Przedziały liczbowe

Przedział liczbowy to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych leżących na osi między dwiema liczbami – jego końcami. Zamiast wypisywać nieskończenie wiele liczb, zapisujemy tylko końce i mówimy, czy do zbioru należą. Przedział $(1, 5]$ to wszystkie liczby $x$ spełniające $1 < x \leq 5$: jedynki w nim nie ma, piątka jest.

Trzy zasady wystarczą, żeby czytać i pisać przedziały bez pomyłek:

• Nawias okrągły oznacza, że koniec do przedziału nie należy (nierówność ostra, $<$ lub $>$). Nawias kwadratowy oznacza, że koniec należy (nierówność nieostra, $\leq$ lub $\geq$). Na osi odpowiada temu puste i zamalowane kółko.
• Symbole $\infty$ i $-\infty$ nie są liczbami, tylko znakiem „bez końca w tę stronę", więc przy nich zawsze stoi nawias okrągły: $[2, \infty)$, $(-\infty, 3)$. Cała oś to $(-\infty, \infty)$, czyli zbiór liczb rzeczywistych.
• Przedziały są zbiorami, więc można je łączyć: suma $\cup$ (liczby z któregokolwiek), część wspólna $\cap$ (liczby z obu naraz) i różnica $\setminus$ (liczby z pierwszego, których nie ma w drugim). Najpewniej robi się to na osi: rysujesz oba przedziały jeden pod drugim i czytasz.

W arkuszach CKE przedział zapisujemy tak jak tutaj, z nawiasami $[a, b]$ i $(a, b)$ oraz przecinkiem. Zapis ze średnikiem i ostrymi nawiasami pochodzi ze starszych podręczników i oznacza to samo.

Przykład 1 – suma, część wspólna i różnica. Dane są przedziały $A = (-3, 4]$ i $B = [1, 7)$. Wyznacz $A \cup B$, $A \cap B$, $A \setminus B$ oraz $B \setminus A$.

Na osi $A$ zaczyna się tuż za $-3$ i sięga do $4$ włącznie, a $B$ zaczyna się w $1$ (włącznie) i kończy tuż przed $7$. Nakładają się między $1$ a $4$, a końce $1$ i $4$ należą do obu przedziałów:

Różnica: z $A$ zabieramy to, co jest w $B$, czyli wszystko od $1$ w górę. Zostaje $A \setminus B = (-3, 1)$ – jedynka wypada, bo należy do $B$. Z $B$ zabieramy to, co jest w $A$, czyli wszystko do $4$ włącznie: $B \setminus A = (4, 7)$ – czwórka wypada, bo należy do $A$.

Przykład 2 – nierówność zapisana przedziałem. Zapisz przedziałem zbiór rozwiązań nierówności $\frac{2x-1}{2} - \frac{x+2}{3} \geq \frac{1}{6}$.

Mnożymy obie strony przez $6$: $3(2x - 1) - 2(x + 2) \geq 1$, czyli $6x - 3 - 2x - 4 \geq 1$. Stąd:

Nierówność jest nieostra, więc dwójka należy do zbioru, a po prawej nie ma końca: $x \in [2, \infty)$. Na osi: zamalowane kółko w $2$ i zaznaczona część na prawo od niego. Podstawienie $x = 2$ daje po lewej stronie dokładnie $\frac{1}{6}$, więc nierówność jest spełniona, a dla $x = 1$ już nie.

Przykład 3 – ile liczb całkowitych jest w przedziale. Ile liczb całkowitych należy do przedziału $(-\sqrt{5}, \pi]$?

Przybliżenia: $-\sqrt{5} \approx -2{,}24$ i $\pi \approx 3{,}14$. Lewy koniec jest liczbą niewymierną, więc nie jest całkowity i nie trzeba się martwić o nawias. Całkowite w przedziale to $-2, -1, 0, 1, 2, 3$ – razem $6$ liczb. Dwójka ze znakiem minus jest w środku, bo $-2 > -2{,}24$.

Nawias kwadratowy przy nieskończoności. Zapis $[2, \infty]$ jest błędny, bo $\infty$ nie jest liczbą, którą można „włączyć". Poprawnie: $[2, \infty)$.

Odwrócony nawias przy ostrej nierówności. Z nierówności $x < 3$ uczeń robi $(-\infty, 3]$, bo „trójka jest blisko". Zasada jest mechaniczna: $<$ i $>$ dają nawias okrągły, $\leq$ i $\geq$ – kwadratowy. Sprawdź podstawieniem: czy $x = 3$ spełnia nierówność? Nie, więc nawias okrągły.

Zła kolejność końców po zmianie znaku. Z nierówności $-3x \geq 6$ wychodzi $x \leq -2$ (dzielenie przez liczbę ujemną odwraca nierówność), czyli $(-\infty, -2]$. Kto zapomni o odwróceniu, zapisze $[-2, \infty)$ – a dla $x = -1$ lewa strona to $3$, nie spełnia $\geq 6$.

Pomylenie sumy z częścią wspólną. Dla dwóch warunków połączonych słowem „i" (układ nierówności) bierzemy część wspólną. Układ $2x + 1 < 7$ i $5 - x \leq 3$ daje $x < 3$ oraz $x \geq 2$, czyli $[2, 3)$ – a nie $(-\infty, 3)$ ani $[2, \infty)$. Suma przedziałów odpowiada słowu „lub".

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: