Wszystkie zagadnienia: Liczby i algebra

średni matura podstawowa z matematykimatura rozszerzona z matematykipierwiastkimianownikwzory skróconego mnożenia

Usuwanie niewymierności z mianownika

Q: Czy mogę rozszerzyć przez √(a), gdy w mianowniku jest suma, na przykład √(7) - 2?

Nie pomoże to. Po pomnożeniu (√(7) - 2) · √(7) dostajesz 7 - 2√(7) – pierwiastek wciąż jest w mianowniku. Przy sumie lub różnicy zawsze używaj sprzężenia, bo dopiero iloczyn postaci (x - y)(x + y) zamienia się w różnicę kwadratów, w której pierwiastki znikają.

Opis

Usuwanie niewymierności z mianownika to przekształcenie ułamka tak, żeby w mianowniku nie było pierwiastka, a wartość ułamka została taka sama. Ułamek $\frac{6}{\sqrt{3}}$ i liczba $2\sqrt{3}$ to ta sama liczba, ale druga postać jest wygodniejsza: łatwiej ją porównać z innymi liczbami, dodać do innych pierwiastków i odczytać z odpowiedzi w zadaniu zamkniętym. Czym jest pierwiastek, wyjaśnia hasło pierwiastki, a działania na pierwiastkach – hasło działania na pierwiastkach. Tutaj zajmujemy się jednym pytaniem: jak pozbyć się pierwiastka spod kreski ułamkowej.

Cała technika opiera się na jednej obserwacji: ułamek można rozszerzyć, czyli pomnożyć licznik i mianownik przez tę samą liczbę różną od zera, i jego wartość się nie zmienia. Wystarczy dobrać taką liczbę, żeby mianownik po pomnożeniu przestał mieć pierwiastek. Są dwa przypadki:

W mianowniku jest sam pierwiastek (na przykład $\sqrt{5}$ albo $2\sqrt{6}$ ). Rozszerzamy ułamek przez ten pierwiastek: $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$ . Pierwiastek razy on sam daje liczbę podpierwiastkową.
W mianowniku jest suma lub różnica z pierwiastkiem (na przykład $\sqrt{7} - 2$ albo $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ ). Rozszerzamy ułamek przez sprzężenie mianownika, czyli to samo wyrażenie ze zmienionym znakiem pośrodku. Iloczyn takiej pary to różnica kwadratów: pierwiastki znikają, bo każdy zostaje podniesiony do kwadratu.

Zasada pozostaje ta sama w obu przypadkach: to, przez co mnożysz mianownik, musisz pomnożyć także licznik. Na koniec warto sprawdzić, czy wynik da się skrócić albo uprościć, na przykład wyłączając czynnik spod pierwiastka.

Na marginesie: podobnie można postąpić z pierwiastkiem trzeciego stopnia. Z ułamka $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ dostajemy po rozszerzeniu przez $\sqrt[3]{4}$ liczbę $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ , bo $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{8} = 2$ . To tylko ciekawostka – w zadaniach maturalnych zebranych na portalu pojawiają się pierwiastki kwadratowe.

Wzory

Pierwiastek w mianowniku

\frac{b}{\sqrt{a}} = \frac{b\sqrt{a}}{a}

Dla

a > 0

. Ułamek rozszerzony przez

\sqrt{a}

, bo

\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a

Różnica kwadratów karta CKE

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Rozdział 6, „Wzory skróconego mnożenia". Podstawa całej metody ze sprzężeniem – patrz wzory skróconego mnożenia.

Sprzężenie, dwa pierwiastki

(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b

Dla

a \geq 0

b \geq 0

. Z różnicy kwadratów:

(\sqrt{a})^2 = a

(\sqrt{b})^2 = b

Sprzężenie, pierwiastek i liczba

(\sqrt{a} - b)(\sqrt{a} + b) = a - b^2

Dla

a \geq 0

. Mianownik po rozszerzeniu jest liczbą całkowitą albo ułamkiem, bez pierwiastka.

Ułamek ze sprzężeniem

\frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}

Dla

a \geq 0

b \geq 0

a \neq b

(inaczej mianownik jest zerem).

Tabela

Przez co rozszerzamy ułamek – zestawienie czterech typowych mianowników

Mianownik	Mnożymy licznik i mianownik przez	Mianownik po rozszerzeniu	Przykład
$\sqrt{a}$	$\sqrt{a}$	$a$	$\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$
$k\sqrt{a}$	$\sqrt{a}$	$k \cdot a$	$\frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4}$
$\sqrt{a} + b$ albo $\sqrt{a} - b$	$\sqrt{a} - b$ albo $\sqrt{a} + b$	$a - b^2$	$\frac{6}{\sqrt{7} - 2} = \frac{6(\sqrt{7} + 2)}{3} = 2\sqrt{7} + 4$
$\sqrt{a} + \sqrt{b}$ albo $\sqrt{a} - \sqrt{b}$	$\sqrt{a} - \sqrt{b}$ albo $\sqrt{a} + \sqrt{b}$	$a - b$	$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

Przykład

Przykład 1 – sam pierwiastek w mianowniku. Usuń niewymierność z mianownika ułamka $\frac{3}{2\sqrt{6}}$ .

Rozszerzamy ułamek przez $\sqrt{6}$ . Ten pierwiastek wystarczy, bo $\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6$ ; mnożenie przez $2\sqrt{6}$ dałoby ten sam wynik, ale po drodze trzeba by skracać:

\frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3 \cdot \sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4}

Na końcu skracamy przez $3$ . Wynik to $\frac{\sqrt{6}}{4} \approx 0{,}612$ – tyle samo wychodzi z wyjściowego ułamka.

Przykład 2 – różnica z pierwiastkiem w mianowniku. Usuń niewymierność z mianownika ułamka $\frac{6}{\sqrt{7} - 2}$ .

Sprzężeniem mianownika $\sqrt{7} - 2$ jest $\sqrt{7} + 2$ – zmieniamy tylko znak pośrodku. Mnożymy licznik i mianownik przez to wyrażenie, a w mianowniku korzystamy z różnicy kwadratów:

\frac{6}{\sqrt{7} - 2} = \frac{6(\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)} = \frac{6(\sqrt{7} + 2)}{7 - 4} = \frac{6(\sqrt{7} + 2)}{3} = 2(\sqrt{7} + 2) = 2\sqrt{7} + 4

Pierwiastek z mianownika zniknął, a mianownik $3$ skrócił się z szóstką z licznika. Przybliżenie obu postaci to $9{,}29$ .

Przykład 3 – równanie z arkusza CKE. Rozwiąż równanie $x\sqrt{3} + 2 = 2x - 8$ (zadanie z arkusza opisanego w komentarzu autora niżej).

Niewiadome przenosimy na jedną stronę i wyłączamy $x$ przed nawias:

x\sqrt{3} - 2x = -10 \quad\Rightarrow\quad x(\sqrt{3} - 2) = -10 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{-10}{\sqrt{3} - 2} = \frac{10}{2 - \sqrt{3}}

W mianowniku zostało $2 - \sqrt{3}$ , więc rozszerzamy przez sprzężenie $2 + \sqrt{3}$ :

x = \frac{10(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{10(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 10(2 + \sqrt{3})

Sprawdzenie: dla $x = 10(2 + \sqrt{3}) \approx 37{,}32$ lewa strona to $37{,}32 \cdot 1{,}732 + 2 \approx 66{,}64$ , prawa $2 \cdot 37{,}32 - 8 \approx 66{,}64$ .

Typowe błędy

Mnożenie tylko mianownika. Uczeń pisze $\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5}{3}$ . Taki ułamek ma wartość $1{,}67$ , a wyjściowy $2{,}89$ . Pomnożenie samego mianownika zmienia liczbę. Przez $\sqrt{3}$ mnożymy licznik i mianownik: $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ .

Zły znak w sprzężeniu albo brak sprzężenia. Dla mianownika $\sqrt{7} - 2$ uczeń rozszerza przez $\sqrt{7} - 2$ i dostaje $(\sqrt{7} - 2)^2 = 11 - 4\sqrt{7}$ – pierwiastek wciąż jest. Do pozbycia się pierwiastka potrzebny jest iloczyn $(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)$ , czyli znak pośrodku musi się zmienić.

Pomylone wzory przy mianowniku. W iloczynie $(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)$ uczeń pisze $7 - 2 = 5$ zamiast $7 - 2^2 = 3$ . Drugi składnik różnicy kwadratów też trzeba podnieść do kwadratu. Przy dwóch pierwiastkach jest łatwiej: $(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = 5 - 3 = 2$ .

Skracanie części licznika. W ułamku $\frac{6(\sqrt{7} + 2)}{3}$ uczeń skraca $6$ i $3$ tylko z jednym składnikiem nawiasu: $2\sqrt{7} + 2$ . Skracać trzeba cały licznik: $\frac{6(\sqrt{7} + 2)}{3} = 2(\sqrt{7} + 2)$ , a po opuszczeniu nawiasu dwójka mnoży oba wyrazy: $2\sqrt{7} + 4$ .

Sprawdź się

Dla każdego ułamka podaj mianownik po rozszerzeniu przez odpowiednie wyrażenie (przez $\sqrt{a}$ albo przez sprzężenie).

Ułamek	Mianownik po rozszerzeniu
$\frac{1}{\sqrt{5}}$
$\frac{3}{\sqrt{7} - 2}$
$\frac{2}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$
$\frac{1}{3 - \sqrt{5}}$

Ułamek $\frac{6}{\sqrt{3}}$ po usunięciu niewymierności z mianownika to $k\sqrt{3}$ , gdzie $k =$ .

Ułamek $\frac{10}{\sqrt{5}}$ jest równy $m\sqrt{5}$ , gdzie $m =$ .

Ułamek $\frac{6}{\sqrt{7} - 2}$ jest równy $2\sqrt{7} + p$ , gdzie $p =$ .

Sprzężeniem liczby $\sqrt{7} - 2$ jest liczba $\sqrt{7} +$ .

Suma $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ jest równa $q\sqrt{2}$ , gdzie $q =$ .

Najczęściej zadawane pytania

Po co usuwać niewymierność z mianownika?

Wartość ułamka się przez to nie zmienia, ale zapis staje się prostszy w użyciu. Łatwiej wtedy dodać dwa takie ułamki, porównać wynik z innymi liczbami i rozpoznać go wśród odpowiedzi w zadaniu zamkniętym.

Czy ułamek z pierwiastkiem w mianowniku, na przykład

\frac{1}{\sqrt{2}}

, to błąd?

Nie, to poprawny zapis liczby, jej wartość jest taka sama jak $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Jeżeli jednak polecenie mówi wprost, żeby usunąć niewymierność z mianownika, trzeba to zrobić. W zadaniach zamkniętych odpowiedzi podawane są zwykle w postaci uproszczonej, więc szukaj dopasowania po przekształceniu.

Dlaczego mnożenie przez sprzężenie nie zmienia wartości ułamka?

Rozszerzając ułamek, mnożysz licznik i mianownik przez to samo wyrażenie, czyli tak naprawdę przez $\frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} + 2} = 1$ . Mnożenie przez jedynkę nie zmienia liczby. Warunek jest jeden: wyrażenie, przez które rozszerzasz, nie może być równe zero.

Jak usunąć niewymierność, gdy w mianowniku są dwa pierwiastki?

Rozszerz ułamek przez sprzężenie, czyli to samo wyrażenie z przeciwnym znakiem. Dla $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ mnożysz przez $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ . W mianowniku wychodzi $5 - 3 = 2$ , więc wynik to $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$ . Wzór na różnicę kwadratów opisuje hasło wzory skróconego mnożenia.

Czy mogę rozszerzyć przez

\sqrt{a}

, gdy w mianowniku jest suma, na przykład

\sqrt{7} - 2

Nie pomoże to. Po pomnożeniu $(\sqrt{7} - 2) \cdot \sqrt{7}$ dostajesz $7 - 2\sqrt{7}$ – pierwiastek wciąż jest w mianowniku. Przy sumie lub różnicy zawsze używaj sprzężenia, bo dopiero iloczyn postaci $(x - y)(x + y)$ zamienia się w różnicę kwadratów, w której pierwiastki znikają.

Komentarz Autora

Najważniejszy fakt o tym haśle: sama technika nie jest na karcie „Wybrane wzory matematyczne". Jest tam natomiast wzór, na którym się opiera – różnica kwadratów $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ w rozdziale 6, „Wzory skróconego mnożenia". Sprzężenie to po prostu ten wzór zastosowany do pierwiastków.

W arkuszach zebranych na portalu w Formule 2023 nie znaleziono zadania, w którym usuwanie niewymierności z mianownika byłoby głównym krokiem. Wyszukiwanie po wyrażeniach z pierwiastkiem i różnicą lub sumą w mianowniku trafiło za to w starszą formułę. W czerwcu 2021 (sesja dodatkowa, poziom podstawowy, zadanie 7, za 1 punkt) trzeba było rozwiązać równanie $x\sqrt{3} + 2 = 2x - 8$ . Odpowiedź z klucza to A, czyli $x = 10(2 + \sqrt{3})$ – dokładnie wynik z przykładu 3. Odpowiedź B, $\frac{10}{\sqrt{3} - 2}$ , wygląda podobnie do postaci pośredniej, ale ma przeciwny znak: to liczba $-10(2 + \sqrt{3})$ . Wynik tego typu, czyli liczba bez pierwiastka w mianowniku, warto więc traktować jak dowód, że krok został zrobiony do końca.

Brak trafień w zebranych arkuszach Formuły 2023 nie dowodzi, że temat nie pojawi się na maturze. Zadanie z 2021 roku pokazuje, że ułamek z pierwiastkiem w mianowniku może wyjść jako krok pośredni w równaniu. Dlatego wystarczy, że wiesz, jak go przekształcić.

Rada praktyczna: przy sprzężeniu najpierw zapisz mianownik po rozszerzeniu jako $a - b$ (albo $a - b^2$ ) i dopiero potem mnóż licznik. Mianownik jest zwykle prosty i od razu widać, czy ułamek da się skrócić.

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Działania na pierwiastkachPotęgi, pierwiastki i logarytmy PierwiastkiPotęgi, pierwiastki i logarytmy Potęga o wykładniku wymiernymPotęgi, pierwiastki i logarytmy Logarytm – definicja i obliczaniePotęgi, pierwiastki i logarytmy Porównywanie potęg – monotoniczność potęgowaniaPotęgi, pierwiastki i logarytmy Potęgi i prawa działań na potęgachPotęgi, pierwiastki i logarytmy