Funkcja wykładnicza

Funkcja wykładnicza to funkcja postaci $f(x) = a^x$, w której zmienna $x$ stoi w wykładniku, a podstawa $a$ jest stałą liczbą. Tym różni się od funkcji takich jak $x^2$ czy $x^3$, w których zmienna jest podstawą, a wykładnik jest stały. Przykłady: $f(x) = 2^x$, $f(x) = 10^x$, $f(x) = 0{,}6^x$, $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

Podstawa musi spełniać dwa warunki: $a > 0$ i $a \neq 1$. Dla $a \leq 0$ potęga $a^x$ nie jest określona dla każdego $x$ – na przykład $(-4)^{\frac{1}{2}}$ oznaczałoby pierwiastek z liczby ujemnej. Dla $a = 1$ wychodzi funkcja stała $1^x = 1$, która nie ma żadnej z własności opisanych niżej, więc nie nazywamy jej wykładniczą. Prawa działań, z których korzystamy przy przekształcaniu $a^x$, omawia hasło potęgi i prawa działań.

Najważniejsze własności, które trzeba znać bez zaglądania do wzorów:

• dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, a zbiorem wartości przedział $(0, +\infty)$ – funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie i nie ma miejsc zerowych,
• wykres zawsze przechodzi przez punkt $(0, 1)$, bo $a^0 = 1$, oraz przez punkt $(1, a)$,
• dla $a > 1$ funkcja jest rosnąca, dla $0 < a < 1$ – malejąca,
• prosta $y = 0$ (oś $Ox$) jest asymptotą poziomą wykresu: wykres zbliża się do niej dowolnie blisko, ale nigdy jej nie dotyka.

Na maturze funkcja wykładnicza pojawia się głównie jako model zjawiska: liczebność bakterii, masa leku w organizmie, rozpad substancji, stygnięcie napoju. Zawsze chodzi o to samo – w równych odstępach czasu wielkość mnoży się przez ten sam czynnik. Gdy czynnik jest większy od $1$, mówimy o wzroście wykładniczym, gdy leży między $0$ a $1$ – o zaniku (rozpadzie) wykładniczym.

Wykres funkcji $f(x) = a^x + q$ albo $f(x) = a^{x-p}$ powstaje z wykresu $a^x$ przez przesunięcie – razem z wykresem przesuwa się asymptota i zbiór wartości (szczegóły w haśle przesunięcie wykresu funkcji). Funkcją „odwrotną" w sensie rachunkowym do wykładniczej jest logarytm – omawia go hasło funkcja logarytmiczna.

Przykład 1 – podstawa z punktu wykresu. Do wykresu funkcji $f(x) = a^x$ należy punkt $P = (-2,\ 25)$. Wyznacz $a$ i oblicz $f(2)$.

Współrzędne punktu podstawiamy do wzoru: $a^{-2} = 25$. Ujemny wykładnik zamieniamy na odwrotność:

Równanie $a^2 = \frac{1}{25}$ ma dwa rozwiązania, $a = \frac{1}{5}$ i $a = -\frac{1}{5}$, ale podstawa funkcji wykładniczej musi być dodatnia, więc zostaje $a = \frac{1}{5}$. Funkcja jest malejąca, co zgadza się z danymi: dla ujemnego argumentu $x = -2$ wartość jest duża. Teraz:

Przykład 2 – porównanie potęg i równanie o tej samej podstawie. a) Która liczba jest większa: $\left(\frac{2}{3}\right)^{1{,}5}$ czy $\left(\frac{2}{3}\right)^{2{,}1}$? b) Rozwiąż równanie $3^{2x-1} = 27$.

a) Podstawa $\frac{2}{3}$ leży między $0$ a $1$, więc funkcja $y = \left(\frac{2}{3}\right)^x$ jest malejąca: większy wykładnik daje mniejszą wartość. Ponieważ $1{,}5 < 2{,}1$, to $\left(\frac{2}{3}\right)^{1{,}5} > \left(\frac{2}{3}\right)^{2{,}1}$. Kalkulator potwierdza: około $0{,}544$ wobec około $0{,}427$.

b) Zapisujemy prawą stronę jako potęgę tej samej podstawy: $27 = 3^3$. Funkcja $y = 3^x$ jest rosnąca, więc różne wykładniki dają różne wartości – równe potęgi muszą mieć równe wykładniki:

Przykład 3 – wzrost wykładniczy z dwóch pomiarów. Liczebność populacji bakterii opisuje wzór $N(t) = N_0 \cdot k^t$, gdzie $t$ to czas w godzinach. Na początku obserwacji było $2500$ bakterii, a po dwóch godzinach $3600$. O ile procent rośnie populacja w ciągu każdej godziny? Ile bakterii będzie po $5$ godzinach?

Z $N(0) = 2500$ dostajemy $N_0 = 2500$, bo $k^0 = 1$. Z drugiego pomiaru:

Ujemne rozwiązanie $k = -1{,}2$ odrzucamy, bo podstawa musi być dodatnia. W ciągu każdej godziny populacja mnoży się przez $1{,}2$, czyli rośnie o $20\%$ – nie o $1{,}2\%$ i nie o $120\%$. Po pięciu godzinach:

czyli około $6221$ bakterii. Wartości $N(0), N(1), N(2), \ldots$ tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $1{,}2$ – to ten sam mechanizm co w haśle ciąg geometryczny, tylko zapisany jako funkcja czasu.

Ostatnia kolumna jest po to, żeby nie pomylić $2^x$ z $x^2$: obie mają „dwójkę i iks", ale dla $x = 10$ dają $1024$ i $100$. Po angielsku funkcja wykładnicza to exponential function, a jej podstawa – base.

Ujemna podstawa z równania. Z warunku $a^2 = 9$ uczeń zapisuje $a = 3$ lub $a = -3$ i zostawia obie odpowiedzi. Podstawa funkcji wykładniczej musi być dodatnia, więc $a = -3$ trzeba odrzucić – i napisać, dlaczego.

Zero w zbiorze wartości. Zapis „zbiór wartości $[0, +\infty)$" jest błędny: $a^x$ nigdy nie jest równe zeru, więc przedział jest otwarty, $(0, +\infty)$. Ten sam błąd przenosi się na przesunięty wykres: dla $g(x) = 3^x - 2$ zbiór wartości to $(-2, +\infty)$, a nie $[-2, +\infty)$.

Odwrócona nierówność przy podstawie mniejszej od 1. Z $0{,}5^x < 0{,}5^3$ uczeń wnioskuje $x < 3$. Funkcja $0{,}5^x$ jest malejąca, więc znak trzeba odwrócić: $x > 3$. Kontrola: dla $x = 4$ mamy $0{,}5^4 = 0{,}0625 < 0{,}125$ – nierówność jest spełniona, a $4 > 3$.

Procent mylony z czynnikiem. Gdy co godzinę przybywa $20\%$, czynnik wzrostu to $k = 1{,}2$, a nie $0{,}2$ ani $20$. Gdy co dobę ubywa $19\%$, czynnik to $k = 1 - 0{,}19 = 0{,}81$, a nie $0{,}19$. Zapis $N_0 \cdot 0{,}2^t$ opisywałby populację, która co godzinę traci $80\%$.

Wykładnik przesunięty o jeden. W modelu $m(t) = m_0 \cdot k^t$ czas $t = 0$ to chwila początkowa, więc po jednej dobie mamy $m_0 \cdot k^1$. Wzór $m_0 \cdot k^{t-1}$ (przepisany odruchowo z ciągu geometrycznego $a_1 q^{n-1}$) daje w chwili początkowej $\frac{m_0}{k}$ zamiast $m_0$. Kontrola: podstaw $t = 0$ – musi wyjść wartość początkowa.

Mnożenie podstawy przez współczynnik. Wyrażenie $3 \cdot 2^x$ to nie $6^x$. Najpierw liczymy potęgę, potem mnożymy: dla $x = 2$ mamy $3 \cdot 4 = 12$, a $6^2 = 36$.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: