Styczna do wykresu funkcji

Styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P = (x_0, f(x_0))$ to prosta, która przechodzi przez $P$ i ma w tym punkcie to samo nachylenie co wykres. Jej współczynnik kierunkowy jest równy pochodnej $f'(x_0)$ – skąd się to bierze, wyjaśnia hasło pochodna funkcji – definicja i interpretacja. Tutaj korzystamy z gotowego faktu i uczymy się, jak z niego zrobić równanie prostej.

Każde zadanie o stycznej sprowadza się do trzech liczb: odciętej punktu styczności $x_0$, wartości $f(x_0)$ i nachylenia $f'(x_0)$. Gdy znasz wszystkie trzy, podstawiasz je do równania prostej o danym współczynniku kierunkowym i gotowe. Różne typy zadań różnią się tylko tym, której z tych liczb brakuje na starcie:

• dana odcięta $x_0$ – liczysz $f(x_0)$ i $f'(x_0)$, a potem równanie;
• dana rzędna punktu, na przykład $P = (x_0, 18)$ – najpierw rozwiązujesz równanie $f(x_0) = 18$;
• dane nachylenie (styczna równoległa albo prostopadła do danej prostej) – rozwiązujesz równanie $f'(x_0) = a$ i może wyjść kilka punktów styczności;
• dany punkt, który nie leży na wykresie – $x_0$ jest niewiadomą w równaniu stycznej.

Styczna do wykresu funkcji nie musi mieć z wykresem tylko jednego punktu wspólnego. Prosta $y = 4x - 7$ jest styczna do wykresu $f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$ w punkcie $(2, 1)$, a mimo to przecina go jeszcze w punkcie $(-2, -15)$ (wykres niżej). Definicja „prosta, która ma z krzywą jeden punkt wspólny" działa dla okręgu – patrz styczna do okręgu – ale nie dla wykresu funkcji.

Pochodne, które tu liczymy, wymagają reguł z haseł pochodna funkcji potęgowej oraz pochodna sumy, iloczynu i ilorazu. Warunki równoległości i prostopadłości prostych omawia hasło wzór funkcji liniowej.

Przykład 1 – równanie stycznej i drugi punkt wspólny. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$ w punkcie o odciętej $x_0 = 2$ i znajdź pozostałe punkty wspólne tej stycznej z wykresem.

Liczymy trzy potrzebne liczby. Wartość: $f(2) = 8 - 8 + 1 = 1$. Pochodna: $f'(x) = 3x^2 - 4x$, więc $f'(2) = 12 - 8 = 4$. Podstawiamy do równania stycznej:

Punkty wspólne stycznej z wykresem to rozwiązania równania $f(x) = 4x - 7$, czyli $x^3 - 2x^2 - 4x + 8 = 0$. Wiemy z góry, że $x = 2$ jest rozwiązaniem – i to podwójnym, bo w punkcie styczności wykres „dotyka" prostej. Grupowanie wyrazów daje:

Drugi punkt wspólny ma odciętą $x = -2$ i rzędną $4 \cdot (-2) - 7 = -15$. Odpowiedź: styczna $y = 4x - 7$, drugi punkt wspólny $(-2, -15)$. To właśnie pokazuje pierwszy wykres.

Przykład 2 – styczna równoległa do prostej. Wyznacz równania wszystkich stycznych do wykresu funkcji $f(x) = x^3 - 3x$, które są równoległe do prostej $y = 9x + 1$.

Równoległa styczna ma ten sam współczynnik kierunkowy $9$. Szukamy punktów, w których pochodna jest równa $9$:

Dla $x_0 = 2$: $f(2) = 8 - 6 = 2$, styczna $y = 9(x - 2) + 2 = 9x - 16$. Dla $x_0 = -2$: $f(-2) = -8 + 6 = -2$, styczna $y = 9(x + 2) - 2 = 9x + 16$. Są dwie styczne i obie trzeba podać. Żadna z nich nie pokrywa się z prostą $y = 9x + 1$, więc obie są naprawdę równoległe, a nie identyczne z daną prostą.

Przykład 3 – styczna przez punkt spoza wykresu. Wyznacz równania stycznych do wykresu funkcji $f(x) = x^2$ przechodzących przez punkt $Q = (1, -3)$.

Punkt $Q$ nie leży na paraboli, bo $1^2 = 1 \neq -3$, więc nie jest punktem styczności. Punkt styczności oznaczamy $(x_0, x_0^2)$; ponieważ $f'(x_0) = 2x_0$, styczna w nim ma równanie $y = 2x_0(x - x_0) + x_0^2$. Żądamy, żeby przechodziła przez $Q$, czyli wstawiamy $x = 1$, $y = -3$:

Dla $x_0 = 3$ styczna to $y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9$, dla $x_0 = -1$ to $y = -2(x + 1) + 1 = -2x - 1$. Obie przechodzą przez $Q$ – sprawdzenie: $6 - 9 = -3$ i $-2 - 1 = -3$. Drugi wykres pokazuje tę parę stycznych.

Styczna do okręgu ma osobne hasło – styczna do okręgu. Tabela jest tu po to, żeby nie przenosić warunku „jeden punkt wspólny" z okręgu na wykres funkcji.

Wzór pochodnej zamiast liczby. Zapis $y = (3x^2 - 4x)(x - 2) + 1$ nie jest równaniem prostej, tylko wielomianem trzeciego stopnia. Współczynnik kierunkowy to liczba $f'(x_0)$: najpierw policz pochodną, potem podstaw $x_0$, i dopiero tę liczbę wstaw do równania stycznej.

Rzędna pomylona z odciętą. W zadaniu „punkt $P = (x_0, 18)$ należy do wykresu" liczba $18$ to wartość funkcji, a nie argument. Kto liczy $f'(18)$, dostaje nachylenie w zupełnie innym miejscu. Najpierw rozwiąż $f(x_0) = 18$, potem licz pochodną w znalezionym $x_0$.

Zgubiona druga styczna. Równanie $f'(x_0) = m$ ma często więcej niż jedno rozwiązanie – w przykładzie 2 wyszło $x_0 = \pm 2$. Podanie jednej stycznej zamiast dwóch to niepełna odpowiedź. Każde rozwiązanie równania $f'(x_0) = m$ z dziedziny funkcji daje osobny punkt styczności.

Prostopadła z tym samym nachyleniem. Styczna prostopadła do $y = -\frac{1}{3}x + 5$ ma nachylenie $3$, a nie $-\frac{1}{3}$ ani $\frac{1}{3}$. Warunek to $f'(x_0) \cdot m = -1$, więc $f'(x_0) = -\frac{1}{m}$ – odwrotność z przeciwnym znakiem.

Punkt spoza wykresu wzięty za punkt styczności. Gdy prosta ma przechodzić przez $Q = (1, -3)$, a $Q$ nie leży na wykresie, liczenie $f'(1)$ nie ma sensu. Sprawdź najpierw, czy $f(x_Q) = y_Q$. Jeśli nie – punkt styczności jest niewiadomą $x_0$ jak w przykładzie 3.

Znak przy $x_0$ ujemnym. Dla $x_0 = -2$ równanie stycznej ma postać $y = f'(-2)(x + 2) + f(-2)$. Zapis $(x - 2)$ przesuwa punkt styczności na drugą stronę osi. Podstawiając liczbę ujemną, bierz ją w nawias: $x - (-2) = x + 2$.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: