Zbiory liczbowe – liczby wymierne i niewymierne

Zbiory liczbowe to „szufladki", do których wkładamy liczby według ich własności. Pięć symboli wystarczy, żeby opisać wszystko, czego używasz na maturze:

• $\mathbb{N}$ – liczby naturalne: $0, 1, 2, 3, \ldots$ (w polskiej szkole z zerem),
• $\mathbb{Z}$ – liczby całkowite: naturalne i ich liczby przeciwne, czyli $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$,
• $\mathbb{Q}$ – liczby wymierne: wszystkie, które da się zapisać jako ułamek $\frac{p}{q}$ o całkowitych $p$ i $q \neq 0$,
• $\mathbb{R}$ – liczby rzeczywiste: wszystkie punkty osi liczbowej,
• $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ – liczby niewymierne: rzeczywiste, których nie da się zapisać takim ułamkiem.

Zbiory mieszczą się jeden w drugim: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$. Dlatego liczba $5$ jest jednocześnie naturalna, całkowita, wymierna i rzeczywista, a pytanie „do jakiego zbioru należy?" ma sens dopiero z dopiskiem „do którego najmniejszego".

Najważniejsze pytanie praktyczne brzmi: czy liczba jest wymierna? Odpowiedź widać w zapisie dziesiętnym. Liczba wymierna ma rozwinięcie skończone ($\frac{7}{8} = 0{,}875$) albo nieskończone okresowe ($\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$). Liczba niewymierna ma rozwinięcie nieskończone i nieokresowe, jak $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$ albo $\pi = 3{,}14159\ldots$. Przybliżenie typu $3{,}14$ czy $\frac{22}{7}$ jest już liczbą wymierną – to tylko kawałek $\pi$.

W zadaniach najczęściej spotkasz jedną regułę: pierwiastek z liczby, która nie jest kwadratem liczby całkowitej, jest niewymierny ($\sqrt{12}$, $\sqrt{10}$), ale $\sqrt{16} = 4$ jest zwykłą liczbą wymierną. A działania na liczbach niewymiernych mogą dać wymierną: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = 4$. Same rachunki na pierwiastkach omawia hasło własności pierwiastków, a dowód, że $\sqrt{2}$ jest niewymierny – hasło dowód niewymierności.

Przykład 1 – klasyfikacja liczb. Wskaż liczby niewymierne spośród: $\sqrt{49}$, $\sqrt{50}$, $-\frac{3}{5}$, $0{,}(27)$, $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$, $\sqrt{2} + \sqrt{8}$.

Idziemy po kolei i szukamy zapisu ułamkiem. $\sqrt{49} = 7$ – całkowita. $-\frac{3}{5}$ – ułamek, więc wymierna. $0{,}(27)$ ma okres, więc jest wymierna: $0{,}(27) = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$. Iloczyn $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ – wymierny. Zostają dwie liczby: $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ i $\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$. Obie to wielokrotności $\sqrt{2}$ przez liczbę wymierną różną od zera, więc są niewymierne (wartości: $\sqrt{50} \approx 7{,}07$, $3\sqrt{2} \approx 4{,}24$).

Przykład 2 – zamiana ułamka okresowego. Zapisz $0{,}(36)$ w postaci ułamka zwykłego.

Niech $x = 0{,}363636\ldots$ Mnożymy przez $100$, bo okres ma dwie cyfry, i odejmujemy:

Stąd $99x = 36$, czyli $x = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}$.

Przykład 3 – działanie na niewymiernych, wynik wymierny. Dane są $a = \sqrt{5} - 2$ i $b = \sqrt{5} + 2$. Czy iloczyn $a \cdot b$ jest liczbą wymierną?

Stosujemy wzór $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

Dwie liczby niewymierne dały jedynkę, więc iloczyn jest wymierny. Ten sam iloczyn jest kluczem do zadania z informatora CKE, o którym piszę w komentarzu autora.

Kolejne pary pojęć, które łatwo pomylić: „całkowita" kontra „naturalna" ($-4 \in \mathbb{Z}$, ale $-4 \notin \mathbb{N}$) oraz „wymierna" kontra „rzeczywista" (każda wymierna jest rzeczywista, odwrotnie nie).

Każdy pierwiastek uznany za niewymierny. Uczeń widzi $\sqrt{16}$ i zapisuje „liczba niewymierna". Pierwiastek jest niewymierny tylko wtedy, gdy liczba pod nim nie jest kwadratem liczby całkowitej (a dla wymiernych: nie jest kwadratem ułamka). $\sqrt{16} = 4$, $\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ – to liczby wymierne.

Suma lub iloczyn niewymiernych musi być niewymierny. Fałsz: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = 4$, $(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2) = 1$, $(1+\sqrt{2}) + (1-\sqrt{2}) = 2$. Nie zgaduj z samego wyglądu – policz działanie do końca i dopiero wtedy oceń wynik.

Skończone przybliżenie uznane za liczbę niewymierną. Zapis $3{,}14$ albo $1{,}41$ ma skończone rozwinięcie, więc jest wymierny. Niewymierne jest dokładne $\pi$ i dokładne $\sqrt{2}$, a nie ich przybliżenie z kalkulatora.

Ułamek okresowy uznany za niewymierny. Rozwinięcie $0{,}333\ldots$ jest nieskończone, ale okresowe, więc to $\frac{1}{3}$. Niewymierność wymaga obu cech naraz: nieskończone i nieokresowe.

Zero poza zbiorem lub minus w liczbach naturalnych. W polskiej szkole $0 \in \mathbb{N}$, a liczby ujemne nigdy nie są naturalne. Liczba $-4$ jest całkowita, ale nie naturalna.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: