Wzory na logarytmy – iloczyn, iloraz i potęga

Trzy wzory na logarytmy pozwalają zamienić działanie wewnątrz logarytmu na działanie między logarytmami. Logarytm iloczynu zamienia się w sumę logarytmów, logarytm ilorazu – w różnicę, a wykładnik potęgi wychodzi przed logarytm jako czynnik. Dzięki temu długie wyrażenie z kilkoma logarytmami o tej samej podstawie można zwinąć do jednego logarytmu, a często od razu do liczby. Czym jest sam logarytm i jak policzyć pojedynczy, wyjaśnia hasło definicja logarytmu.

Wzory działają dla dowolnej podstawy $a > 0$, $a \neq 1$ i dla liczb pod logarytmem większych od zera:

• $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$ – iloczyn zamienia się w sumę,
• $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ – iloraz zamienia się w różnicę,
• $\log_a x^{r} = r \cdot \log_a x$ – wykładnik wychodzi przed logarytm.

Wszystkie trzy czyta się w obie strony. Zadania maturalne najczęściej każą iść od lewej do prawej, od wielu logarytmów do jednego: najpierw zapisujemy wszystko jako jeden logarytm, a potem liczymy go z definicji. Podstawa musi być ta sama w każdym składniku – wzory nie łączą logarytmów o różnych podstawach. Zmianę podstawy omawia hasło zamiana podstawy logarytmu; na poziomie podstawowym w zadaniach z tego hasła podstawa zwykle od razu jest wspólna.

Na poziomie rozszerzonym te same trzy wzory są punktem wyjścia, ale dochodzi do nich zamiana podstawy, a zadania częściej wymagają dowodu („wykaż, że…") niż samego policzenia wartości.

Przykład 1 – suma logarytmów. Oblicz $\log_6 4 + \log_6 9$.

Podstawy są równe, więc składamy iloczyn pod jednym logarytmem, a potem liczymy go z definicji:

Ostatni krok to definicja: $6^{2} = 36$.

Przykład 2 – różnica i współczynnik. Oblicz $2\log_5 10 - \log_5 4$.

Najpierw wprowadzamy współczynnik pod logarytm jako wykładnik, bo wtedy oba składniki mają postać samego logarytmu:

Przykład 3 – wyrażenie z niewiadomą. Dane jest $\log_2 3 = a$. Wyraź przez $a$ liczbę $\log_2 18$.

Rozkładamy $18 = 2 \cdot 3^{2}$ i rozbijamy logarytm na składniki, które znamy:

Wartość $\log_2 2 = 1$ pochodzi z definicji logarytmu.

Funkcję $y = \log_a x$ i jej wykres omawia hasło funkcja logarytmiczna.

Rozbicie sumy pod logarytmem. Uczeń pisze $\log_2 (4 + 4) = \log_2 4 + \log_2 4 = 4$. Prawidłowo $\log_2 8 = 3$. Wzory dotyczą iloczynu i ilorazu, nigdy sumy ani różnicy pod logarytmem. Szybki test: podstaw liczby i policz obie strony.

Różnica logarytmów zamieniona na iloraz logarytmów. Zapis $\log_3 81 - \log_3 9 = \frac{\log_3 81}{\log_3 9} = 2$ wychodzi tu przypadkiem ($4 : 2 = 2$), ale w innych liczbach nie zadziała: $\log_2 8 - \log_2 4 = 1$, a $\frac{3}{2} \neq 1$. Różnica logarytmów to logarytm ilorazu liczb, a nie iloraz logarytmów.

Wykładnik zostaje pod logarytmem albo wychodzi ze złym znakiem. W $\log_3 108 - 2\log_3 2$ współczynnik $2$ trzeba najpierw wpuścić pod logarytm jako wykładnik: $\log_3 2^{2} = \log_3 4$. Zostawienie współczynnika i odjęcie $\log_3 108 - \log_3 2$ daje zupełnie inną liczbę.

Łączenie logarytmów o różnych podstawach. Wyrażenia $\log_2 8 + \log_4 16$ nie wolno zwinąć do jednego logarytmu wzorem na iloczyn, bo podstawy są różne. Najpierw policz każdy składnik osobno ($3 + 2 = 5$) albo sprowadź podstawy do wspólnej.

Zła kolejność w ilorazie. $\log_8 4 - \log_8 32$ to $\log_8 \frac{4}{32} = \log_8 \frac{1}{8} = -1$. Po zamianie miejsc dostaje się $\log_8 8 = 1$ – wynik z odwrotnym znakiem. W zadaniach zamkniętych odpowiedź z odwróconym znakiem bywa jednym z wariantów do wyboru.

Brak sprawdzenia dziedziny. Wzory są prawdziwe, gdy każda liczba pod logarytmem jest dodatnia. W zadaniu z niewiadomą $x$ trzeba najpierw zapisać warunki ($x > 0$ itd.), bo po przekształceniu pod logarytmem może się pojawić wyrażenie, które przed przekształceniem miało inne ograniczenia.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: