Wszystkie zagadnienia: Liczby i algebra

podstawowy matura podstawowa z matematykimatura rozszerzona z matematykizaokrąglaniebłąd bezwzględnybłąd względny

Przybliżenia i błąd przybliżenia

Q: Jak obliczyć błąd bezwzględny przybliżenia?

Odejmij przybliżenie od liczby dokładnej i weź wartość bezwzględną: Δ = | x - x_p |. Dla x = 3,2 i x_p = 3 mamy Δ = 0,2. Wynik jest nieujemny i ma tę samą jednostkę co liczba.

Q: Jak obliczyć błąd względny w procentach?

Podziel błąd bezwzględny przez liczbę dokładną i pomnóż przez 100\%. Dla 1/8 przybliżonej liczbą 0,1: błąd bezwzględny to 0,025, dzielimy przez 0,125 i dostajemy 0,2, czyli 20\%.

Q: Czym różni się przybliżenie z nadmiarem od przybliżenia z niedomiarem?

Z nadmiarem jest liczba większa od dokładnej, z niedomiarem – mniejsza. Liczba 0,7 przybliża 2/3 z nadmiarem, a 0,6 – z niedomiarem. Rodzaj przybliżenia nie zależy od wielkości błędu, tylko od tego, po której stronie liczby dokładnej leży przybliżenie.

Q: Czy zaokrąglenie zawsze daje przybliżenie z nadmiarem?

Nie. Zaokrąglenie w górę daje nadmiar, w dół – niedomiar. Zależy to od pierwszej odrzucanej cyfry: 4,76 4,8 jest nadmiarem, ale 4,74 4,7 niedomiarem. Zaokrąglenie do liczby, która już jest dokładna, nie daje błędu.

Q: Czy błąd względny może być większy od 100%?

Tak. Gdy przybliżenie jest bardzo odległe od liczby dokładnej, na przykład x = 2 i x_p = 10, błąd bezwzględny to 8, a względny 8/2 = 400\%. W zadaniach z arkuszy dla Formuły 2015 wyniki to jednak kilka lub kilkanaście procent.

Q: Dlaczego dzielimy przez liczbę dokładną, a nie przez przybliżenie?

Bo błąd względny mierzy pomyłkę względem prawdziwej wartości. Przybliżenie jest już obarczone błędem, więc nie nadaje się na punkt odniesienia. Dzielenie przez przybliżenie to najczęstsze źródło złego wyniku w zadaniach z tego hasła.

Opis

Przybliżenie to liczba, którą podajemy zamiast liczby dokładnej, bo dokładna jest zbyt długa, niewygodna albo znana tylko z pomiaru. Liczbę dokładną oznaczmy $x$ , a jej przybliżenie $x_p$ . Przybliżeniem liczby $\frac{2}{3}$ jest $0{,}67$ , przybliżeniem masy Słońca $1{,}989 \cdot 10^{30}$ kg jest $2 \cdot 10^{30}$ kg. Każde przybliżenie jest z czymś wymienione na wygodę, więc pytamy: jak bardzo się pomyliliśmy. Na to pytanie odpowiadają dwa błędy.

Przybliżenie z niedomiarem to liczba mniejsza od dokładnej ( $x_p < x$ ), z nadmiarem – większa ( $x_p > x$ ). Liczba $0{,}67$ jest przybliżeniem z nadmiarem liczby $\frac{2}{3}$ , a $0{,}66$ – z niedomiarem.
Błąd bezwzględny mówi, o ile przybliżenie różni się od liczby dokładnej. To odległość liczb na osi, więc nigdy nie jest ujemny (więcej o module w haśle wartość bezwzględna).
Błąd względny mówi, jaką częścią liczby dokładnej jest błąd bezwzględny. Zwykle podajemy go w procentach. Ten sam błąd bezwzględny $1$ jest pomijalny przy liczbie $10\,000$ i ogromny przy liczbie $5$ – błąd względny to oddaje.
Zaokrąglanie to najczęstszy sposób dostawania przybliżeń: patrzymy na pierwszą odrzucaną cyfrę. Cyfra $0$ – $4$ – zostawiamy poprzednią bez zmian, cyfra $5$ – $9$ – zwiększamy poprzednią o jeden. Zaokrąglenie może więc dać niedomiar albo nadmiar: $4{,}76 \approx 4{,}8$ (nadmiar), $4{,}74 \approx 4{,}7$ (niedomiar).

Zapis liczb w postaci $a \cdot 10^{n}$ , który pojawia się przy dużych i małych wielkościach, omawia hasło potęgi i prawa działań. Procent jako część całości jest w haśle procenty.

Wzory

Błąd bezwzględny

\Delta = \lvert x - x_p \rvert

x

– liczba dokładna,

x_p

– przybliżenie. Zawsze

\Delta \geq 0

Błąd względny

\delta = \frac{\Delta}{\lvert x \rvert}

Dzielimy przez liczbę dokładną

x \neq 0

, nie przez przybliżenie.

Błąd względny w procentach

\delta \cdot 100\% = \frac{\Delta}{\lvert x \rvert} \cdot 100\%

Wynik

0{,}04

4\%

Liczba dokładna z błędu

x = x_p \pm \Delta

Znak „

+

" przy niedomiarze, „

-

" przy nadmiarze. Zadanie mówi, który to przypadek.

Tabela

Przybliżenia liczby

x = \frac{2}{3}

i ich błędy

Przybliżenie $x_p$	Rodzaj	Błąd bezwzględny $\Delta$	Błąd względny $\delta$
$0{,}6$	niedomiar	$\frac{1}{15}$	$10\%$
$0{,}7$	nadmiar	$\frac{1}{30}$	$5\%$
$0{,}67$	nadmiar	$\frac{1}{300}$	$0{,}5\%$
$0{,}667$	nadmiar	$\frac{1}{3000}$	$0{,}05\%$

Przykład

Przykład 1 – oba błędy. Liczbę $3{,}2$ przybliżono liczbą $3$ . Oblicz błąd bezwzględny i względny tego przybliżenia.

Przybliżenie jest mniejsze od liczby dokładnej, więc to niedomiar. Błąd bezwzględny:

\Delta = \lvert 3{,}2 - 3 \rvert = 0{,}2

Błąd względny liczymy względem liczby dokładnej $3{,}2$ :

\delta = \frac{0{,}2}{3{,}2} = 0{,}0625 = 6{,}25\%

Przykład 2 – zadanie odwrotne. Liczba $52$ jest przybliżeniem z nadmiarem liczby $x$ . Błąd względny tego przybliżenia wynosi $4\%$ . Oblicz $x$ .

Nadmiar oznacza $x_p > x$ , więc $\Delta = 52 - x$ . Błąd względny to $\frac{\Delta}{x} = 0{,}04$ , czyli

52 - x = 0{,}04x \quad\Rightarrow\quad 52 = 1{,}04x \quad\Rightarrow\quad x = 50

Sprawdzenie: $\Delta = 2$ i $\frac{2}{50} = 0{,}04 = 4\%$ .

Przykład 3 – ułamek zwykły. Liczbę $\frac{1}{3}$ przybliżono liczbą $0{,}33$ . Podaj błąd względny w procentach.

Wspólny mianownik: $\frac{1}{3} - 0{,}33 = \frac{100 - 99}{300} = \frac{1}{300}$ . Dzielimy przez liczbę dokładną:

\delta = \frac{\frac{1}{300}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{300} = \frac{1}{100} = 1\%

Porównanie

	Błąd bezwzględny	Błąd względny
Nazwa po angielsku	absolute error	relative error
Co mierzy	różnicę liczb	część liczby dokładnej
Wzór	$\lvert x - x_p \rvert$	$\frac{\lvert x - x_p \rvert}{\lvert x \rvert}$
Jednostka	taka jak liczba (kg, cm)	bez jednostki lub w %
Dzielenie	nie ma	przez liczbę dokładną

Typowe błędy

Dzielenie przez przybliżenie zamiast przez liczbę dokładną. Dla liczby $0{,}125$ przybliżonej liczbą $0{,}1$ błąd bezwzględny to $0{,}025$ . Dzielenie przez $0{,}1$ daje $25\%$ , a poprawnie jest $\frac{0{,}025}{0{,}125} = 20\%$ . Błąd względny zawsze odnosimy do wartości dokładnej.

Pomylenie błędu bezwzględnego z względnym. W przykładzie z masą Słońca błąd bezwzględny to $0{,}011 \cdot 10^{30}$ kg, czyli liczba z jednostką. Błąd względny byłby ułamkiem bez jednostki. Gdy zadanie pyta o jeden, nie podajemy drugiego.

Brak zamiany na procenty. Wynik $\frac{0{,}0125}{0{,}3125} = 0{,}04$ to nie $0{,}04\%$ , tylko $4\%$ . Różnica stu razy zmienia wybór odpowiedzi w teście. Mnożymy przez $100\%$ dopiero na końcu.

Odwrócony niedomiar i nadmiar. Skoro $15$ jest przybliżeniem z niedomiarem liczby $x$ , to $x$ jest większe od $15$ . Odejmowanie błędu zamiast dodawania daje $14{,}76$ zamiast $15{,}24$ . Zanim policzysz, zapisz sobie nierówność: niedomiar to $x_p < x$ .

Pomylenie przesunięcia przecinka. Różnica $2 - 1{,}989 = 0{,}011$ , a nie $0{,}11$ ani $0{,}0011$ . Przy liczbach postaci $a \cdot 10^{n}$ wyłącz wspólną potęgę przed odejmowaniem i policz różnicę mnożników.

Sprawdź się

Liczba dokładna wynosi $x = 40$ . Uzupełnij tabelę.

Przybliżenie	Rodzaj	Błąd bezwzględny	Błąd względny w %
38
45

Liczbę $\frac{1}{3}$ przybliżono liczbą $0{,}33$ . Błąd względny tego przybliżenia wynosi %.

Liczba $12$ jest przybliżeniem z niedomiarem liczby $x$ , a błąd bezwzględny wynosi $0{,}5$ . Zatem $x =$ .

Najczęściej zadawane pytania

Jak obliczyć błąd bezwzględny przybliżenia?

Odejmij przybliżenie od liczby dokładnej i weź wartość bezwzględną: $\Delta = \lvert x - x_p \rvert$ . Dla $x = 3{,}2$ i $x_p = 3$ mamy $\Delta = 0{,}2$ . Wynik jest nieujemny i ma tę samą jednostkę co liczba.

Jak obliczyć błąd względny w procentach?

Podziel błąd bezwzględny przez liczbę dokładną i pomnóż przez $100\%$ . Dla $\frac{1}{8}$ przybliżonej liczbą $0{,}1$ : błąd bezwzględny to $0{,}025$ , dzielimy przez $0{,}125$ i dostajemy $0{,}2$ , czyli $20\%$ .

Czym różni się przybliżenie z nadmiarem od przybliżenia z niedomiarem?

Z nadmiarem jest liczba większa od dokładnej, z niedomiarem – mniejsza. Liczba $0{,}7$ przybliża $\frac{2}{3}$ z nadmiarem, a $0{,}6$ – z niedomiarem. Rodzaj przybliżenia nie zależy od wielkości błędu, tylko od tego, po której stronie liczby dokładnej leży przybliżenie.

Czy zaokrąglenie zawsze daje przybliżenie z nadmiarem?

Nie. Zaokrąglenie w górę daje nadmiar, w dół – niedomiar. Zależy to od pierwszej odrzucanej cyfry: $4{,}76 \approx 4{,}8$ jest nadmiarem, ale $4{,}74 \approx 4{,}7$ niedomiarem. Zaokrąglenie do liczby, która już jest dokładna, nie daje błędu.

Czy błąd względny może być większy od 100%?

Tak. Gdy przybliżenie jest bardzo odległe od liczby dokładnej, na przykład $x = 2$ i $x_p = 10$ , błąd bezwzględny to $8$ , a względny $\frac{8}{2} = 400\%$ . W zadaniach z arkuszy dla Formuły 2015 wyniki to jednak kilka lub kilkanaście procent.

Dlaczego dzielimy przez liczbę dokładną, a nie przez przybliżenie?

Bo błąd względny mierzy pomyłkę względem prawdziwej wartości. Przybliżenie jest już obarczone błędem, więc nie nadaje się na punkt odniesienia. Dzielenie przez przybliżenie to najczęstsze źródło złego wyniku w zadaniach z tego hasła.

Komentarz Autora

W wymaganiach podstawy programowej od 2023 roku błąd przybliżenia nie ma osobnego punktu, a hasło nie ma kodu wymagania, więc nie ma też wzoru na karcie „Wybrane wzory matematyczne" – oba wzory musisz znać. W arkuszach zebranych na portalu dla Formuły 2023 nie znalazłem zadania, którego treścią byłby błąd przybliżenia (wyszukiwanie po słowach „przybliżen" i „zaokrągl" w arkuszach od 2023 daje tylko zadania, w których zaokrąglenie jest poleceniem do wyniku). Zadania na ten temat pochodzą z arkuszy dla Formuły 2015 – nie zakładaj, że wrócą na maturze 2027.

Wszystkie sześć to zadania zamknięte, zwykle za 1 punkt, i wszystkie mają jeden schemat. W czerwcu 2025 (arkusz dla Formuły 2015, poziom podstawowy, zadanie 1) liczba $0{,}1$ jest przybliżeniem $\frac{1}{8}$ , a błąd względny w procentach wynosi $20\%$ . W czerwcu 2015 (zadanie 22) liczba $0{,}3$ przybliża $\frac{5}{16}$ – odpowiedź $4\%$ . W grudniu 2014 (próbna, zadanie 1) liczba $0{,}6$ przybliża $\frac{5}{8}$ – znów $4\%$ . Wśród odpowiedzi do zadania z 2025 roku jest $25\%$ – to wynik dzielenia przez przybliżenie, błąd opisany wyżej.

Błąd bezwzględny pojawia się w trzech zadaniach. W arkuszu przykładowym 2015 (zadanie 1) liczba $15$ jest przybliżeniem z niedomiarem liczby $x$ z błędem $0{,}24$ , więc $x = 15{,}24$ . We wrześniu 2020 (zadanie 5) w zestawie 250 liczb jest $128$ czwórek i $122$ dwójki, średnia wynosi $3{,}024$ , a błąd przybliżenia liczbą $3$ to $0{,}024$ . W lipcu 2020 (zadanie 4) masę Słońca $1{,}989 \cdot 10^{30}$ kg przybliżono do $2 \cdot 10^{30}$ kg, błąd bezwzględny to $0{,}011 \cdot 10^{30}$ kg.

Rada: nazwij na brudno, co jest liczbą dokładną, a co przybliżeniem, zanim cokolwiek odejmiesz. Błąd względny wychodzi zawsze „dokładna na dole ułamka" – i tylko wtedy ma sens.

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Działania na ułamkach i kolejność działańLiczby rzeczywiste Podzielność liczb, liczby pierwsze, NWD i NWWLiczby rzeczywiste Procent składany, lokaty i kredytyLiczby rzeczywiste Procenty i punkty procentoweLiczby rzeczywiste Przedziały liczboweLiczby rzeczywiste Wartość bezwzględnaLiczby rzeczywiste