Dowody podzielności i reszt z dzielenia

Dowód podzielności albo reszty z dzielenia to zadanie typu „wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba … jest podzielna przez …". Nie wystarczy sprawdzić kilku liczb. Trzeba pokazać, że teza zachodzi dla wszystkich liczb z podanego zbioru, a to wymaga zapisu liczby literą i przekształceń na literach.

Liczba całkowita $W$ daje przy dzieleniu przez dodatnią liczbę całkowitą $P$ resztę $R$ wtedy, gdy istnieje liczba całkowita $Q$, dla której $W = P \cdot Q + R$ oraz $0 \leq R < P$. Liczba jest podzielna przez $P$, gdy reszta wynosi $0$. Cały dowód polega na doprowadzeniu wyrażenia do takiej postaci. Prawie każde rozwiązanie ma te same cztery kroki:

• Zapis liczby. Liczbę nieparzystą zapisujesz jako $2l + 1$, liczbę dającą resztę $1$ przy dzieleniu przez $5$ jako $5k + 1$, trzy kolejne liczby jako $n - 1,\ n,\ n + 1$.
• Przekształcenie. Podstawiasz zapis do wyrażenia i sprowadzasz je do iloczynu albo do postaci $P \cdot Q + R$. Pomagają wzory skróconego mnożenia i rozkład na czynniki.
• Zdanie o całkowitości. Zapisujesz, że czynnik $Q$ (nawias) jest liczbą całkowitą, bo powstał z działań na liczbach całkowitych.
• Wniosek. Piszesz wprost, że liczba jest podzielna przez $P$ albo daje resztę $R$.

Cechy podzielności (przez 3, 9, 11 i inne) oraz NWD i NWW opisuje hasło podzielność liczb. Ogólne zasady zapisu dowodu, układ „założenie – teza – wniosek" i sposób punktowania są w haśle jak pisać dowód na maturze. Tutaj zajmujemy się samymi sztuczkami rachunkowymi dla liczb całkowitych.

Tabela reszt kwadratów w następnej sekcji daje od razu tezę z arkusza przykładowego: dla nieparzystego $n$ liczba $n^2 + 2023$ daje przy dzieleniu przez $8$ resztę $1 + 7 = 8$, czyli $0$ (bo $2023 = 8 \cdot 252 + 7$). Z wiersza dla dzielnika $4$ wynika też: liczba $2023$ daje przy dzieleniu przez $4$ resztę $3$, więc nie jest kwadratem liczby całkowitej.

Na poziomie rozszerzonym dochodzą zadania z kilkoma zmiennymi i wyższymi potęgami (na przykład suma sześcianów kolejnych liczb) oraz dowody, w których trzeba rozważyć kilka przypadków reszt. Metody są te same, tylko rachunek jest dłuższy.

Przykład 1 – liczba nieparzysta (sierpień 2026, poziom podstawowy, zadanie 5). Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej $n$ liczba $3n^2 + 6n + 15$ jest podzielna przez $12$.

Zapisujemy $n = 2l + 1$ dla pewnej liczby całkowitej $l$. Podstawiamy:

Liczba $l$ jest całkowita, więc $l^2 + 2l + 2$ też jest całkowita. Zatem $3n^2 + 6n + 15$ jest iloczynem liczby $12$ i liczby całkowitej, czyli dzieli się przez $12$. To kończy dowód.

Przykład 2 – dwie liczby z resztami (czerwiec 2025, poziom podstawowy, zadanie 5, za 3 punkty). Wykaż, że jeśli $a$ daje przy dzieleniu przez $5$ resztę $1$, a $b$ daje resztę $4$, to liczba $a^2 - b^2$ jest podzielna przez $5$.

Każda z liczb dostaje własną literę, bo nie wiemy, czy są „w tym samym miejscu": $a = 5k + 1$ i $b = 5l + 4$, gdzie $k, l$ są całkowite. Rozkładamy różnicę kwadratów i liczymy sumę:

Różnica $a - b = 5(k - l) - 3$ jest liczbą całkowitą, a $k + l + 1$ też. Wyrażenie jest więc iloczynem liczby $5$ i liczby całkowitej $(a-b)(k+l+1)$, czyli dzieli się przez $5$.

Przykład 3 – iloczyn kolejnych liczb (czerwiec 2024, poziom podstawowy, zadanie 5). Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ liczba $5n^3 - 5n$ jest podzielna przez $30$.

Wyłączamy $5n$ i rozkładamy różnicę kwadratów:

Liczby $n - 1,\ n,\ n + 1$ są kolejne. Co najmniej jedna z nich jest parzysta. Dokładnie jedna dzieli się przez $3$: gdy $n = 3k$, jest to $n$; gdy $n = 3k + 1$, jest to $n - 1$; gdy $n = 3k + 2$, jest to $n + 1$. Iloczyn dzieli się więc przez $2$ i przez $3$, a te liczby są względnie pierwsze, więc dzieli się przez $6$. Zapisujemy $(n-1)n(n+1) = 6m$ dla pewnej liczby całkowitej $m$, skąd $5n^3 - 5n = 30m$.

Kongruencja nie jest osobną metodą, tylko krótszym zapisem. Zapis wprost ($n = 3k + 1$) jest dłuższy, ale każdy jego krok widać. Dowody nierówności i tożsamości (wyrażenie $\geq 0$, sprowadzanie do kwadratu) to inny temat: dowody nierówności i tożsamości.

Sprawdzanie na liczbach zamiast dowodu. Zdający podstawia $n = 1, 3, 5$, widzi, że dla każdej z nich wychodzi wielokrotność $4$, i pisze „więc zawsze". Za takie rozwiązanie CKE przyznaje $0$ punktów (uwaga w kluczu arkusza z maja 2023). Sprawdzenie na liczbach to dobry sposób znalezienia pomysłu, ale nie część dowodu – dowodem jest dopiero przekształcenie na literach.

Brak zdania, że czynnik jest całkowity. Zapis $3n^2 + 2n + 7 = 4(3l^2 + 4l + 3)$ to dopiero połowa. Wzorcowe rozwiązania informatora i sprawozdań CKE dopisują, że $3l^2 + 4l + 3$ jest liczbą całkowitą, bo $l$ jest całkowite. Bez tego zdania iloczyn „4 razy coś" nie przesądza o podzielności, bo „coś" mogłoby być ułamkiem.

Ta sama litera dla dwóch liczb. Gdy dwie liczby mają osobne warunki na resztę, zapis $a = 5k + 1$ i $b = 5k + 4$ zakłada po cichu, że $a - b = -3$. Dowód obejmuje wtedy tylko jedną parę liczb. Każdej liczbie daj osobną literę: $a = 5k + 1$, $b = 5l + 4$.

Wniosek bez argumentu. Po przekształceniu do $4n(n+1)$ uczeń pisze „więc dzieli się przez 8". Brakuje zdania, że $n(n+1)$ jest parzyste, bo to iloczyn dwóch kolejnych liczb. Sprawozdanie CKE z 2023 pokazuje takie rozwiązanie jako przykład, w którym nie podano żadnego argumentu za podzielnością przez $8$.

Fałszywa cecha podzielności. „Podzielna przez 2 i przez 4, więc przez 8" – nieprawda: liczba $4$ jest podzielna przez $2$ i przez $4$, a nie przez $8$. Rozbijać na czynniki można tylko na liczby względnie pierwsze: $6 = 2 \cdot 3$, $12 = 3 \cdot 4$, $30 = 5 \cdot 6$. Dla $8$ trzeba pokazać wprost, że iloczyn zawiera czynnik $8$, albo że jest postaci $4 \cdot (\text{liczba parzysta})$.

Reszta spoza przedziału. Dla $49k^2 + 7k - 2$ zapis $7(7k^2 + k) - 2$ sugeruje resztę $-2$. Reszta musi spełniać $0 \leq R < 7$, więc przekształcamy dalej: $7(7k^2 + k - 1) + 5$, czyli reszta wynosi $5$. Taką postać pokazuje klucz zadania z czerwca 2023.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: