Pochodna sumy, iloczynu i ilorazu

Pochodne pojedynczych funkcji – stałej, potęgi, pierwiastka, $\frac{a}{x}$ – odczytujesz z karty wzorów (omawia je hasło pochodna funkcji potęgowej). Na maturze funkcje rzadko są jednak „pojedyncze". Zwykle to suma kilku składników, iloczyn dwóch nawiasów albo ułamek, w którym licznik i mianownik zawierają $x$. Reguły z tego hasła mówią, jak z pochodnych części złożyć pochodną całości.

Każda reguła działa tak samo: dzielisz funkcję na dwie części $f$ i $g$, liczysz osobno $f'$ i $g'$, a potem wstawiasz cztery wyrażenia do gotowego schematu. Cała trudność leży w tym, żeby schemat zapisać dokładnie – z właściwym znakiem, właściwą kolejnością i kwadratem w mianowniku.

Zanim zaczniesz liczyć, sprawdź cztery rzeczy:

• Suma i różnica – różniczkujesz wyraz po wyrazie, a stały czynnik zostaje przed pochodną: $(5x^2 - 3x)' = 10x - 3$.
• Iloczyn – pochodna iloczynu to NIE iloczyn pochodnych. Są dwa składniki: „pochodna pierwszej razy druga" plus „pierwsza razy pochodna drugiej".
• Iloraz – w liczniku stoi różnica, więc kolejność ma znaczenie: najpierw $f' \cdot g$, potem $f \cdot g'$. W mianowniku zawsze $[g(x)]^2$.
• Czy reguła jest w ogóle potrzebna – jeżeli mianownik jest stałą albo jednomianem, albo ułamek da się skrócić, szybciej jest najpierw uprościć funkcję, a dopiero potem liczyć pochodną.

Pochodna ilorazu istnieje tylko tam, gdzie $g(x) \neq 0$ – czyli w dziedzinie funkcji. Mianownik pochodnej, $[g(x)]^2$, jest w dziedzinie zawsze dodatni, więc o znaku $f'(x)$ decyduje wyłącznie licznik. Z tej obserwacji korzysta się przy szukaniu przedziałów monotoniczności i ekstremów (hasło monotoniczność funkcji a pochodna).

Przykład 1 – pochodna iloczynu. Oblicz pochodną funkcji $f(x) = (x^2 + 1)(2x - 3)$.

Pierwszy czynnik to $x^2 + 1$, jego pochodna wynosi $2x$. Drugi czynnik to $2x - 3$, jego pochodna wynosi $2$. Wstawiamy do wzoru „pochodna pierwszego razy drugi plus pierwszy razy pochodna drugiego":

Sprawdzenie innym sposobem: po wymnożeniu $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3$, a pochodna wielomianu to $6x^2 - 6x + 2$. Wynik ten sam. Przy dwóch krótkich nawiasach wymnażanie bywa nawet szybsze – reguła iloczynu opłaca się, gdy nawiasów nie da się łatwo wymnożyć albo gdy potrzebujesz pochodnej w postaci iloczynowej.

Przykład 2 – pochodna ilorazu i jej wartość w punkcie. Wyznacz pochodną funkcji $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$ określonej dla $x \neq 1$ i oblicz $f'(2)$.

Licznik: $f = x^2 + 3$, $f' = 2x$. Mianownik: $g = x - 1$, $g' = 1$. Najpierw zapisujemy pełny schemat, dopiero potem upraszczamy:

Nawias wokół $x^2 + 3$ jest konieczny – minus odejmuje cały iloczyn, więc zmienia znak obu wyrazów. Teraz wartość w punkcie:

To liczba, którą widać na wykresie powyżej: styczna w punkcie $(2, 7)$ opada o $3$ jednostki na każdą jednostkę w prawo. Równanie takiej stycznej wyprowadza hasło styczna do wykresu funkcji. Licznik $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$ zeruje się dla $x = 3$ i $x = -1$ – w tych punktach styczna jest pozioma.

Przykład 3 – kiedy reguła ilorazu jest zbędna. Oblicz pochodną funkcji $f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 5}{x}$ dla $x \neq 0$.

Mianownik jest jednomianem, więc dzielimy każdy wyraz licznika przez $x$:

Pochodna $\frac{5}{x}$ jest na karcie: $\left(\frac{a}{x}\right)' = -\frac{a}{x^2}$. Stąd

Reguła ilorazu dałaby ten sam wynik, ale przez licznik $(4x + 3) \cdot x - (2x^2 + 3x - 5) \cdot 1$, w którym łatwiej o pomyłkę w znakach. Dla kontroli: $f'(1) = 2 + 5 = 7$.

Reguła iloczynu i licznik reguły ilorazu wyglądają prawie tak samo. Różnią się znakiem – i tylko w iloczynie wolno zamienić składniki miejscami.

Iloczyn pochodnych zamiast pochodnej iloczynu. Zapis $[(x^2 + 1)(2x - 3)]' = 2x \cdot 2 = 4x$ wygląda naturalnie, ale jest fałszywy. Najprostszy test: $x \cdot x = x^2$ ma pochodną $2x$, a „iloczyn pochodnych" dałby $1 \cdot 1 = 1$. Poprawnie: dwa składniki, $f' g + f g'$.

Odwrócona kolejność w liczniku ilorazu. Kto napisze $f g' - f' g$, dostaje wynik z przeciwnym znakiem. Dla $\frac{2x + 1}{x - 4}$ poprawna pochodna to $\frac{-9}{(x - 4)^2}$, a zamieniona kolejność daje $\frac{9}{(x - 4)^2}$ – funkcja malejąca wychodzi rosnąca, a styczna ma złe nachylenie. Zapamiętaj: w liczniku najpierw różniczkujesz górę.

Brak kwadratu w mianowniku. Zapis $\frac{f' g - f g'}{g}$ daje inny wynik wszędzie poza punktami, w których $g(x) = 1$ albo licznik się zeruje. W Przykładzie 2 przypadkowo $g(2) = 1$, więc pomyłka by się nie ujawniła – dla $x = 5$ już tak (poprawnie $3$, bez kwadratu $7$). Kwadrat w mianowniku piszesz od razu, zanim zaczniesz liczyć licznik.

Minus bez nawiasu. Zapis $2x(x - 1) - x^2 + 3$ zamiast $2x(x - 1) - (x^2 + 3)$ zmienia znak tylko pierwszego wyrazu. Wynik: $x^2 - 2x + 3$ zamiast $x^2 - 2x - 3$. Iloczyn $f \cdot g'$ zawsze bierz w nawias, nawet gdy $g' = 1$.

Iloraz pochodnych. Pomysł $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'}{g'}$ jest tym samym błędem co przy iloczynie. Dla $\frac{x^2 + 3}{x - 1}$ dałby $2x$, czyli $f'(2) = 4$ zamiast $-3$.

Skracanie wyrazu zamiast czynnika. W $\frac{x^2 + 3}{x}$ nie wolno „skreślić $x$" i napisać $x + 3$. Dzielisz każdy wyraz licznika: $x + \frac{3}{x}$. Skracać można tylko czynnik wspólny całego licznika i mianownika, jak w $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = x + 3$.

Zapomniana dziedzina. Wzór na pochodną ilorazu obowiązuje tylko dla $g(x) \neq 0$. Gdy pochodna przyrównana do zera daje $x$, dla którego mianownik się zeruje, ten $x$ odpada – funkcja nie jest w nim nawet określona.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: