Wszystkie zagadnienia: Liczby i algebra

średni matura rozszerzona z matematykirównania wykładniczerównania logarytmicznelogarytm

Równania wykładnicze i logarytmiczne

Q: Dlaczego równanie 2^x = -4 nie ma rozwiązań?

Potęga o podstawie dodatniej jest zawsze dodatnia, więc 2^x nie może być równe liczbie ujemnej ani zeru. Równanie jest sprzeczne i odpowiedź brzmi „brak rozwiązań".

Opis

Równanie wykładnicze to równanie, w którym niewiadoma stoi w wykładniku potęgi, na przykład $2^{x+1} = 32$ . Równanie logarytmiczne to takie, w którym niewiadoma stoi pod logarytmem, na przykład $\log_3 (2x - 1) = 2$ . Oba rodzaje rozwiązujemy tak samo w duchu: doprowadzamy równanie do postaci, w której po obu stronach jest „to samo narzędzie", a potem „zdejmujemy" je i zostaje zwykłe równanie na $x$ .

Trzy zasady, na których opiera się całe hasło:

Wspólna podstawa. Jeśli $a > 0$ i $a \neq 1$ , to $a^{u} = a^{v}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $u = v$ . Dlatego w równaniu wykładniczym najpierw zapisujemy obie strony jako potęgi tej samej liczby (więcej o prawach działań w haśle potęgi i prawa działań).
Podstawienie. Gdy w równaniu występują $a^{x}$ i $a^{2x}$ (albo $a^{x+1}$ ), wprowadzamy $t = a^{x}$ . Pamiętaj, że $t > 0$ – każde $t \leq 0$ odrzucamy, bo potęga o dodatniej podstawie nie jest nigdy ujemna ani równa zero.
Dziedzina przed rachunkiem. W równaniu logarytmicznym wyrażenie pod logarytmem musi być dodatnie, a podstawa dodatnia i różna od $1$ . Dziedzinę zapisujemy na początku, a na końcu sprawdzamy, czy rozwiązania do niej należą. Jak liczyć sumę i różnicę logarytmów – patrz własności logarytmów; gdy podstawy są różne, pomaga zamiana podstawy logarytmu.

Gdy obu stron nie da się sprowadzić do wspólnej podstawy, np. $2^{x} = 7$ , korzystamy z definicji logarytmu: $x = \log_2 7$ . Jest to wynik dokładny (w przybliżeniu $2{,}81$ ), a nie „błąd" ani „brak rozwiązania". Sama definicja logarytmu ma osobne hasło: logarytm.

To hasło jest narzędziowe: zbiera techniki, które przydają się przy funkcji wykładniczej i funkcji logarytmicznej, a w podstawie programowej nie ma dla nich osobnego punktu.

Wzory

Równość potęg

a^{u} = a^{v} \iff u = v

Dla

a > 0

a \neq 1

. Podstawa musi być ta sama po obu stronach.

Definicja logarytmu karta CKE

\log_a b = c \iff a^{c} = b

Dla

a > 0

a \neq 1

b > 0

. Zamienia równanie logarytmiczne w potęgowe i odwrotnie.

Podstawienie

t = a^{x}, \quad t > 0

Wtedy

a^{2x} = t^{2}

a^{x+1} = a \cdot t

a^{x-1} = \frac{t}{a}

Dziedzina logarytmu

f(x) > 0

Dla

\log_a f(x)

; dodatkowo

a > 0

a \neq 1

. Warunek sprawdzamy na początku i na końcu.

Suma logarytmów karta CKE

\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)

Dla

x, y > 0

. Po zapisaniu w jednym logarytmie dziedzina się poszerza, więc trzeba ją wypisać PRZED przekształceniem.

Tabela

Schemat rozwiązywania – pierwszy krok, rozwiązanie i sprawdzenie dla trzech typowych równań

Równanie	Pierwszy krok	Po przekształceniu	Wynik
$8^{x+2} = 16^{x+1}$	obie strony jako potęgi $2$	$3(x+2) = 4(x+1)$	$x = 2$
$4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$	podstawienie $t = 2^{x}$ , $t > 0$	$t^{2} - 5t + 4 = 0$ , $t = 1$ lub $t = 4$	$x = 0$ lub $x = 2$
$\log_2 (x+3) + \log_2 (x-1) = 5$	dziedzina $x > 1$ , jeden logarytm	$(x+3)(x-1) = 32$ , $x = -7$ lub $x = 5$	$x = 5$ ( $-7$ odpada)
$2^{x} = 7$	brak wspólnej podstawy	definicja logarytmu	$x = \log_2 7 \approx 2{,}81$

Przykład

Przykład 1 – wspólna podstawa. Rozwiąż równanie $8^{x+2} = 16^{x+1}$ .

Zapisujemy $8 = 2^{3}$ i $16 = 2^{4}$ , więc obie strony są potęgami liczby $2$ :

2^{3(x+2)} = 2^{4(x+1)}

Wykładniki muszą być równe: $3x + 6 = 4x + 4$ , czyli $x = 2$ . Sprawdzenie: $8^{4} = 4096 = 16^{3}$ .

Przykład 2 – podstawienie. Rozwiąż równanie $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ .

Ponieważ $4^{x} = (2^{x})^{2}$ , kładziemy $t = 2^{x}$ , gdzie $t > 0$ . Dostajemy równanie kwadratowe (jego metody są w haśle równanie kwadratowe):

t^{2} - 5t + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 1 \ \text{ lub } \ t = 4

Oba pierwiastki są dodatnie, więc oba zostają. Wracamy do $x$ : $2^{x} = 1$ daje $x = 0$ , a $2^{x} = 4$ daje $x = 2$ . Sprawdzenie: dla $x = 0$ mamy $1 - 5 + 4 = 0$ , dla $x = 2$ mamy $16 - 20 + 4 = 0$ .

Przykład 3 – równanie logarytmiczne. Rozwiąż równanie $\log_2 (x+3) + \log_2 (x-1) = 5$ .

Dziedzina: $x + 3 > 0$ i $x - 1 > 0$ , czyli $x > 1$ . Łączymy logarytmy i zamieniamy na potęgę:

\log_2 \big((x+3)(x-1)\big) = 5 \quad \Rightarrow \quad (x+3)(x-1) = 2^{5} = 32

Po wymnożeniu $x^{2} + 2x - 35 = 0$ , czyli $(x+7)(x-5) = 0$ . Liczba $x = -7$ nie należy do dziedziny ( $-7 < 1$ ), więc odpada. Zostaje $x = 5$ . Sprawdzenie: $\log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5$ .

Typowe błędy

Brak sprawdzenia dziedziny. Po przekształceniu $\log_2 (x+3) + \log_2 (x-1) = 5$ wychodzą dwa pierwiastki, $-7$ i $5$ . Uczeń podaje oba. Dla $x = -7$ pod logarytmami stoją liczby ujemne ( $-4$ i $-8$ ), więc to nie jest rozwiązanie. Dziedzinę wypisz przed pierwszym przekształceniem i na końcu porównaj z nią każdy wynik.

Zostawienie $t \leq 0$ po podstawieniu. W równaniu $9^{x} - 4 \cdot 3^{x} - 45 = 0$ dla $t = 3^{x}$ wychodzi $t = 9$ lub $t = -5$ . Rozwiązanie $t = -5$ nie daje żadnego $x$ , bo $3^{x} > 0$ . Wniosek: tylko $t = 9$ , czyli $x = 2$ . Kto zapisze „ $3^{x} = -5$ , więc $x = \log_3 (-5)$ ", szuka logarytmu liczby ujemnej, który nie istnieje.

Wykładniki „rozdzielone" przy sumie. Zapis $2^{x+1} + 2^{x} = 2^{2x+1}$ to nie jest dodawanie wykładników. Suma potęg nie zamienia się na potęgę sumy: aby coś zrobić, wyłączamy czynnik wspólny, $2^{x}(2 + 1) = 3 \cdot 2^{x}$ . Wykładniki porównujemy dopiero wtedy, gdy po obu stronach stoi jedna potęga o tej samej podstawie.

Logarytm sumy zamiast sumy logarytmów. Wyrażenie $\log_2 (x+3) + \log_2 (x-1)$ nie równa się $\log_2 (x + 3 + x - 1)$ . Suma logarytmów to logarytm iloczynu, a nie sumy. Warto sprawdzić na liczbach: $\log_2 4 + \log_2 4 = 4$ , a $\log_2 8 = 3$ .

Sprawdź się

Rozwiąż równania. W każdym wynik jest liczbą rzeczywistą (całkowitą albo dziesiętną).

Równanie	Rozwiązanie $x$
$3^{x} = 81$
$5^{2x} = 125$
$2^{x} = \frac{1}{8}$
$\log_3 (2x - 1) = 2$

Równanie $9^{x} - 4 \cdot 3^{x} - 45 = 0$ po podstawieniu $t = 3^{x}$ ma tylko jedno dopuszczalne $t = 9$ , więc $x =$ .

W równaniu $\log x + \log (x - 3) = 1$ (logarytm dziesiętny) dziedzina to $x > 3$ , a jedyne rozwiązanie to $x =$ .

Równanie $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ ma rozwiązania.

Po podstawieniu $t = 2^{x}$ musi zachodzić $t >$ .

Najczęściej zadawane pytania

Jak rozpoznać, że równanie wykładnicze rozwiązuje się przez wspólną podstawę?

Jeżeli po obu stronach stoją potęgi, których podstawy są potęgami tej samej liczby (np. $8$ i $16$ to potęgi $2$ , a $9$ i $27$ – liczby $3$ ), zapisz je z jedną podstawą i porównaj wykładniki. Gdy po jednej stronie jest potęga, a po drugiej liczba, której nie da się zapisać jako potęga tej podstawy (jak $2^{x} = 7$ ), użyj definicji logarytmu: $x = \log_2 7$ .

Kiedy stosuję podstawienie

t = a^{x}

Wtedy, gdy w równaniu występuje ta sama podstawa z różnymi wykładnikami zależnymi od $x$ , np. $4^{x}$ i $2^{x}$ albo $2^{x+1}$ i $2^{x}$ . Zapisujemy wszystko przez $2^{x}$ i dostajemy równanie kwadratowe lub liniowe względem $t$ . Pamiętaj o warunku $t > 0$ .

Dlaczego równanie

2^{x} = -4

nie ma rozwiązań?

Potęga o podstawie dodatniej jest zawsze dodatnia, więc $2^{x}$ nie może być równe liczbie ujemnej ani zeru. Równanie jest sprzeczne i odpowiedź brzmi „brak rozwiązań".

Czy zawsze muszę sprawdzać rozwiązanie w równaniu logarytmicznym?

Jeżeli dziedzinę wypisałeś na początku, wystarczy porównać z nią wynik. Sprawdzenie jest konieczne, gdy w którymś kroku dziedzina się zmieniała, np. po zapisaniu sumy logarytmów w jednym logarytmie. Wtedy mogą pojawić się pierwiastki obce, które do wyjściowego równania nie pasują.

Czy równania wykładnicze i logarytmiczne są w wymaganiach na maturze?

Podstawa programowa (Dz.U. 2024 poz. 1019) nie ma dla nich osobnego punktu – to hasło ma charakter narzędziowy i dotyczy poziomu rozszerzonego. Potrzebne umiejętności (potęgi, logarytmy, funkcja wykładnicza i logarytmiczna) są natomiast w wymaganiach, więc technika rozwiązywania może się przydać w zadaniach o funkcjach.

Komentarz Autora

Nie znam zadania maturalnego z lat 2015–2026, które byłoby samym równaniem wykładniczym albo logarytmicznym. Podstawa programowa nie ma osobnego punktu na te równania – technika wynika z działań na potęgach i logarytmach, więc warto ją znać jako narzędzie, a nie jako osobny typ zadania.

Najbliższe zadanie to próbna matura CKE z 6 grudnia 2024 r. (poziom podstawowy, zadanie 13): dla funkcji $f(x) = \log_6 x$ trzeba było ocenić, że $f(36) = 6$ jest fałszem (wartość to $2$ ), a stwierdzenie „funkcja jest rosnąca" – prawdą. Jego omówienie jest w haśle funkcja logarytmiczna. Z karty wzorów przyda się definicja logarytmu i wzór na sumę logarytmów (rozdział 3, „Logarytmy"); wzór $a^{u} = a^{v} \iff u = v$ jest wnioskiem z monotoniczności potęgowania, jego na karcie nie ma.

Rada: w zadaniu z logarytmem zacznij od jednej linijki „Dziedzina: …", zanim dotkniesz równania. Przy równaniu z podstawieniem od razu dopisz „ $t > 0$ ".

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Nierówności kwadratoweRównania i nierówności Nierówności linioweRównania i nierówności Nierówności wymierneRównania i nierówności Nierówności z wartością bezwzględnąRównania i nierówności Pierwiastki trójmianu o zadanych znakach lub w przedzialeRównania i nierówności Równania i nierówności liniowe z parametremRównania i nierówności