trzy zasady:

pochodna stałej to $0$ , bo wykres stałej jest poziomą prostą,
stały współczynnik wychodzi przed pochodną: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$ ,
pochodną sumy i różnicy liczymy wyraz po wyrazie (reguły dla sumy, iloczynu i ilorazu opisuje hasło pochodna sumy, iloczynu i ilorazu).

Z nich wynika, że pochodna wielomianu to znów wielomian, o stopień niższy. Wszystko, co nie jest potęgą, trzeba najpierw przepisać do postaci potęgowej: $\frac{1}{x^3}$ na $x^{-3}$ , $\sqrt{x}$ na $x^{\frac{1}{2}}$ , $\frac{5}{\sqrt{x}}$ na $5x^{-\frac{1}{2}}$ . Dopiero potem stosujemy wzór. Dla wykładników niecałkowitych pochodną rozważamy dla $x > 0$ , a dla wykładników ujemnych całkowitych – dla $x \neq 0$ .

Sama definicja pochodnej jako granicy ilorazu różnicowego jest w haśle definicja pochodnej, a granice w haśle granica funkcji. Tutaj korzystamy z gotowego wzoru.

Wzory

Stała karta CKE

(c)' = 0

Pochodna funkcji stałej,

c \in \mathbb{R}

Funkcja liniowa karta CKE

(ax + b)' = a

Współczynnik kierunkowy prostej jest jej pochodną.

Trójmian kwadratowy karta CKE

(ax^{2} + bx + c)' = 2ax + b

Szczególny przypadek wzoru na potęgę i reguł dla sumy.

Funkcja potęgowa karta CKE

(x^{r})' = r \cdot x^{r-1}

Dla dowolnego

r \in \mathbb{R}

, w zakresie, w którym

x^r

ma sens.

Stały współczynnik karta CKE

(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)

Stała

c

wychodzi przed pochodną.

Odwrotność karta CKE

\left(\frac{a}{x}\right)' = -\frac{a}{x^{2}}

Dla

x \neq 0

; wynika z

(ax^{-1})' = -ax^{-2}

Pierwiastek karta CKE

(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Dla

x > 0

; wynika z

(x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}

Tabela

Przepisanie do postaci potęgowej i pochodna

Funkcja	Postać potęgowa	Pochodna (potęgowo)	Pochodna (jak w arkuszu)
$\frac{1}{x}$	$x^{-1}$	$-x^{-2}$	$-\frac{1}{x^{2}}$
$\frac{1}{x^{3}}$	$x^{-3}$	$-3x^{-4}$	$-\frac{3}{x^{4}}$
$\sqrt{x}$	$x^{\frac{1}{2}}$	$\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$x\sqrt{x}$	$x^{\frac{3}{2}}$	$\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$	$\frac{3}{2}\sqrt{x}$
$\frac{5}{\sqrt{x}}$	$5x^{-\frac{1}{2}}$	$-\frac{5}{2}x^{-\frac{3}{2}}$	$-\frac{5}{2x\sqrt{x}}$

Wykres

Funkcja

f(x) = x^3 - 3x

i jej pochodna

f'(x) = 3x^2 - 3

f(x) = x^3 - 3x

f'(x) = 3x^2 - 3

Przykład

Przykład 1 – wielomian. Dla $f(x) = 2x^5 - 3x^3 + 4x - 7$ oblicz $f'(-1)$ i $f'(2)$ .

Każdy wyraz różniczkujemy osobno, a stała $-7$ znika:

f'(x) = 10x^4 - 9x^2 + 4

Podstawiamy: $f'(-1) = 10 - 9 + 4 = 5$ oraz $f'(2) = 10 \cdot 16 - 9 \cdot 4 + 4 = 128$ .

Przykład 2 – ułamki i pierwiastek. Dla $f(x) = \frac{4}{x^2} - 6\sqrt{x} + \frac{3}{x}$ oblicz $f'(4)$ .

Przepisujemy do postaci potęgowej: $f(x) = 4x^{-2} - 6x^{\frac{1}{2}} + 3x^{-1}$ . Stąd

f'(x) = -8x^{-3} - 3x^{-\frac{1}{2}} - 3x^{-2} = -\frac{8}{x^3} - \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x^2}

Dla $x = 4$ : $f'(4) = -\frac{8}{64} - \frac{3}{2} - \frac{3}{16} = -\frac{29}{16}$ .

Przykład 3 – iloczyn do rozwinięcia. Dla $f(x) = (2x - 1)(x^2 + 3)$ znajdź wszystkie $x$ , dla których $f'(x) = 6$ .

Wielomian w postaci iloczynowej najprościej najpierw wymnożyć: $f(x) = 2x^3 - x^2 + 6x - 3$ . Wtedy $f'(x) = 6x^2 - 2x + 6$ . Równanie $6x^2 - 2x + 6 = 6$ daje $2x(3x - 1) = 0$ , czyli $x = 0$ lub $x = \frac{1}{3}$ .

Typowe błędy

Pochodna stałej równa stałej. Zapis $(7)' = 7$ albo $(x^3 - 5)' = 3x^2 - 5$ zostawia wyraz wolny. Wykres stałej nie zmienia wysokości, więc $(c)' = 0$ i taki wyraz znika.

Zły wykładnik przy ułamkach. Dla $f(x) = \frac{1}{x^3}$ uczeń liczy „pochodną mianownika" i dostaje $\frac{1}{3x^2}$ . Poprawnie: $f(x) = x^{-3}$ , więc $f'(x) = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$ . Przy wykładniku ujemnym $r - 1$ jest jeszcze mniejsze, np. $-3 - 1 = -4$ , a nie $-2$ .

Zgubiona dwójka w pierwiastku. Zapis $(\sqrt{x})' = \frac{1}{\sqrt{x}}$ pomija czynnik $\frac{1}{2}$ . Poprawnie: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , bo $\frac{1}{2}$ pochodzi z wykładnika. Kontrola: dla $x = 4$ pochodna ma wynosić $\frac{1}{4}$ .

Pochodna iloczynu jako iloczyn pochodnych. Dla $(x+2)(x-1)$ wychodzi wtedy $1 \cdot 1 = 1$ . Pochodna iloczynu nie rozpada się na iloczyn pochodnych (patrz pochodna sumy, iloczynu i ilorazu). Przy wielomianach prościej wymnożyć nawiasy i różniczkować wyraz po wyrazie: $(x^2 + x - 2)' = 2x + 1$ .

Sprawdź się

Uzupełnij wartości pochodnych w podanych punktach.

$f(x)$	$x_0$	$f'(x_0)$
$x^5$	1
$5x^2$	3
$3x^4$	2
$x^3 - 3x$	2
$7$	10

Dla $f(x) = \sqrt{x}$ mamy $f'(4) =$ .

Pochodna funkcji $f(x) = x^{-3}$ ma postać $-3x^{n}$ , gdzie $n =$ .

Pochodna funkcji $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ to $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ . Równanie $f'(x) = 0$ ma dwa rozwiązania: mniejsze to $x =$ , a większe $x =$ .

Najczęściej zadawane pytania

Czy wzór

(x^r)' = r x^{r-1}

działa dla każdego wykładnika?

Działa dla dowolnej liczby rzeczywistej $r$ , o ile funkcja $x^r$ jest określona w rozważanym punkcie. Dla wykładników ułamkowych rozważamy $x > 0$ , dla ujemnych całkowitych $x \neq 0$ . Przypadek $r = 0$ daje funkcję stałą, a jej pochodna wynosi $0$ .

Jaka jest pochodna funkcji

f(x) = x

Wynosi $1$ , bo $x = x^1$ i $(x^1)' = 1 \cdot x^0 = 1$ . Stąd też $(ax + b)' = a$ .

Czy muszę pamiętać pochodne

\frac{1}{x}

\sqrt{x}

, skoro znam wzór na

x^r

Nie, wystarczy przepisać do postaci potęgowej i podstawić $r = -1$ lub $r = \frac{1}{2}$ . Oba wzory są zresztą na karcie wzorów, ale znajomość schematu pozwala poradzić sobie też z $\frac{1}{x^4}$ , $\sqrt[3]{x}$ czy $x\sqrt{x}$ , których na karcie nie ma.

Jak policzyć pochodną wielomianu podanego w postaci iloczynowej?

Najprościej wymnożyć nawiasy i różniczkować wyraz po wyrazie, np. $(x+2)(x-1) = x^2 + x - 2$ , więc pochodna to $2x + 1$ . Regułę iloczynu warto zostawić na sytuacje, gdy rozwijanie jest bardzo długie.

Dlaczego pochodna wielomianu stopnia

n

jest wielomianem stopnia

n - 1

Każdy wyraz $ax^k$ przechodzi w $kax^{k-1}$ , więc najwyższa potęga obniża się o jeden. Wyraz o stopniu najwyższym nie znika, bo jego współczynnik $na \neq 0$ . Dlatego pochodna wielomianu stopnia $3$ jest trójmianem kwadratowym, a jej miejsca zerowe da się znaleźć wzorami na funkcję kwadratową.

Komentarz Autora

Karta „Wybrane wzory matematyczne" ma rozdział 16, „Pochodna funkcji", i są na niej wszystkie wzory z tego hasła: pochodna stałej, funkcji liniowej, trójmianu kwadratowego, potęgi $x^r$ , odwrotności $\frac{a}{x}$ i pierwiastka, a także $[c \cdot f(x)]'$ . Nie ma tam osobnego wiersza dla $\frac{1}{x^n}$ – trzeba przepisać do $x^{-n}$ i użyć wzoru na $x^r$ .

W arkuszach rozszerzonych zebranych na portalu zadania z jawnym poleceniem „oblicz pochodną" dotyczą funkcji wymiernych (iloraz): przykładowy 2015 (zadanie 8), 2016 maj (zadanie 4), 2017 czerwiec (zadanie 4), 2019 czerwiec (zadanie 7), 2020 lipiec (zadanie 3), 2022 maj (zadanie 2) i czerwiec 2026 (zadanie 3, za 3 punkty, klucz: $a = 2$ ). Omawia je hasło o regułach dla ilorazu. Wzór na potęgę pojawia się natomiast jako krok w zadaniach optymalizacyjnych, np. w czerwcu 2025 (poziom rozszerzony, zadanie 12.2, za 4 punkty): dla $V(a) = 6a - \frac{1}{8}a^3$ klucz daje 1 punkt za samo $V'(a) = 6 - \frac{3}{8}a^2$ , 2 punkty za miejsce zerowe $a = 4$ , a odpowiedź to $a = 4$ i $V(4) = 16$ . Całe zadanie omawia hasło zadania optymalizacyjne z pochodną. Zastosowanie pochodnej do stycznej opisuje styczna do wykresu funkcji.

Rada: przed różniczkowaniem zawsze zapisz funkcję jako sumę potęg $x^r$ ze współczynnikami. Prawie wszystkie pomyłki powstają, gdy różniczkujesz ułamek lub pierwiastek „na oko".

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Ekstrema lokalne funkcjiPochodna funkcji Monotoniczność funkcji a pochodnaPochodna funkcji Pochodna funkcji – definicja i interpretacjaPochodna funkcji Styczna do wykresu funkcjiPochodna funkcji Pochodna funkcji złożonejPochodna funkcji Pochodna sumy, iloczynu i ilorazuPochodna funkcji