Potęga o wykładniku wymiernym

Potęga o wykładniku wymiernym to inny zapis pierwiastka. Wykładnik jest ułamkiem, a ułamek mówi dwie rzeczy naraz: mianownik to stopień pierwiastka, a licznik to wykładnik potęgi pod pierwiastkiem. Dlatego $a^{\frac{1}{2}}$ to $\sqrt{a}$, a $8^{\frac{2}{3}}$ to $\sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$. Po co ten zapis? Bo na potęgach działa się łatwiej niż na pierwiastkach: mnożenie to dodawanie wykładników, a dzielenie – ich odejmowanie. Zadania typu „zapisz $\sqrt{5\sqrt{5}}$ jako potęgę liczby $5$" sprowadzają się do dodawania ułamków.

Definicje, na których opiera się całe hasło (liczby $m, n$ są całkowite dodatnie, $n \geq 2$):

• $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ dla $a \geq 0$ – ułamek w wykładniku zamienia się na pierwiastek,
• $a^{-\frac{m}{n}} = \dfrac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$ dla $a > 0$ – minus w wykładniku odwraca liczbę (tak samo jak przy wykładniku całkowitym),
• wykładnik dziesiętny zamieniamy na ułamek zwykły: $0{,}5 = \frac{1}{2}$, $0{,}25 = \frac{1}{4}$, $1{,}5 = \frac{3}{2}$.

Podstawa musi być nieujemna (przy wykładniku ujemnym – dodatnia). Powód jest prosty: $\frac{1}{3}$ i $\frac{2}{6}$ to ta sama liczba, ale $\sqrt[3]{-8} = -2$, a $\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$. Gdyby zapis $(-8)^{\frac{1}{3}}$ był dozwolony, dawałby dwie różne wartości. Pierwiastki z liczb ujemnych liczysz więc jako pierwiastki, nie jako potęgi – tak jak w haśle pierwiastki.

Potęgi wymierne mają te same prawa działań, co potęgi całkowite – wzory na $a^r \cdot a^s$, $\frac{a^r}{a^s}$, $(a^r)^s$ i $(ab)^r$ omawia hasło potęgi i prawa działań. Tutaj korzystamy z nich w jednym celu: żeby liczyć pierwiastki jako potęgi. Mnożenie, dzielenie i wyłączanie czynnika spod pierwiastka zapisanego w klasyczny sposób opisuje hasło własności pierwiastków, a wykładnik, który jest zmienną, pojawia się w haśle funkcja wykładnicza.

Przykład 1 – pierwiastek w pierwiastku. Zapisz liczbę $\sqrt{5\sqrt{5}}$ w postaci potęgi liczby $5$.

Wewnętrzny pierwiastek zamieniamy na potęgę: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$. Pod zewnętrznym pierwiastkiem stoi iloczyn $5 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$, czyli $5^{1 + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$. Zewnętrzny pierwiastek to wykładnik $\frac{1}{2}$:

Sprawdzenie liczbą: $\sqrt{5\sqrt{5}} \approx 3{,}344$ i $5^{\frac{3}{4}} \approx 3{,}344$.

Przykład 2 – wykładnik ułamkowy i ujemny razem. Oblicz $2^{-1} \cdot 32^{\frac{3}{5}}$.

Najpierw potęga o wykładniku ułamkowym. Liczba $32$ to $2^5$, więc pierwiastek piątego stopnia z niej to $2$:

Potem wykładnik ujemny: $2^{-1} = \frac{1}{2}$. Całość wynosi $\frac{1}{2} \cdot 8 = 4$.

Przykład 3 – wykładnik dziesiętny w ułamku. Oblicz $\dfrac{3^{-1} \cdot 4^{0{,}5}}{3^{-2} \cdot 2^{-1}}$.

Wykładnik dziesiętny zamieniamy na ułamek: $4^{0{,}5} = 4^{\frac{1}{2}} = 2$. Potęgi o tej samej podstawie łączymy, odejmując wykładniki: $\frac{3^{-1}}{3^{-2}} = 3^{-1 - (-2)} = 3$. Zostaje $\frac{2}{2^{-1}} = 2 \cdot 2 = 4$. Wynik: $3 \cdot 4 = 12$.

Ta sama liczba bez pomocy praw: licznik to $\frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$, mianownik to $\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{18}$, a iloraz $\frac{2}{3} : \frac{1}{18} = 12$.

Ostatni wiersz jest po to, żeby nie pomylić wykładnika $\frac{1}{n}$ z dzieleniem przez $n$ – o tym błędzie jest niżej.

Wykładnik ułamkowy jako dzielenie. Uczeń pisze $9^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{2} = 4{,}5$. Ułamek w wykładniku nie dzieli podstawy, tylko wybiera stopień pierwiastka: $9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$. Szybka kontrola: $3 \cdot 3 = 9$, a $4{,}5 \cdot 4{,}5 = 20{,}25$.

Zamienione miejsca licznika i mianownika. Wzór $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ mówi, że mianownik jest stopniem pierwiastka. Kto zamieni je miejscami, liczy $8^{\frac{2}{3}}$ jako $\sqrt{8^3} = \sqrt{512} \approx 22{,}6$ zamiast $\sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$. Wynik, który nie jest „ładną" liczbą, przy takim zadaniu zamkniętym powinien zapalić ostrzegawczą lampkę.

Minus w wykładniku jako minus przed wynikiem. Zapis $8^{-\frac{1}{3}}$ nie daje $-2$. Minus w wykładniku oznacza odwrotność: $8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{2}$. Liczba ujemna z dodatniej podstawy nigdy nie powstaje z samej potęgi.

Dodawanie ułamków bez wspólnego mianownika. Przy mnożeniu $\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}$ wykładniki się dodają: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$. Dodanie liczników i mianowników osobno daje $\frac{2}{5}$, a poprawny wynik to $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$. Wspólny mianownik robisz tak samo jak w zwykłym dodawaniu ułamków.

Ujemna podstawa z wykładnikiem ułamkowym. Zapis $(-4)^{\frac{1}{2}}$ nie ma sensu (pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje), a $(-8)^{\frac{1}{3}}$ według karty wzorów też nie jest zdefiniowany, bo wzór $a^{\frac{m}{n}}$ obowiązuje dla $a \geq 0$. Gdy w zadaniu stoi liczba ujemna pod pierwiastkiem nieparzystego stopnia, zapisz ją jako pierwiastek: $\sqrt[3]{-8} = -2$.

Wykładnik dziesiętny źle zamieniony na ułamek. Wykładnik $0{,}25$ to $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$, a nie $\frac{1}{25}$. Błędnie przepisany wykładnik zmienia stopień pierwiastka: $16^{0{,}25} = \sqrt[4]{16} = 2$, a nie $\sqrt[25]{16}$. Podobnie $0{,}5 = \frac{1}{2}$ i $1{,}5 = \frac{3}{2}$.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: